Exercice 1 (7 pts)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\). On considère les points \(A(1;1)\), \(B(4;2)\) et \(C(2;4)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(AB\) et \(AC\).
2. Calculer \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\) et \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\).
3. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
4. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((BC)\).
5. Calculer la distance \(d(A,(BC))\) et retrouver l’aire du triangle \(ABC\).
6. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de \(A\) dans le triangle \(ABC\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(AB\) et \(AC\).
2. Calculer \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\) et \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\).
3. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
4. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((BC)\).
5. Calculer la distance \(d(A,(BC))\) et retrouver l’aire du triangle \(ABC\).
6. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de \(A\) dans le triangle \(ABC\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 Méthode : dans un repère orthonormé, \(\vec{u}(x;y)\cdot\vec{v}(x’;y’)=xx’+yy’\) et \(\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}\) ; \(\cos(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\) et \(\sin(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\det(\vec{u},\vec{v})}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\).
1. \(\overrightarrow{AB}(3;1)\) et \(\overrightarrow{AC}(1;3)\) :
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3\times1+1\times3\)
\(=6\)
[] \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\) ; \(AB=AC=\sqrt{10}\)
2. \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{6}{\sqrt{10}\times\sqrt{10}}\)
\(=\dfrac{3}{5}\)
\(\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=3\times3-1\times1\)
\(=8\)
[] \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{3}{5}\) ; \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\)
3. 💡 l’aire du triangle \(ABC\) est \(\dfrac{1}{2}\left|\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\right|\).
[] Aire \(=\dfrac{1}{2}\times8=4\)
4. \(\overrightarrow{BC}(-2;2)\) est directeur, donc \(\vec{n}(1;1)\) est normal : \(x+y+c=0\) avec \(4+2+c=0\).
[] \((BC)\ :\ x+y-6=0\)
5. \(d(A,(BC))=\dfrac{|1+1-6|}{\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)
[] \(BC=2\sqrt{2}\) et l’aire vaut \(\dfrac{BC\times d(A,(BC))}{2}=\dfrac{2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}}{2}=4\) ✔
6. La hauteur issue de \(A\) passe par \(A\) et admet \(\overrightarrow{BC}(-2;2)\) comme vecteur normal : \(-2x+2y+c=0\) avec \(-2+2+c=0\).
[] Hauteur issue de \(A\) : \(x-y=0\)
1. \(\overrightarrow{AB}(3;1)\) et \(\overrightarrow{AC}(1;3)\) :
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3\times1+1\times3\)
\(=6\)
[] \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\) ; \(AB=AC=\sqrt{10}\)
2. \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{6}{\sqrt{10}\times\sqrt{10}}\)
\(=\dfrac{3}{5}\)
\(\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=3\times3-1\times1\)
\(=8\)
[] \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{3}{5}\) ; \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\)
3. 💡 l’aire du triangle \(ABC\) est \(\dfrac{1}{2}\left|\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\right|\).
[] Aire \(=\dfrac{1}{2}\times8=4\)
4. \(\overrightarrow{BC}(-2;2)\) est directeur, donc \(\vec{n}(1;1)\) est normal : \(x+y+c=0\) avec \(4+2+c=0\).
[] \((BC)\ :\ x+y-6=0\)
5. \(d(A,(BC))=\dfrac{|1+1-6|}{\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)
[] \(BC=2\sqrt{2}\) et l’aire vaut \(\dfrac{BC\times d(A,(BC))}{2}=\dfrac{2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}}{2}=4\) ✔
6. La hauteur issue de \(A\) passe par \(A\) et admet \(\overrightarrow{BC}(-2;2)\) comme vecteur normal : \(-2x+2y+c=0\) avec \(-2+2+c=0\).
[] Hauteur issue de \(A\) : \(x-y=0\)
Exercice 2 (5 pts)
Soit \((\mathcal{C})\) le cercle de centre \(\Omega(2;-1)\) passant par le point \(A(5;3)\).
