Exercice 1 (2.25 pts)
Soit \((u_n)_{n\geq1}\) une suite arithmétique de raison \(r\), telle que \(u_3=11\) et \(u_7=3\).
1. Montrer que \(r=-2\), et écrire \(u_n\) en fonction de \(n\).
2. Calculer la somme \(S=u_3+u_4+\cdots+u_{20}\).
1. Montrer que \(r=-2\), et écrire \(u_n\) en fonction de \(n\).
2. Calculer la somme \(S=u_3+u_4+\cdots+u_{20}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 Méthode : \((v_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si \(v_{n+1}-v_n=r\) pour tout \(n\) ; alors \(v_n=v_p+(n-p)r\).
1. \(u_7=u_3+4r\)
\(\iff3=11+4r\)
\(\iff r=-2\)
[] \(u_n=u_3+(n-3)r=17-2n\)
2. 💡 nombre de termes : \(N=20-3+1=18\) ; \(u_{20}=17-40=-23\).
\(S=18\times\dfrac{u_3+u_{20}}{2}\)
\(=18\times\dfrac{11-23}{2}\)
\(=-108\)
1. \(u_7=u_3+4r\)
\(\iff3=11+4r\)
\(\iff r=-2\)
[] \(u_n=u_3+(n-3)r=17-2n\)
2. 💡 nombre de termes : \(N=20-3+1=18\) ; \(u_{20}=17-40=-23\).
\(S=18\times\dfrac{u_3+u_{20}}{2}\)
\(=18\times\dfrac{11-23}{2}\)
\(=-108\)
Exercice 2 (9.75 pts)
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite numérique définie par \(u_0=0\) et \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}=\dfrac{u_n-3}{u_n+5}\).
1. Calculer \(u_1\).
2. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>-1\).
3. a) Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}-u_n=\dfrac{-(u_n+1)(u_n+3)}{u_n+5}\).
b) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).
c) Déduire que \((\forall n\in\mathbb{N})\ -1<u_n\leq0\).
4. Soit \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite numérique définie par \(v_n=\dfrac{u_n+1}{u_n+3}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(q=\dfrac{1}{2}\) et calculer \(v_0\).
b) Écrire \(v_n\) en fonction de \(n\).
c) Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n-1}\).
5. a) Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}+1\leq\dfrac{1}{2}(u_n+1)\).
b) Déduire que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n+1\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\).
1. Calculer \(u_1\).
2. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>-1\).
3. a) Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}-u_n=\dfrac{-(u_n+1)(u_n+3)}{u_n+5}\).
b) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).
c) Déduire que \((\forall n\in\mathbb{N})\ -1<u_n\leq0\).
4. Soit \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite numérique définie par \(v_n=\dfrac{u_n+1}{u_n+3}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(q=\dfrac{1}{2}\) et calculer \(v_0\).
b) Écrire \(v_n\) en fonction de \(n\).
c) Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n-1}\).
5. a) Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}+1\leq\dfrac{1}{2}(u_n+1)\).
b) Déduire que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n+1\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
[] 1. \(u_1=\dfrac{0-3}{0+5}=-\dfrac{3}{5}\)
💡 Méthode : raisonnement par récurrence : on vérifie la propriété au premier rang, puis on suppose qu’elle est vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\).
2. \(u_0=0>-1\) ✔. Si \(u_n>-1\) :
\(u_{n+1}+1=\dfrac{u_n-3+u_n+5}{u_n+5}\)
\(=\dfrac{2(u_n+1)}{u_n+5}>0\)
(car \(u_n+1>0\) et \(u_n+5>4>0\))
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>-1\)
3.a) \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-3-u_n^2-5u_n}{u_n+5}\)
\(=\dfrac{-(u_n^2+4u_n+3)}{u_n+5}\)
\(=\dfrac{-(u_n+1)(u_n+3)}{u_n+5}\)
b) \(u_n+1>0\), \(u_n+3>0\) et \(u_n+5>0\) : \(u_{n+1}-u_n<0\).
