Exercice 1 (8 pts)
Soit \(ABC\) un triangle dans le plan tel que \(AB=AC=7\).
1. Construire le point \(J\), le barycentre des points pondérés \((A;3)\) et \((C;4)\).
2. Soient \(I\) et \(G\) deux points du plan tels que \(\overrightarrow{AI}=-2\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CG}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CI}\).
a) Montrer que \(I\) est le barycentre des points pondérés \((A;3)\) et \((B;-2)\).
b) Montrer que \(G\) est le barycentre des points pondérés \((A;3)\), \((B;-2)\), \((C;4)\).
c) Déduire que \(J\) est le point d’intersection des droites \((BG)\) et \((AC)\).
3. À tout point \(M\) du plan, on associe le vecteur \(\vec{u}=-3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\).
a) Montrer que \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\).
b) Déterminer \((E_1)\) l’ensemble des points \(M\) du plan tels que : \(\left\|3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}\right\|=\left\|-3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right\|\).
4. On considère dans le plan le point \(H\), barycentre des points pondérés \((A;-2)\), \((B;4)\), \((C;5)\).
a) Construire le point \(H\).
b) On suppose que \(A(1;0)\), \(B(0;1)\), \(C(-1;3)\) ; déterminer les coordonnées de \(H\).
c) Déterminer \((E_2)\) l’ensemble des points \(M\) du plan dans le cas où \(3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
1. Construire le point \(J\), le barycentre des points pondérés \((A;3)\) et \((C;4)\).
2. Soient \(I\) et \(G\) deux points du plan tels que \(\overrightarrow{AI}=-2\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CG}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CI}\).
a) Montrer que \(I\) est le barycentre des points pondérés \((A;3)\) et \((B;-2)\).
b) Montrer que \(G\) est le barycentre des points pondérés \((A;3)\), \((B;-2)\), \((C;4)\).
c) Déduire que \(J\) est le point d’intersection des droites \((BG)\) et \((AC)\).
3. À tout point \(M\) du plan, on associe le vecteur \(\vec{u}=-3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\).
a) Montrer que \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\).
b) Déterminer \((E_1)\) l’ensemble des points \(M\) du plan tels que : \(\left\|3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}\right\|=\left\|-3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right\|\).
4. On considère dans le plan le point \(H\), barycentre des points pondérés \((A;-2)\), \((B;4)\), \((C;5)\).
a) Construire le point \(H\).
b) On suppose que \(A(1;0)\), \(B(0;1)\), \(C(-1;3)\) ; déterminer les coordonnées de \(H\).
c) Déterminer \((E_2)\) l’ensemble des points \(M\) du plan dans le cas où \(3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 Méthode : \(G\) = Bar\(\{(A;\alpha),(B;\beta)\}\) (\(\alpha+\beta\neq0\)) \(\iff\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\vec{0}\iff\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}\).
1. \(3+4=7\neq0\) : \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{4}{7}\overrightarrow{AC}\).
2.a) \(3-2=1\neq0\) : le barycentre \(I’\) de \((A;3)\) et \((B;-2)\) vérifie \(\overrightarrow{AI’}=\dfrac{-2}{1}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}\).
[] \(I\) = Bar\(\{(A;3),(B;-2)\}\)
b) \(3-2+4=5\neq0\) ; par associativité, le barycentre \(G’\) de \((A;3)\), \((B;-2)\), \((C;4)\) est Bar\(\{(I;1),(C;4)\}\) :
\(\overrightarrow{CG’}=\dfrac{1}{1+4}\overrightarrow{CI}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CG}\).
[] \(G\) = Bar\(\{(A;3),(B;-2),(C;4)\}\)
c) Par associativité : \(G\) = Bar\(\{(J;7),(B;-2)\}\), donc \(J\in(BG)\) ; et \(J\in(AC)\).
[] \(J\) est le point d’intersection de \((BG)\) et \((AC)\)
💡 Méthode : propriété caractéristique : si \(\alpha+\beta+\gamma\neq0\), \(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}+\gamma\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\gamma)\overrightarrow{MG}\) ; si la somme est nulle, le vecteur est constant.
3.a) \(-3+1+2=0\) : \(\vec{u}\) ne dépend pas de \(M\) ; on prend \(M=A\) :
[] \(\vec{u}=-3\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\)
b) \(3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}\) (\(3-2=1\)) :
\(MI=\left\|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\right\|\)
[] \((E_1)\) est le cercle de centre \(I\) et de rayon \(\left\|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\right\|\)
4.a) \(-2+4+5=7\) : avec \(M=A\), \(\overrightarrow{AH}=\dfrac{4}{7}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{7}\overrightarrow{AC}\) (on construit la somme).
b) \(x_H=\dfrac{-2\times1+4\times0+5\times(-1)}{7}\)
\(=-1\)
\(y_H=\dfrac{-2\times0+4\times1+5\times3}{7}\)
\(=\dfrac{19}{7}\)
[] \(H\left(-1;\dfrac{19}{7}\right)\)
c) \(3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}\) : \(\overrightarrow{MI}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires \(\iff M\) appartient à la droite passant par \(I\) et dirigée par \(\overrightarrow{AC}\).
