Exercice 1 (11 pts)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{i};\vec{j})\). On considère les points \(A(-1;1)\), \(B(3;3)\) et \(C(1;-3)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(AB\) et \(AC\), puis déterminer la nature du triangle \(ABC\).
2. Calculer \(\cos\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)\) et \(\sin\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)\), puis une mesure de \(\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)\).
3. Déterminer une équation cartésienne du cercle \((\mathcal{C})\) circonscrit au triangle \(ABC\).
4. Déterminer une équation de la tangente à \((\mathcal{C})\) en \(B\).
5. Soit \((D_m)\) la droite d’équation \(x-3y+m=0\) (\(m\in\mathbb{R}\)). Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles \((D_m)\) est tangente à \((\mathcal{C})\).
6. Déterminer une équation cartésienne de \((AB)\) puis calculer \(d(C,(AB))\). Comparer avec \(AC\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(AB\) et \(AC\), puis déterminer la nature du triangle \(ABC\).
2. Calculer \(\cos\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)\) et \(\sin\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)\), puis une mesure de \(\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)\).
3. Déterminer une équation cartésienne du cercle \((\mathcal{C})\) circonscrit au triangle \(ABC\).
4. Déterminer une équation de la tangente à \((\mathcal{C})\) en \(B\).
5. Soit \((D_m)\) la droite d’équation \(x-3y+m=0\) (\(m\in\mathbb{R}\)). Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles \((D_m)\) est tangente à \((\mathcal{C})\).
6. Déterminer une équation cartésienne de \((AB)\) puis calculer \(d(C,(AB))\). Comparer avec \(AC\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 Méthode : dans un repère orthonormé, \(\vec{u}(x;y)\cdot\vec{v}(x’;y’)=xx’+yy’\) et \(\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}\) ; \(\cos(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\) et \(\sin(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\det(\vec{u},\vec{v})}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\).
1. \(\overrightarrow{AB}(4;2)\) et \(\overrightarrow{AC}(2;-4)\) :
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8-8\)
\(=0\)
\(AB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) et \(AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).
[] \(ABC\) est rectangle et isocèle en \(A\)
2. \(\overrightarrow{BA}(-4;-2)\) et \(\overrightarrow{BC}(-2;-6)\) ; \(BA=2\sqrt{5}\) et \(BC=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\).
\(\cos\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{8+12}{2\sqrt{5}\times2\sqrt{10}}\)
\(=\dfrac{20}{20\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\det\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=(-4)(-6)-(-2)(-2)\)
\(=20\)
\(\sin\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{20}{20\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
[] \(\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]\)
3. 💡 le triangle est rectangle en \(A\) : le cercle circonscrit a pour diamètre l’hypoténuse \([BC]\).
Centre \(\Omega(2;0)\) (milieu de \([BC]\)), rayon \(\dfrac{BC}{2}=\sqrt{10}\) :
\((x-2)^2+y^2=10\)
\(\iff x^2+y^2-4x-6=0\)
[] \((\mathcal{C})\ :\ x^2+y^2-4x-6=0\)
💡 Méthode : la tangente en \(A\) au cercle de centre \(\Omega\) est l’ensemble des \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0\).
4. \(\overrightarrow{\Omega B}(1;3)\) : \(1\times(x-3)+3(y-3)=0\).
[] Tangente en \(B\) : \(x+3y-12=0\)
💡 Méthode : \(d(\Omega,(D))=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) ; \((D)\) est tangente au cercle \(\iff d(\Omega,(D))=r\).
5. \(d(\Omega,(D_m))=\dfrac{|2+m|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}\)
\(\iff|2+m|=10\)
[] \(m=8\) ou \(m=-12\)
6. \(\overrightarrow{AB}(4;2)\) directeur, \(\vec{n}(1;-2)\) normal : \(x-2y+c=0\) avec \(-1-2+c=0\), donc \((AB)\ :\ x-2y+3=0\).
