Exercice 1 (6 pts)
On considère la suite \((U_n)_{n\geq1}\) définie par \(U_1=0\) et \(U_{n+1}=\dfrac{16}{8-U_n}\).
1. a) Vérifier que \(4-U_{n+1}=\dfrac{4(4-U_n)}{4+(4-U_n)}\).
b) Prouver que \((\forall n\in\mathbb{N}^*)\ 4-U_n>0\).
2. Étudier la monotonie de la suite \((U_n)_{n\geq1}\).
3. On pose \(V_n=\dfrac{4}{4-U_n}\).
a) Montrer que \((V_n)_{n\geq1}\) est une suite arithmétique de raison \(r=1\).
b) Montrer que \(U_n=4-\dfrac{4}{n}\).
1. a) Vérifier que \(4-U_{n+1}=\dfrac{4(4-U_n)}{4+(4-U_n)}\).
b) Prouver que \((\forall n\in\mathbb{N}^*)\ 4-U_n>0\).
2. Étudier la monotonie de la suite \((U_n)_{n\geq1}\).
3. On pose \(V_n=\dfrac{4}{4-U_n}\).
a) Montrer que \((V_n)_{n\geq1}\) est une suite arithmétique de raison \(r=1\).
b) Montrer que \(U_n=4-\dfrac{4}{n}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1.a) \(4-U_{n+1}=\dfrac{4(8-U_n)-16}{8-U_n}\)
\(=\dfrac{16-4U_n}{8-U_n}\)
\(=\dfrac{4(4-U_n)}{4+(4-U_n)}\)
💡 Méthode : raisonnement par récurrence : on vérifie la propriété au premier rang, puis on suppose qu’elle est vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\).
b) \(4-U_1=4>0\) ✔. Si \(4-U_n>0\) : le numérateur \(4(4-U_n)>0\) et le dénominateur \(4+(4-U_n)>0\).
[] \((\forall n\in\mathbb{N}^*)\ 4-U_n>0\)
💡 Méthode : on étudie le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
2. \(U_{n+1}-U_n=\dfrac{16-U_n(8-U_n)}{8-U_n}\)
\(=\dfrac{(U_n-4)^2}{8-U_n}>0\)
(car \(U_n\neq4\) et \(8-U_n>4>0\))
[] \((U_n)\) est strictement croissante
💡 Méthode : \((v_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si \(v_{n+1}-v_n=r\) pour tout \(n\) ; alors \(v_n=v_p+(n-p)r\).
3.a) \(V_{n+1}=\dfrac{4}{4-U_{n+1}}=\dfrac{4+(4-U_n)}{4-U_n}\)
\(=\dfrac{4}{4-U_n}+1\)
\(=V_n+1\)
[] \((V_n)\) est arithmétique de raison \(1\) et \(V_1=\dfrac{4}{4-0}=1\)
b) \(V_n=V_1+(n-1)\times1=n\) et \(4-U_n=\dfrac{4}{V_n}=\dfrac{4}{n}\).
[] \(U_n=4-\dfrac{4}{n}\)
\(=\dfrac{16-4U_n}{8-U_n}\)
\(=\dfrac{4(4-U_n)}{4+(4-U_n)}\)
💡 Méthode : raisonnement par récurrence : on vérifie la propriété au premier rang, puis on suppose qu’elle est vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\).
b) \(4-U_1=4>0\) ✔. Si \(4-U_n>0\) : le numérateur \(4(4-U_n)>0\) et le dénominateur \(4+(4-U_n)>0\).
[] \((\forall n\in\mathbb{N}^*)\ 4-U_n>0\)
💡 Méthode : on étudie le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
2. \(U_{n+1}-U_n=\dfrac{16-U_n(8-U_n)}{8-U_n}\)
\(=\dfrac{(U_n-4)^2}{8-U_n}>0\)
(car \(U_n\neq4\) et \(8-U_n>4>0\))
[] \((U_n)\) est strictement croissante
💡 Méthode : \((v_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si \(v_{n+1}-v_n=r\) pour tout \(n\) ; alors \(v_n=v_p+(n-p)r\).