[] \((E_2)\) est la droite passant par \(I\) et parallèle à \((AC)\)
1. \(3+4=7\neq0\) : \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{4}{7}\overrightarrow{AC}\).
2.a) \(3-2=1\neq0\) : le barycentre \(I’\) de \((A;3)\) et \((B;-2)\) vérifie \(\overrightarrow{AI’}=\dfrac{-2}{1}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}\).
[] \(I\) = Bar\(\{(A;3),(B;-2)\}\)
b) \(3-2+4=5\neq0\) ; par associativité, le barycentre \(G’\) de \((A;3)\), \((B;-2)\), \((C;4)\) est Bar\(\{(I;1),(C;4)\}\) :
\(\overrightarrow{CG’}=\dfrac{1}{1+4}\overrightarrow{CI}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CG}\).
[] \(G\) = Bar\(\{(A;3),(B;-2),(C;4)\}\)
c) Par associativité : \(G\) = Bar\(\{(J;7),(B;-2)\}\), donc \(J\in(BG)\) ; et \(J\in(AC)\).
[] \(J\) est le point d’intersection de \((BG)\) et \((AC)\)
💡 Méthode : propriété caractéristique : si \(\alpha+\beta+\gamma\neq0\), \(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}+\gamma\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\gamma)\overrightarrow{MG}\) ; si la somme est nulle, le vecteur est constant.
3.a) \(-3+1+2=0\) : \(\vec{u}\) ne dépend pas de \(M\) ; on prend \(M=A\) :
[] \(\vec{u}=-3\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\)
b) \(3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}\) (\(3-2=1\)) :
\(MI=\left\|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\right\|\)
[] \((E_1)\) est le cercle de centre \(I\) et de rayon \(\left\|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\right\|\)
4.a) \(-2+4+5=7\) : avec \(M=A\), \(\overrightarrow{AH}=\dfrac{4}{7}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{7}\overrightarrow{AC}\) (on construit la somme).
b) \(x_H=\dfrac{-2\times1+4\times0+5\times(-1)}{7}\)
\(=-1\)
\(y_H=\dfrac{-2\times0+4\times1+5\times3}{7}\)
\(=\dfrac{19}{7}\)
[] \(H\left(-1;\dfrac{19}{7}\right)\)
c) \(3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}\) : \(\overrightarrow{MI}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires \(\iff M\) appartient à la droite passant par \(I\) et dirigée par \(\overrightarrow{AC}\).
[] \((E_2)\) est la droite passant par \(I\) et parallèle à \((AC)\)
Exercice 2 (5 pts)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\). On considère les points \(A(2;0)\), \(B(0;2)\) et \(C(4;4)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(AB\) et \(AC\).
2. Calculer \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\) et \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\).
3. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
4. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\) passant par \(C\) et perpendiculaire à \((AB)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(AB\) et \(AC\).
2. Calculer \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\) et \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\).
3. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
4. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\) passant par \(C\) et perpendiculaire à \((AB)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
💡 Méthode : dans un repère orthonormé, \(\vec{u}(x;y)\cdot\vec{v}(x’;y’)=xx’+yy’\) et \(\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}\) ; \(\cos(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\) et \(\sin(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\det(\vec{u},\vec{v})}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\).
1. \(\overrightarrow{AB}(-2;2)\) et \(\overrightarrow{AC}(2;4)\) :
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-4+8\)
\(=4\)
[] \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\) ; \(AB=2\sqrt{2}\) ; \(AC=2\sqrt{5}\)
2. \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{4}{2\sqrt{2}\times2\sqrt{5}}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)
\(\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=(-2)\times4-2\times2\)
\(=-12\)
[] \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{-12}{4\sqrt{10}}=-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)
[] 3. Aire \(=\dfrac{1}{2}\left|\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\right|=6\)
4. \((\Delta)\) admet \(\overrightarrow{AB}(-2;2)\) comme vecteur normal : \(-2x+2y+c=0\) avec \(-8+8+c=0\).
[] \((\Delta)\ :\ x-y=0\)
1. \(\overrightarrow{AB}(-2;2)\) et \(\overrightarrow{AC}(2;4)\) :
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-4+8\)
\(=4\)
[] \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\) ; \(AB=2\sqrt{2}\) ; \(AC=2\sqrt{5}\)
2. \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{4}{2\sqrt{2}\times2\sqrt{5}}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)
\(\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=(-2)\times4-2\times2\)
\(=-12\)
[] \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{-12}{4\sqrt{10}}=-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)
[] 3. Aire \(=\dfrac{1}{2}\left|\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\right|=6\)
4. \((\Delta)\) admet \(\overrightarrow{AB}(-2;2)\) comme vecteur normal : \(-2x+2y+c=0\) avec \(-8+8+c=0\).