\(d(C,(AB))=\dfrac{|1+6+3|}{\sqrt{5}}\)
\(=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\)
[] \(d(C,(AB))=2\sqrt{5}=AC\) : normal, car \((AC)\perp(AB)\)
1. \(\overrightarrow{AB}(4;2)\) et \(\overrightarrow{AC}(2;-4)\) :
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8-8\)
\(=0\)
\(AB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) et \(AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).
[] \(ABC\) est rectangle et isocèle en \(A\)
2. \(\overrightarrow{BA}(-4;-2)\) et \(\overrightarrow{BC}(-2;-6)\) ; \(BA=2\sqrt{5}\) et \(BC=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\).
\(\cos\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{8+12}{2\sqrt{5}\times2\sqrt{10}}\)
\(=\dfrac{20}{20\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\det\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=(-4)(-6)-(-2)(-2)\)
\(=20\)
\(\sin\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{20}{20\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
[] \(\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]\)
3. 💡 le triangle est rectangle en \(A\) : le cercle circonscrit a pour diamètre l’hypoténuse \([BC]\).
Centre \(\Omega(2;0)\) (milieu de \([BC]\)), rayon \(\dfrac{BC}{2}=\sqrt{10}\) :
\((x-2)^2+y^2=10\)
\(\iff x^2+y^2-4x-6=0\)
[] \((\mathcal{C})\ :\ x^2+y^2-4x-6=0\)
💡 Méthode : la tangente en \(A\) au cercle de centre \(\Omega\) est l’ensemble des \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0\).
4. \(\overrightarrow{\Omega B}(1;3)\) : \(1\times(x-3)+3(y-3)=0\).
[] Tangente en \(B\) : \(x+3y-12=0\)
💡 Méthode : \(d(\Omega,(D))=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) ; \((D)\) est tangente au cercle \(\iff d(\Omega,(D))=r\).
5. \(d(\Omega,(D_m))=\dfrac{|2+m|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}\)
\(\iff|2+m|=10\)
[] \(m=8\) ou \(m=-12\)
6. \(\overrightarrow{AB}(4;2)\) directeur, \(\vec{n}(1;-2)\) normal : \(x-2y+c=0\) avec \(-1-2+c=0\), donc \((AB)\ :\ x-2y+3=0\).
\(d(C,(AB))=\dfrac{|1+6+3|}{\sqrt{5}}\)
\(=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\)
[] \(d(C,(AB))=2\sqrt{5}=AC\) : normal, car \((AC)\perp(AB)\)
Exercice 2 (9 pts)
Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) un point du plan tel que \(\overrightarrow{AI}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). Soit \(G\) = Bar\(\{(A;3),(B;-1),(C;3)\}\).
1. a) Construire le point \(I\).
b) Montrer que \(I\) = Bar\(\{(A;3),(B;-1)\}\).
c) En déduire que \(G\) = Bar\(\{(I;2),(C;3)\}\) et construire le point \(G\).
2. Soit \(J\) le milieu du segment \([AC]\). Montrer que les points \(G\), \(J\) et \(B\) sont alignés.
3. Soit \(K\) = Bar\(\{(A;1),(B;-1),(C;3)\}\). Écrire les vecteurs \(\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{AK}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), et déduire \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AK}\).
4. a) Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\left\|3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right\|=15\).
b) Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\left\|3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right\|=\left\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right\|\).
1. a) Construire le point \(I\).
b) Montrer que \(I\) = Bar\(\{(A;3),(B;-1)\}\).
c) En déduire que \(G\) = Bar\(\{(I;2),(C;3)\}\) et construire le point \(G\).
2. Soit \(J\) le milieu du segment \([AC]\). Montrer que les points \(G\), \(J\) et \(B\) sont alignés.
3. Soit \(K\) = Bar\(\{(A;1),(B;-1),(C;3)\}\). Écrire les vecteurs \(\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{AK}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), et déduire \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AK}\).
