Exercice 1 (6 pts)
1. \(ABC\) est un triangle tel que \(AB=4\), \(AC=3\) et \(\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}\). Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) puis \(BC\).
2. Dans un repère orthonormé, on considère \(\vec{u}(2;-1)\) et \(\vec{v}(1;3)\).
a) Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).
b) En déduire \(\cos\left(\vec{u};\vec{v}\right)\).
3. Calculer la distance du point \(A(1;1)\) à la droite \((D):2x-y+3=0\).
2. Dans un repère orthonormé, on considère \(\vec{u}(2;-1)\) et \(\vec{v}(1;3)\).
a) Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).
b) En déduire \(\cos\left(\vec{u};\vec{v}\right)\).
3. Calculer la distance du point \(A(1;1)\) à la droite \((D):2x-y+3=0\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\dfrac{\pi}{3}=4\times3\times\dfrac{1}{2}=6\).
\(BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=16+9-12=13\)
[] \(BC=\sqrt{13}\)
2. a) \(\vec{u}\cdot\vec{v}=2-3=-1\) ; \(\|\vec{u}\|=\sqrt{5}\) ; \(\|\vec{v}\|=\sqrt{10}\).
b) \(\cos\left(\vec{u};\vec{v}\right)=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\)
\(=\dfrac{-1}{\sqrt{50}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{10}\)
3. \(d\left(A;(D)\right)=\dfrac{|2\times1-1+3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\)
\(=\dfrac{4}{\sqrt{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\)
\(BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=16+9-12=13\)
[] \(BC=\sqrt{13}\)
2. a) \(\vec{u}\cdot\vec{v}=2-3=-1\) ; \(\|\vec{u}\|=\sqrt{5}\) ; \(\|\vec{v}\|=\sqrt{10}\).
b) \(\cos\left(\vec{u};\vec{v}\right)=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\)
\(=\dfrac{-1}{\sqrt{50}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{10}\)
3. \(d\left(A;(D)\right)=\dfrac{|2\times1-1+3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\)
\(=\dfrac{4}{\sqrt{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\)
Exercice 2 (7 pts)
Dans un repère orthonormé, on considère les points \(A(-1;2)\), \(B(3;0)\) et \(C(0;-1)\).
1. Déterminer une équation du cercle \((\Gamma)\) de diamètre \([AB]\).
2. Vérifier que \(C\in(\Gamma)\) et déterminer une équation de la tangente à \((\Gamma)\) en \(C\).
3. Soit \((D):2x-y+4=0\).
a) Montrer que \((D)\) est tangente à \((\Gamma)\).
b) Déterminer le point de contact.
1. Déterminer une équation du cercle \((\Gamma)\) de diamètre \([AB]\).
2. Vérifier que \(C\in(\Gamma)\) et déterminer une équation de la tangente à \((\Gamma)\) en \(C\).
3. Soit \((D):2x-y+4=0\).
a) Montrer que \((D)\) est tangente à \((\Gamma)\).
b) Déterminer le point de contact.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Centre \(\Omega\) milieu de \([AB]\) : \(\Omega(1;1)\) ; rayon \(\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{16+4}}{2}=\sqrt{5}\) :
[] \((\Gamma):(x-1)^2+(y-1)^2=5\), soit \(x^2+y^2-2x-2y-3=0\)
2. \(1+4=5\) ✔ ; tangente perpendiculaire à \(\overrightarrow{\Omega C}(-1;-2)\) : \(-(x-0)-2(y+1)=0\) :
[] \(x+2y+2=0\)
3. a) \(d\left(\Omega;(D)\right)=\dfrac{|2-1+4|}{\sqrt{5}}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}=R\) :
[] \((D)\) est tangente à \((\Gamma)\)
b) Le point de contact est le projeté de \(\Omega\) : \((x;y)=(1+2t;1-t)\) dans \((D)\) : \(5+5t=0\), \(t=-1\) :
[] le point \((-1;2)\), c’est-à-dire \(A\)
[] \((\Gamma):(x-1)^2+(y-1)^2=5\), soit \(x^2+y^2-2x-2y-3=0\)
2. \(1+4=5\) ✔ ; tangente perpendiculaire à \(\overrightarrow{\Omega C}(-1;-2)\) : \(-(x-0)-2(y+1)=0\) :
[] \(x+2y+2=0\)
3. a) \(d\left(\Omega;(D)\right)=\dfrac{|2-1+4|}{\sqrt{5}}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}=R\) :
[] \((D)\) est tangente à \((\Gamma)\)
b) Le point de contact est le projeté de \(\Omega\) : \((x;y)=(1+2t;1-t)\) dans \((D)\) : \(5+5t=0\), \(t=-1\) :
[] le point \((-1;2)\), c’est-à-dire \(A\)
Exercice 3 (7 pts)
Soit \(ABC\) un triangle, \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(G\) le barycentre de \((A;1)\), \((B;1)\) et \((C;2)\).
1. Montrer que \(G\) est le milieu de \([IC]\).
2. Soit \(J\) le barycentre de \((A;1)\) et \((C;2)\). Montrer que \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\), puis que \(B\), \(G\) et \(J\) sont alignés.
3. Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\|=\|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\|\).
4. Dans un repère, on donne \(A(0;0)\), \(B(4;0)\) et \(C(1;3)\). Calculer les coordonnées de \(G\).
1. Montrer que \(G\) est le milieu de \([IC]\).
2. Soit \(J\) le barycentre de \((A;1)\) et \((C;2)\). Montrer que \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\), puis que \(B\), \(G\) et \(J\) sont alignés.
3. Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\|=\|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\|\).
4. Dans un repère, on donne \(A(0;0)\), \(B(4;0)\) et \(C(1;3)\). Calculer les coordonnées de \(G\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(I\) est le barycentre de \((A;1)\) et \((B;1)\) ; par associativité \(G\) est le barycentre de \((I;2)\) et \((C;2)\) :
[] \(G\) est le milieu de \([IC]\)
2. \(\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JC}=\vec{0}\iff3\overrightarrow{AJ}=2\overrightarrow{AC}\) ✔. \(G\) est le barycentre de \((B;1)\) et \((J;3)\) (associativité) :
[] \(B\), \(G\) et \(J\) sont alignés
3. \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}\) et \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}\) : \(4MG=AB\iff MG=\dfrac{AB}{4}\) :
[] le cercle de centre \(G\) et de rayon \(\dfrac{AB}{4}\)
4. \(G\left(\dfrac{0+4+2}{4};\dfrac{0+0+6}{4}\right)\) :
[] \(G\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)\)
[] \(G\) est le milieu de \([IC]\)
2. \(\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JC}=\vec{0}\iff3\overrightarrow{AJ}=2\overrightarrow{AC}\) ✔. \(G\) est le barycentre de \((B;1)\) et \((J;3)\) (associativité) :
[] \(B\), \(G\) et \(J\) sont alignés
3. \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}\) et \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}\) : \(4MG=AB\iff MG=\dfrac{AB}{4}\) :
[] le cercle de centre \(G\) et de rayon \(\dfrac{AB}{4}\)
4. \(G\left(\dfrac{0+4+2}{4};\dfrac{0+0+6}{4}\right)\) :
[] \(G\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)\)