3.a) \(V_{n+1}=\dfrac{4}{4-U_{n+1}}=\dfrac{4+(4-U_n)}{4-U_n}\)
\(=\dfrac{4}{4-U_n}+1\)
\(=V_n+1\)
[] \((V_n)\) est arithmétique de raison \(1\) et \(V_1=\dfrac{4}{4-0}=1\)
b) \(V_n=V_1+(n-1)\times1=n\) et \(4-U_n=\dfrac{4}{V_n}=\dfrac{4}{n}\).
[] \(U_n=4-\dfrac{4}{n}\)
Exercice 2 (6 pts)
On considère la suite \((U_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par \(U_0=2\) et \(U_{n+1}=\dfrac{5U_n+3}{U_n+3}\).
1. Vérifier que \(U_{n+1}=5-\dfrac{12}{U_n+3}\), puis montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0<U_n<3\).
2. On pose \(V_n=\dfrac{U_n-3}{U_n+1}\).
a) Montrer que \((V_n)\) est une suite géométrique de raison \(q=\dfrac{1}{3}\).
b) Prouver que \(U_n=\dfrac{3+V_n}{1-V_n}\), en déduire que \((\forall n\in\mathbb{N})\ U_n=\dfrac{3^{n+2}-1}{3^{n+1}+1}\).
1. Vérifier que \(U_{n+1}=5-\dfrac{12}{U_n+3}\), puis montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0<U_n<3\).
2. On pose \(V_n=\dfrac{U_n-3}{U_n+1}\).
a) Montrer que \((V_n)\) est une suite géométrique de raison \(q=\dfrac{1}{3}\).
b) Prouver que \(U_n=\dfrac{3+V_n}{1-V_n}\), en déduire que \((\forall n\in\mathbb{N})\ U_n=\dfrac{3^{n+2}-1}{3^{n+1}+1}\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(5-\dfrac{12}{U_n+3}=\dfrac{5U_n+15-12}{U_n+3}\)
\(=\dfrac{5U_n+3}{U_n+3}\)
💡 Méthode : raisonnement par récurrence : on vérifie la propriété au premier rang, puis on suppose qu’elle est vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\).
\(U_0=2\in]0;3[\) ✔. Si \(0<U_n<3\) : \(3<U_n+3<6\) donc \(2<\dfrac{12}{U_n+3}<4\), et \(1<U_{n+1}<3\).
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0<U_n<3\)
💡 Méthode : \((v_n)\) est géométrique de raison \(q\) si \(v_{n+1}=q\,v_n\) pour tout \(n\) ; alors \(v_n=v_p\times q^{n-p}\).
2.a) \(U_{n+1}-3=\dfrac{2(U_n-3)}{U_n+3}\)
\(U_{n+1}+1=\dfrac{6(U_n+1)}{U_n+3}\)
\(V_{n+1}=\dfrac{2(U_n-3)}{6(U_n+1)}\)
\(=\dfrac{1}{3}V_n\)
[] \((V_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{3}\) et \(V_0=\dfrac{2-3}{2+1}=-\dfrac{1}{3}\)
b) \(V_n(U_n+1)=U_n-3\iff U_n(1-V_n)=3+V_n\iff U_n=\dfrac{3+V_n}{1-V_n}\).
\(V_n=-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\)
\(U_n=\dfrac{3-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}{1+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}\)
On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(3^{n+1}\) :
[] \(U_n=\dfrac{3^{n+2}-1}{3^{n+1}+1}\)
\(=\dfrac{5U_n+3}{U_n+3}\)
💡 Méthode : raisonnement par récurrence : on vérifie la propriété au premier rang, puis on suppose qu’elle est vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\).
\(U_0=2\in]0;3[\) ✔. Si \(0<U_n<3\) : \(3<U_n+3<6\) donc \(2<\dfrac{12}{U_n+3}<4\), et \(1<U_{n+1}<3\).
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0<U_n<3\)
💡 Méthode : \((v_n)\) est géométrique de raison \(q\) si \(v_{n+1}=q\,v_n\) pour tout \(n\) ; alors \(v_n=v_p\times q^{n-p}\).