[] \((u_n)\) est strictement décroissante
[] c) \(u_n\leq u_0=0\) et \(u_n>-1\) : \(-1<u_n\leq0\)
💡 Méthode : \((v_n)\) est géométrique de raison \(q\) si \(v_{n+1}=q\,v_n\) pour tout \(n\) ; alors \(v_n=v_p\times q^{n-p}\).
4.a) \(u_{n+1}+3=\dfrac{u_n-3+3u_n+15}{u_n+5}\)
\(=\dfrac{4(u_n+3)}{u_n+5}\)
\(v_{n+1}=\dfrac{2(u_n+1)}{u_n+5}\times\dfrac{u_n+5}{4(u_n+3)}\)
\(=\dfrac{1}{2}v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\) et \(v_0=\dfrac{1}{3}\)
[] b) \(v_n=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)
c) \(v_n(u_n+3)=u_n+1\iff u_n(v_n-1)=1-3v_n\iff u_n=\dfrac{1-3v_n}{v_n-1}\) ; on remplace \(v_n\) :
[] \(u_n=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n-1}\)
5.a) \(u_{n+1}+1-\dfrac{1}{2}(u_n+1)=(u_n+1)\left(\dfrac{2}{u_n+5}-\dfrac{1}{2}\right)\)
\(=(u_n+1)\times\dfrac{-(u_n+1)}{2(u_n+5)}\leq0\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}+1\leq\dfrac{1}{2}(u_n+1)\)
b) Par récurrence : \(u_0+1=1=\left(\dfrac{1}{2}\right)^0\) ✔ ; si \(u_n+1\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) alors \(u_{n+1}+1\leq\dfrac{1}{2}(u_n+1)\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\).
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n+1\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)
💡 Méthode : raisonnement par récurrence : on vérifie la propriété au premier rang, puis on suppose qu’elle est vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\).
2. \(u_0=0>-1\) ✔. Si \(u_n>-1\) :
\(u_{n+1}+1=\dfrac{u_n-3+u_n+5}{u_n+5}\)
\(=\dfrac{2(u_n+1)}{u_n+5}>0\)
(car \(u_n+1>0\) et \(u_n+5>4>0\))
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>-1\)
3.a) \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-3-u_n^2-5u_n}{u_n+5}\)
\(=\dfrac{-(u_n^2+4u_n+3)}{u_n+5}\)
\(=\dfrac{-(u_n+1)(u_n+3)}{u_n+5}\)
b) \(u_n+1>0\), \(u_n+3>0\) et \(u_n+5>0\) : \(u_{n+1}-u_n<0\).
[] \((u_n)\) est strictement décroissante
[] c) \(u_n\leq u_0=0\) et \(u_n>-1\) : \(-1<u_n\leq0\)
💡 Méthode : \((v_n)\) est géométrique de raison \(q\) si \(v_{n+1}=q\,v_n\) pour tout \(n\) ; alors \(v_n=v_p\times q^{n-p}\).
4.a) \(u_{n+1}+3=\dfrac{u_n-3+3u_n+15}{u_n+5}\)
\(=\dfrac{4(u_n+3)}{u_n+5}\)
\(v_{n+1}=\dfrac{2(u_n+1)}{u_n+5}\times\dfrac{u_n+5}{4(u_n+3)}\)
\(=\dfrac{1}{2}v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\) et \(v_0=\dfrac{1}{3}\)
[] b) \(v_n=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)
c) \(v_n(u_n+3)=u_n+1\iff u_n(v_n-1)=1-3v_n\iff u_n=\dfrac{1-3v_n}{v_n-1}\) ; on remplace \(v_n\) :
[] \(u_n=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n-1}\)
5.a) \(u_{n+1}+1-\dfrac{1}{2}(u_n+1)=(u_n+1)\left(\dfrac{2}{u_n+5}-\dfrac{1}{2}\right)\)
\(=(u_n+1)\times\dfrac{-(u_n+1)}{2(u_n+5)}\leq0\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}+1\leq\dfrac{1}{2}(u_n+1)\)
b) Par récurrence : \(u_0+1=1=\left(\dfrac{1}{2}\right)^0\) ✔ ; si \(u_n+1\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) alors \(u_{n+1}+1\leq\dfrac{1}{2}(u_n+1)\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\).
