Exercice 1 (10 pts)
1. En utilisant la formule de \(\tan(2a)\), montrer que \(\tan\dfrac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\).
2. Montrer que pour tout \(x\) tel que \(\sin(2x)\neq0\) : \(\dfrac{1-\cos(2x)}{\sin(2x)}=\tan x\).
3. Résoudre dans \(]-\pi;\pi]\) : \(\cos(2x)=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\).
4. Résoudre dans \([0;2\pi[\) : \(\cos x\leq-\dfrac{1}{2}\).
5. a) Montrer que \(\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\).
b) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos x-\sin x=1\).
2. Montrer que pour tout \(x\) tel que \(\sin(2x)\neq0\) : \(\dfrac{1-\cos(2x)}{\sin(2x)}=\tan x\).
3. Résoudre dans \(]-\pi;\pi]\) : \(\cos(2x)=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\).
4. Résoudre dans \([0;2\pi[\) : \(\cos x\leq-\dfrac{1}{2}\).
5. a) Montrer que \(\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\).
b) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos x-\sin x=1\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. Avec \(t=\tan\dfrac{\pi}{8}>0\) : \(\tan\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{2t}{1-t^2}=1\iff t^2+2t-1=0\iff t=-1\pm\sqrt{2}\) ; \(t>0\) :
[] \(\tan\dfrac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\)
2. \(\dfrac{1-\cos(2x)}{\sin(2x)}=\dfrac{2\sin^2x}{2\sin x\cos x}\)
\(=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x\)
3. \(2x=x+\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(2x=-x-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\), soit \(x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(x=-\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\) :
[] \(S=\left\{-\dfrac{7\pi}{9};-\dfrac{\pi}{9};\dfrac{\pi}{3};\dfrac{5\pi}{9}\right\}\)
4. Sur le cercle trigonométrique :
[] \(S=\left[\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{4\pi}{3}\right]\)
5. a) \(\sqrt{2}\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos x\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sin x\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
\(=\cos x-\sin x\)
b) \(\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) : \(x+\dfrac{\pi}{4}=\pm\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\) :
[] \(S=\left\{2k\pi;-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\)
[] \(\tan\dfrac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\)
2. \(\dfrac{1-\cos(2x)}{\sin(2x)}=\dfrac{2\sin^2x}{2\sin x\cos x}\)
\(=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x\)
3. \(2x=x+\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(2x=-x-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\), soit \(x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(x=-\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\) :
[] \(S=\left\{-\dfrac{7\pi}{9};-\dfrac{\pi}{9};\dfrac{\pi}{3};\dfrac{5\pi}{9}\right\}\)
4. Sur le cercle trigonométrique :
[] \(S=\left[\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{4\pi}{3}\right]\)
5. a) \(\sqrt{2}\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos x\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sin x\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
\(=\cos x-\sin x\)
b) \(\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) : \(x+\dfrac{\pi}{4}=\pm\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\) :
[] \(S=\left\{2k\pi;-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\)
Exercice 2 (10 pts)
1. Soit \((w_n)\) une suite arithmétique telle que \(w_3=7\) et \(w_8=22\). Déterminer sa raison, \(w_0\), puis calculer \(S=w_0+w_1+\cdots+w_{10}\).
2. Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3\).
a) Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<6\).
b) Montrer que \((u_n)\) est croissante.
c) On pose \(v_n=u_n-6\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique et exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
d) Calculer \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\) en fonction de \(n\).
2. Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3\).
a) Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<6\).
b) Montrer que \((u_n)\) est croissante.
c) On pose \(v_n=u_n-6\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique et exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
d) Calculer \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\) en fonction de \(n\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(w_8-w_3=5r=15\) : \(r=3\) ; \(w_0=w_3-3r=-2\) ; \(S=\dfrac{11\left(w_0+w_{10}\right)}{2}=\dfrac{11(-2+28)}{2}\) :
[] \(r=3\) ; \(w_0=-2\) ; \(S=143\)
2. a) \(u_0=2<6\) ✔ ; si \(u_n<6\) : \(u_{n+1}<\dfrac{1}{2}\times6+3=6\) ✔ :
[] \((\forall n)\ u_n<6\)
b) \(u_{n+1}-u_n=3-\dfrac{1}{2}u_n=\dfrac{6-u_n}{2}>0\) :
[] \((u_n)\) est croissante
c) \(v_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3-6=\dfrac{1}{2}\left(u_n-6\right)=\dfrac{1}{2}v_n\) : géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\), \(v_0=-4\) :
[] \(u_n=6-4\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)
d) \(S_n=6(n+1)-4\left(1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\)
\(=6(n+1)-8\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)\)
[] \(r=3\) ; \(w_0=-2\) ; \(S=143\)
2. a) \(u_0=2<6\) ✔ ; si \(u_n<6\) : \(u_{n+1}<\dfrac{1}{2}\times6+3=6\) ✔ :
[] \((\forall n)\ u_n<6\)
b) \(u_{n+1}-u_n=3-\dfrac{1}{2}u_n=\dfrac{6-u_n}{2}>0\) :
[] \((u_n)\) est croissante
c) \(v_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3-6=\dfrac{1}{2}\left(u_n-6\right)=\dfrac{1}{2}v_n\) : géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\), \(v_0=-4\) :
[] \(u_n=6-4\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)
d) \(S_n=6(n+1)-4\left(1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\)
\(=6(n+1)-8\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)\)