2.a) \(U_{n+1}-3=\dfrac{2(U_n-3)}{U_n+3}\)
\(U_{n+1}+1=\dfrac{6(U_n+1)}{U_n+3}\)
\(V_{n+1}=\dfrac{2(U_n-3)}{6(U_n+1)}\)
\(=\dfrac{1}{3}V_n\)
[] \((V_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{3}\) et \(V_0=\dfrac{2-3}{2+1}=-\dfrac{1}{3}\)
b) \(V_n(U_n+1)=U_n-3\iff U_n(1-V_n)=3+V_n\iff U_n=\dfrac{3+V_n}{1-V_n}\).
\(V_n=-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\)
\(U_n=\dfrac{3-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}{1+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}\)
On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(3^{n+1}\) :
[] \(U_n=\dfrac{3^{n+2}-1}{3^{n+1}+1}\)
Exercice 3 (8 pts)
1. Montrer que pour tout réel \(x\) : \(\sin x-\cos x=\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{3\pi}{4}\right)\).
2. Résoudre dans \([0;2\pi[\) l’équation \(\sin x-\cos x=1\).
3. Montrer que pour tout réel \(x\) : \((\sin x-\cos x)^2=1-\sin2x\).
4. Résoudre dans \([0;\pi]\) l’équation \(\sin2x=\dfrac{1}{2}\).
2. Résoudre dans \([0;2\pi[\) l’équation \(\sin x-\cos x=1\).
3. Montrer que pour tout réel \(x\) : \((\sin x-\cos x)^2=1-\sin2x\).
4. Résoudre dans \([0;\pi]\) l’équation \(\sin2x=\dfrac{1}{2}\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 Méthode : \(a\cos x+b\sin x=r\cos(x-\varphi)\) avec \(r=\sqrt{a^2+b^2}\), \(\cos\varphi=\dfrac{a}{r}\) et \(\sin\varphi=\dfrac{b}{r}\).
1. \(a=-1\), \(b=1\) : \(r=\sqrt{2}\) ; \(\cos\varphi=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin\varphi=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), donc \(\varphi=\dfrac{3\pi}{4}\).
[] \(\sin x-\cos x=\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{3\pi}{4}\right)\)
💡 Méthode : \(\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=-\alpha+2k\pi\) ; \(\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
2. \(\cos\left(x-\dfrac{3\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\iff\cos\left(x-\dfrac{3\pi}{4}\right)=\cos\dfrac{\pi}{4}\)
\(\iff x=\pi+2k\pi\) ou \(x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\).
[] Dans \([0;2\pi[\) : \(S=\left\{\dfrac{\pi}{2};\pi\right\}\)
3. \((\sin x-\cos x)^2=\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x\)
\(=1-\sin2x\)
4. Pour \(x\in[0;\pi]\), \(2x\in[0;2\pi]\) : \(\sin2x=\sin\dfrac{\pi}{6}\iff2x=\dfrac{\pi}{6}\) ou \(2x=\dfrac{5\pi}{6}\).
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{12};\dfrac{5\pi}{12}\right\}\)
1. \(a=-1\), \(b=1\) : \(r=\sqrt{2}\) ; \(\cos\varphi=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin\varphi=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), donc \(\varphi=\dfrac{3\pi}{4}\).
[] \(\sin x-\cos x=\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{3\pi}{4}\right)\)
💡 Méthode : \(\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=-\alpha+2k\pi\) ; \(\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
2. \(\cos\left(x-\dfrac{3\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\iff\cos\left(x-\dfrac{3\pi}{4}\right)=\cos\dfrac{\pi}{4}\)
\(\iff x=\pi+2k\pi\) ou \(x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\).
[] Dans \([0;2\pi[\) : \(S=\left\{\dfrac{\pi}{2};\pi\right\}\)
3. \((\sin x-\cos x)^2=\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x\)
\(=1-\sin2x\)
4. Pour \(x\in[0;\pi]\), \(2x\in[0;2\pi]\) : \(\sin2x=\sin\dfrac{\pi}{6}\iff2x=\dfrac{\pi}{6}\) ou \(2x=\dfrac{5\pi}{6}\).
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{12};\dfrac{5\pi}{12}\right\}\)