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n+1\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)
Exercice 3 (8 pts)
1. Montrer que pour tout réel \(x\) : \(\cos3x=4\cos^3x-3\cos x\) (on écrira \(3x=2x+x\)).
2. En déduire que \(\cos^3x=\dfrac{\cos3x+3\cos x}{4}\).
3. On pose \(A=\cos\dfrac{\pi}{9}\cos\dfrac{2\pi}{9}\cos\dfrac{4\pi}{9}\). En calculant \(8\sin\dfrac{\pi}{9}\times A\), montrer que \(A=\dfrac{1}{8}\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\cos2x=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\).
2. En déduire que \(\cos^3x=\dfrac{\cos3x+3\cos x}{4}\).
3. On pose \(A=\cos\dfrac{\pi}{9}\cos\dfrac{2\pi}{9}\cos\dfrac{4\pi}{9}\). En calculant \(8\sin\dfrac{\pi}{9}\times A\), montrer que \(A=\dfrac{1}{8}\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\cos2x=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 Méthode : \(\sin2a=2\sin a\cos a\) ; \(\cos2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a\).
1. \(\cos3x=\cos2x\cos x-\sin2x\sin x\)
\(=(2\cos^2x-1)\cos x-2\sin^2x\cos x\)
\(=2\cos^3x-\cos x-2(1-\cos^2x)\cos x\)
\(=4\cos^3x-3\cos x\)
[] 2. \(4\cos^3x=\cos3x+3\cos x\) donc \(\cos^3x=\dfrac{\cos3x+3\cos x}{4}\)
3. 💡 on applique trois fois \(2\sin a\cos a=\sin2a\).
\(8\sin\dfrac{\pi}{9}A=4\left(2\sin\dfrac{\pi}{9}\cos\dfrac{\pi}{9}\right)\cos\dfrac{2\pi}{9}\cos\dfrac{4\pi}{9}\)
\(=2\left(2\sin\dfrac{2\pi}{9}\cos\dfrac{2\pi}{9}\right)\cos\dfrac{4\pi}{9}\)
\(=2\sin\dfrac{4\pi}{9}\cos\dfrac{4\pi}{9}\)
\(=\sin\dfrac{8\pi}{9}\)
Or \(\sin\dfrac{8\pi}{9}=\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{9}\right)=\sin\dfrac{\pi}{9}\neq0\).
[] \(8A=1\) donc \(A=\dfrac{1}{8}\)
💡 Méthode : \(\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=-\alpha+2k\pi\) ; \(\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
4. \(2x=x+\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(2x=-x-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\)
\(\iff x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(x=-\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\)
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\ ;\ -\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\)
1. \(\cos3x=\cos2x\cos x-\sin2x\sin x\)
\(=(2\cos^2x-1)\cos x-2\sin^2x\cos x\)
\(=2\cos^3x-\cos x-2(1-\cos^2x)\cos x\)
\(=4\cos^3x-3\cos x\)
[] 2. \(4\cos^3x=\cos3x+3\cos x\) donc \(\cos^3x=\dfrac{\cos3x+3\cos x}{4}\)
3. 💡 on applique trois fois \(2\sin a\cos a=\sin2a\).
\(8\sin\dfrac{\pi}{9}A=4\left(2\sin\dfrac{\pi}{9}\cos\dfrac{\pi}{9}\right)\cos\dfrac{2\pi}{9}\cos\dfrac{4\pi}{9}\)
\(=2\left(2\sin\dfrac{2\pi}{9}\cos\dfrac{2\pi}{9}\right)\cos\dfrac{4\pi}{9}\)
\(=2\sin\dfrac{4\pi}{9}\cos\dfrac{4\pi}{9}\)
\(=\sin\dfrac{8\pi}{9}\)
Or \(\sin\dfrac{8\pi}{9}=\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{9}\right)=\sin\dfrac{\pi}{9}\neq0\).
[] \(8A=1\) donc \(A=\dfrac{1}{8}\)
💡 Méthode : \(\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=-\alpha+2k\pi\) ; \(\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
4. \(2x=x+\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(2x=-x-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\)
\(\iff x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(x=-\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\)
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\ ;\ -\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\)