1. Calculer le rayon de \((\mathcal{C})\) et montrer qu’une équation cartésienne de \((\mathcal{C})\) est \(x^2+y^2-4x+2y-20=0\).
2. Déterminer une équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal{C})\) en \(A\).
3. Soit \((D)\) la droite d’équation \(4x-3y+14=0\). Montrer que \((D)\) est tangente à \((\mathcal{C})\) et déterminer le point de contact.
1. Calculer le rayon de \((\mathcal{C})\) et montrer qu’une équation cartésienne de \((\mathcal{C})\) est \(x^2+y^2-4x+2y-20=0\).
2. Déterminer une équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal{C})\) en \(A\).
3. Soit \((D)\) la droite d’équation \(4x-3y+14=0\). Montrer que \((D)\) est tangente à \((\mathcal{C})\) et déterminer le point de contact.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(r=\Omega A=\sqrt{3^2+4^2}=5\).
\((x-2)^2+(y+1)^2=25\)
\(\iff x^2-4x+4+y^2+2y+1=25\)
\(\iff x^2+y^2-4x+2y-20=0\)
[] \(r=5\) et \((\mathcal{C})\ :\ x^2+y^2-4x+2y-20=0\)
💡 Méthode : la tangente en \(A\) au cercle de centre \(\Omega\) est l’ensemble des \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0\).
2. \(\overrightarrow{\Omega A}(3;4)\) : \(3(x-5)+4(y-3)=0\).
[] \((T)\ :\ 3x+4y-27=0\)
💡 Méthode : \(d(\Omega,(D))=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) ; \((D)\) est tangente au cercle \(\iff d(\Omega,(D))=r\).
3. \(d(\Omega,(D))=\dfrac{|8+3+14|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\dfrac{25}{5}=5=r\)
\((D)\) est tangente. Le point de contact est \(\Omega+t\vec{n}\) avec \(\vec{n}(4;-3)\) :
\(4(2+4t)-3(-1-3t)+14=0\)
\(\iff25t+25=0\)
\(\iff t=-1\)
[] Point de contact : \(H(-2;2)\)
\((x-2)^2+(y+1)^2=25\)
\(\iff x^2-4x+4+y^2+2y+1=25\)
\(\iff x^2+y^2-4x+2y-20=0\)
[] \(r=5\) et \((\mathcal{C})\ :\ x^2+y^2-4x+2y-20=0\)
💡 Méthode : la tangente en \(A\) au cercle de centre \(\Omega\) est l’ensemble des \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0\).
2. \(\overrightarrow{\Omega A}(3;4)\) : \(3(x-5)+4(y-3)=0\).
[] \((T)\ :\ 3x+4y-27=0\)
💡 Méthode : \(d(\Omega,(D))=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) ; \((D)\) est tangente au cercle \(\iff d(\Omega,(D))=r\).
3. \(d(\Omega,(D))=\dfrac{|8+3+14|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\dfrac{25}{5}=5=r\)
\((D)\) est tangente. Le point de contact est \(\Omega+t\vec{n}\) avec \(\vec{n}(4;-3)\) :
\(4(2+4t)-3(-1-3t)+14=0\)
\(\iff25t+25=0\)
\(\iff t=-1\)
[] Point de contact : \(H(-2;2)\)
Exercice 3 (8 pts)
Soit \(ABC\) un triangle, \(I\) le milieu de \([BC]\) et \(G\) le centre de gravité du triangle \(ABC\).
1. Construire \(D\) le barycentre de \((A;2)\) et \((G;-3)\).
2. a) Écrire \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{ID}\) en fonction de \(\overrightarrow{AG}\).
b) En déduire que \(ABDC\) est un parallélogramme.
3. Déterminer \((\Gamma)\) l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\left\|-3\overrightarrow{MG}+2\overrightarrow{MA}\right\|=BI\), puis construire cet ensemble.
4. Le plan est muni d’un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\) tel que \(A(-2;-1)\), \(B(-3;4)\) et \(C(1;3)\). Calculer les coordonnées des deux points \(D\) et \(G\).