4. a) Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\left\|3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right\|=15\).
b) Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\left\|3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right\|=\left\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right\|\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
💡 Méthode : \(G\) = Bar\(\{(A;\alpha),(B;\beta)\}\) (\(\alpha+\beta\neq0\)) \(\iff\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\vec{0}\iff\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}\).
1.a) \(I\) est sur la droite \((AB)\), du côté opposé à \(B\) par rapport à \(A\), avec \(AI=\dfrac{1}{2}AB\).
b) \(3-1=2\neq0\) : le barycentre \(I’\) de \((A;3)\) et \((B;-1)\) vérifie \(\overrightarrow{AI’}=\dfrac{-1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}\).
[] \(I\) = Bar\(\{(A;3),(B;-1)\}\)
💡 Méthode : associativité : on remplace deux points par leur barycentre affecté de la somme de leurs coefficients.
c) \(I\) est affecté de \(2\) : \(G\) = Bar\(\{(I;2),(C;3)\}\) et \(\overrightarrow{IG}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{IC}\).
2. \(J\) milieu de \([AC]\) : \(J\) = Bar\(\{(A;3),(C;3)\}\), affecté de \(6\) ; donc \(G\) = Bar\(\{(J;6),(B;-1)\}\).
[] \(G\in(BJ)\) : les points \(G\), \(J\) et \(B\) sont alignés
3. Avec \(M=A\) dans la propriété caractéristique (\(3-1+3=5\) et \(1-1+3=3\)) :
\(\overrightarrow{AG}=-\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}\) ; \(\overrightarrow{AK}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{5}\left(-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
[] \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AK}\)
💡 Méthode : propriété caractéristique : si \(\alpha+\beta+\gamma\neq0\), \(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}+\gamma\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\gamma)\overrightarrow{MG}\) ; si la somme est nulle, le vecteur est constant.
4.a) \(\left\|5\overrightarrow{MG}\right\|=15\)
\(\iff MG=3\)
[] L’ensemble est le cercle de centre \(G\) et de rayon \(3\)
b) \(3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) et \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MJ}\) :
\(2MI=2MJ\)
\(\iff MI=MJ\)
[] L’ensemble est la médiatrice du segment \([IJ]\)
1.a) \(I\) est sur la droite \((AB)\), du côté opposé à \(B\) par rapport à \(A\), avec \(AI=\dfrac{1}{2}AB\).
b) \(3-1=2\neq0\) : le barycentre \(I’\) de \((A;3)\) et \((B;-1)\) vérifie \(\overrightarrow{AI’}=\dfrac{-1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}\).
[] \(I\) = Bar\(\{(A;3),(B;-1)\}\)
💡 Méthode : associativité : on remplace deux points par leur barycentre affecté de la somme de leurs coefficients.
c) \(I\) est affecté de \(2\) : \(G\) = Bar\(\{(I;2),(C;3)\}\) et \(\overrightarrow{IG}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{IC}\).
2. \(J\) milieu de \([AC]\) : \(J\) = Bar\(\{(A;3),(C;3)\}\), affecté de \(6\) ; donc \(G\) = Bar\(\{(J;6),(B;-1)\}\).
[] \(G\in(BJ)\) : les points \(G\), \(J\) et \(B\) sont alignés
3. Avec \(M=A\) dans la propriété caractéristique (\(3-1+3=5\) et \(1-1+3=3\)) :
\(\overrightarrow{AG}=-\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}\) ; \(\overrightarrow{AK}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{5}\left(-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
[] \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AK}\)
💡 Méthode : propriété caractéristique : si \(\alpha+\beta+\gamma\neq0\), \(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}+\gamma\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\gamma)\overrightarrow{MG}\) ; si la somme est nulle, le vecteur est constant.
4.a) \(\left\|5\overrightarrow{MG}\right\|=15\)
\(\iff MG=3\)
[] L’ensemble est le cercle de centre \(G\) et de rayon \(3\)
b) \(3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) et \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MJ}\) :
\(2MI=2MJ\)
\(\iff MI=MJ\)
[] L’ensemble est la médiatrice du segment \([IJ]\)