[] \((\Delta)\ :\ x-y=0\)
Exercice 3 (7 pts)
On considère les points \(A(1;2)\) et \(B(5;-2)\).
1. Déterminer une équation cartésienne du cercle \((\mathcal{C})\) de diamètre \([AB]\) ; préciser son centre \(I\) et son rayon.
2. Le point \(O\) est-il à l’intérieur ou à l’extérieur de \((\mathcal{C})\) ?
3. Déterminer une équation de la tangente à \((\mathcal{C})\) en \(A\).
4. Soit \((\Delta)\) la droite d’équation \(x-y-1=0\). Étudier la position relative de \((\Delta)\) et \((\mathcal{C})\) puis déterminer leurs points d’intersection.
5. Donner une représentation paramétrique de \((\mathcal{C})\).
1. Déterminer une équation cartésienne du cercle \((\mathcal{C})\) de diamètre \([AB]\) ; préciser son centre \(I\) et son rayon.
2. Le point \(O\) est-il à l’intérieur ou à l’extérieur de \((\mathcal{C})\) ?
3. Déterminer une équation de la tangente à \((\mathcal{C})\) en \(A\).
4. Soit \((\Delta)\) la droite d’équation \(x-y-1=0\). Étudier la position relative de \((\Delta)\) et \((\mathcal{C})\) puis déterminer leurs points d’intersection.
5. Donner une représentation paramétrique de \((\mathcal{C})\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 Méthode : \(M\in(\mathcal{C})\iff\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) (cercle de diamètre \([AB]\)).
1. \((x-1)(x-5)+(y-2)(y+2)=0\)
\(\iff x^2+y^2-6x+1=0\)
\(\iff(x-3)^2+y^2=8\)
[] \((\mathcal{C})\ :\ x^2+y^2-6x+1=0\) ; centre \(I(3;0)\), rayon \(2\sqrt{2}\)
2. \(IO=3\) et \(2\sqrt{2}\approx2{,}83\) : \(IO>r\).
[] \(O\) est à l’extérieur de \((\mathcal{C})\)
💡 Méthode : la tangente en \(A\) au cercle de centre \(\Omega\) est l’ensemble des \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0\).
3. \(\overrightarrow{IA}(-2;2)\) : \(-2(x-1)+2(y-2)=0\).
[] Tangente en \(A\) : \(x-y+1=0\)
4. \(d(I,(\Delta))=\dfrac{|3-0-1|}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}<2\sqrt{2}\)
\((\Delta)\) coupe \((\mathcal{C})\) en deux points. On remplace \(y=x-1\) :
\(x^2+(x-1)^2-6x+1=0\)
\(\iff2x^2-8x+2=0\)
\(\iff x^2-4x+1=0\)
\(\iff x=2+\sqrt{3}\ \ ;\ \ x=2-\sqrt{3}\)
[] \((\Delta)\cap(\mathcal{C})=\left\{E\left(2+\sqrt{3};1+\sqrt{3}\right)\ ;\ F\left(2-\sqrt{3};1-\sqrt{3}\right)\right\}\)
[] 5. \(\begin{cases}x=3+2\sqrt{2}\cos\theta\\y=2\sqrt{2}\sin\theta\end{cases}\) (\(\theta\in\mathbb{R}\))
1. \((x-1)(x-5)+(y-2)(y+2)=0\)
\(\iff x^2+y^2-6x+1=0\)
\(\iff(x-3)^2+y^2=8\)
[] \((\mathcal{C})\ :\ x^2+y^2-6x+1=0\) ; centre \(I(3;0)\), rayon \(2\sqrt{2}\)
2. \(IO=3\) et \(2\sqrt{2}\approx2{,}83\) : \(IO>r\).
[] \(O\) est à l’extérieur de \((\mathcal{C})\)
💡 Méthode : la tangente en \(A\) au cercle de centre \(\Omega\) est l’ensemble des \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0\).
3. \(\overrightarrow{IA}(-2;2)\) : \(-2(x-1)+2(y-2)=0\).
[] Tangente en \(A\) : \(x-y+1=0\)
4. \(d(I,(\Delta))=\dfrac{|3-0-1|}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}<2\sqrt{2}\)
\((\Delta)\) coupe \((\mathcal{C})\) en deux points. On remplace \(y=x-1\) :
\(x^2+(x-1)^2-6x+1=0\)
\(\iff2x^2-8x+2=0\)
\(\iff x^2-4x+1=0\)
\(\iff x=2+\sqrt{3}\ \ ;\ \ x=2-\sqrt{3}\)
[] \((\Delta)\cap(\mathcal{C})=\left\{E\left(2+\sqrt{3};1+\sqrt{3}\right)\ ;\ F\left(2-\sqrt{3};1-\sqrt{3}\right)\right\}\)
[] 5. \(\begin{cases}x=3+2\sqrt{2}\cos\theta\\y=2\sqrt{2}\sin\theta\end{cases}\) (\(\theta\in\mathbb{R}\))