1. Construire \(D\) le barycentre de \((A;2)\) et \((G;-3)\).
2. a) Écrire \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{ID}\) en fonction de \(\overrightarrow{AG}\).
b) En déduire que \(ABDC\) est un parallélogramme.
3. Déterminer \((\Gamma)\) l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\left\|-3\overrightarrow{MG}+2\overrightarrow{MA}\right\|=BI\), puis construire cet ensemble.
4. Le plan est muni d’un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\) tel que \(A(-2;-1)\), \(B(-3;4)\) et \(C(1;3)\). Calculer les coordonnées des deux points \(D\) et \(G\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 Méthode : \(G\) = Bar\(\{(A;\alpha),(B;\beta)\}\) (\(\alpha+\beta\neq0\)) \(\iff\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\vec{0}\iff\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}\).
1. \(2-3=-1\neq0\) : \(\overrightarrow{AD}=\dfrac{-3}{-1}\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AG}\).
2.a) \(G\) centre de gravité : \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\), donc \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG}\).
\(\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AI}\)
\(=3\overrightarrow{AG}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG}\)
\(=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG}\)
[] \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{ID}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG}\)
b) \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{ID}\) : \(I\) est le milieu de \([AD]\) ; et \(I\) est le milieu de \([BC]\).
[] Les diagonales \([AD]\) et \([BC]\) ont le même milieu : \(ABDC\) est un parallélogramme
💡 Méthode : propriété caractéristique : si \(\alpha+\beta+\gamma\neq0\), \(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}+\gamma\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\gamma)\overrightarrow{MG}\) ; si la somme est nulle, le vecteur est constant.
3. \(D\) = Bar\(\{(A;2),(G;-3)\}\) : \(-3\overrightarrow{MG}+2\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MD}\).
\(\left\|-\overrightarrow{MD}\right\|=BI\)
\(\iff MD=BI\)
[] \((\Gamma)\) est le cercle de centre \(D\) et de rayon \(BI=\dfrac{BC}{2}\)
4. \(G\left(\dfrac{-2-3+1}{3};\dfrac{-1+4+3}{3}\right)\) et \(\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}\) avec \(\overrightarrow{AG}\left(\dfrac{2}{3};3\right)\).
[] \(G\left(-\dfrac{4}{3};2\right)\) et \(D(0;8)\) (on vérifie \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) ✔)
1. \(2-3=-1\neq0\) : \(\overrightarrow{AD}=\dfrac{-3}{-1}\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AG}\).
2.a) \(G\) centre de gravité : \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\), donc \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG}\).
\(\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AI}\)
\(=3\overrightarrow{AG}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG}\)
\(=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG}\)
[] \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{ID}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG}\)
b) \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{ID}\) : \(I\) est le milieu de \([AD]\) ; et \(I\) est le milieu de \([BC]\).
[] Les diagonales \([AD]\) et \([BC]\) ont le même milieu : \(ABDC\) est un parallélogramme
💡 Méthode : propriété caractéristique : si \(\alpha+\beta+\gamma\neq0\), \(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}+\gamma\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\gamma)\overrightarrow{MG}\) ; si la somme est nulle, le vecteur est constant.
3. \(D\) = Bar\(\{(A;2),(G;-3)\}\) : \(-3\overrightarrow{MG}+2\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MD}\).
\(\left\|-\overrightarrow{MD}\right\|=BI\)
\(\iff MD=BI\)
[] \((\Gamma)\) est le cercle de centre \(D\) et de rayon \(BI=\dfrac{BC}{2}\)
4. \(G\left(\dfrac{-2-3+1}{3};\dfrac{-1+4+3}{3}\right)\) et \(\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}\) avec \(\overrightarrow{AG}\left(\dfrac{2}{3};3\right)\).
[] \(G\left(-\dfrac{4}{3};2\right)\) et \(D(0;8)\) (on vérifie \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) ✔)