Exercice 1 (6 pts)
1. \(ABC\) est un triangle tel que \(AB=4\), \(AC=3\) et \(\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}\). Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) puis \(BC\).
2. Dans un repère orthonormé, on considère \(\vec{u}(2;-1)\) et \(\vec{v}(1;3)\).
a) Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).
b) En déduire \(\cos\left(\vec{u};\vec{v}\right)\).
3. Calculer la distance du point \(A(1;1)\) à la droite \((D):2x-y+3=0\).
2. Dans un repère orthonormé, on considère \(\vec{u}(2;-1)\) et \(\vec{v}(1;3)\).
a) Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).
b) En déduire \(\cos\left(\vec{u};\vec{v}\right)\).
3. Calculer la distance du point \(A(1;1)\) à la droite \((D):2x-y+3=0\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\dfrac{\pi}{3}=4\times3\times\dfrac{1}{2}=6\).
\(BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=16+9-12=13\)
[] \(BC=\sqrt{13}\)
2. a) \(\vec{u}\cdot\vec{v}=2-3=-1\) ; \(\|\vec{u}\|=\sqrt{5}\) ; \(\|\vec{v}\|=\sqrt{10}\).
b) \(\cos\left(\vec{u};\vec{v}\right)=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\)
\(=\dfrac{-1}{\sqrt{50}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{10}\)
3. \(d\left(A;(D)\right)=\dfrac{|2\times1-1+3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\)
\(=\dfrac{4}{\sqrt{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\)
\(BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=16+9-12=13\)
[] \(BC=\sqrt{13}\)
2. a) \(\vec{u}\cdot\vec{v}=2-3=-1\) ; \(\|\vec{u}\|=\sqrt{5}\) ; \(\|\vec{v}\|=\sqrt{10}\).
b) \(\cos\left(\vec{u};\vec{v}\right)=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\)
\(=\dfrac{-1}{\sqrt{50}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{10}\)
3. \(d\left(A;(D)\right)=\dfrac{|2\times1-1+3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\)
\(=\dfrac{4}{\sqrt{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\)
Exercice 2 (7 pts)
Dans un repère orthonormé, on considère l’ensemble \((C)\) des points \(M(x;y)\) tels que \(x^2+y^2-4x+2y-4=0\).
1. Montrer que \((C)\) est un cercle de centre \(\Omega(2;-1)\) et de rayon \(3\).
2. Vérifier que \(A(2;2)\in(C)\) et déterminer une équation de la tangente à \((C)\) en \(A\).
3. Soit \((D):x+y-4=0\). Calculer \(d\left(\Omega;(D)\right)\) et déterminer les points d’intersection de \((D)\) et \((C)\).
4. Déterminer l’ensemble des points \(M(x;y)\) tels que \(x^2+y^2+2x-6y+12=0\).
1. Montrer que \((C)\) est un cercle de centre \(\Omega(2;-1)\) et de rayon \(3\).
2. Vérifier que \(A(2;2)\in(C)\) et déterminer une équation de la tangente à \((C)\) en \(A\).
3. Soit \((D):x+y-4=0\). Calculer \(d\left(\Omega;(D)\right)\) et déterminer les points d’intersection de \((D)\) et \((C)\).
4. Déterminer l’ensemble des points \(M(x;y)\) tels que \(x^2+y^2+2x-6y+12=0\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \((x-2)^2+(y+1)^2=4+4+1=9\) :
[] \(\Omega(2;-1)\) et \(R=3\)
2. \(0+9=9\) ✔. La tangente en \(A\) est perpendiculaire à \(\overrightarrow{\Omega A}(0;3)\) : \(3(y-2)=0\) :
[] \((T):y=2\)
3. \(d=\dfrac{|2-1-4|}{\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}<3\) : \((D)\) coupe \((C)\) en deux points. Avec \(y=4-x\) :
\(x^2+(4-x)^2-4x+2(4-x)-4=0\iff2x^2-14x+20=0\)
\(\iff(x-2)(x-5)=0\)
[] les points \((2;2)\) et \((5;-1)\)
4. \((x+1)^2+(y-3)^2=-12+1+9=-2<0\) :
[] l’ensemble est vide
[] \(\Omega(2;-1)\) et \(R=3\)
2. \(0+9=9\) ✔. La tangente en \(A\) est perpendiculaire à \(\overrightarrow{\Omega A}(0;3)\) : \(3(y-2)=0\) :
[] \((T):y=2\)
3. \(d=\dfrac{|2-1-4|}{\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}<3\) : \((D)\) coupe \((C)\) en deux points. Avec \(y=4-x\) :
\(x^2+(4-x)^2-4x+2(4-x)-4=0\iff2x^2-14x+20=0\)
\(\iff(x-2)(x-5)=0\)
[] les points \((2;2)\) et \((5;-1)\)
4. \((x+1)^2+(y-3)^2=-12+1+9=-2<0\) :
[] l’ensemble est vide
Exercice 3 (7 pts)
Dans un repère orthonormé, on considère les points \(A(1;1)\), \(B(5;-3)\) et \(C(0;2)\).
1. Soit \(G\) le barycentre des points pondérés \((A;1)\) et \((B;3)\). Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\) et calculer les coordonnées de \(G\).
2. Déterminer l’ensemble \((\Gamma)\) des points \(M\) tels que \(\|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\|=\|2\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}\|\).
3. Soit \(H\) le barycentre de \((A;1)\), \((B;3)\) et \((C;-2)\).
a) Calculer les coordonnées de \(H\).
b) Montrer que \(H\) est le barycentre de \((G;4)\) et \((C;-2)\) et en déduire que \(G\), \(C\) et \(H\) sont alignés.
1. Soit \(G\) le barycentre des points pondérés \((A;1)\) et \((B;3)\). Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\) et calculer les coordonnées de \(G\).
2. Déterminer l’ensemble \((\Gamma)\) des points \(M\) tels que \(\|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\|=\|2\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}\|\).
3. Soit \(H\) le barycentre de \((A;1)\), \((B;3)\) et \((C;-2)\).
a) Calculer les coordonnées de \(H\).
b) Montrer que \(H\) est le barycentre de \((G;4)\) et \((C;-2)\) et en déduire que \(G\), \(C\) et \(H\) sont alignés.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec{0}\iff4\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AB}\) ✔ ; \(G\left(\dfrac{1+15}{4};\dfrac{1-9}{4}\right)\) :
[] \(G(4;-2)\)
2. \(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{MG}\) et \(2\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{BA}\) : \(4MG=2AB\iff MG=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{32}}{2}=2\sqrt{2}\) :
[] \((\Gamma)\) est le cercle de centre \(G\) et de rayon \(2\sqrt{2}\)
3. a) \(1+3-2=2\neq0\) : \(H\left(\dfrac{1+15-0}{2};\dfrac{1-9-4}{2}\right)\) :
[] \(H(8;-6)\)
b) Par associativité, \((A;1)\) et \((B;3)\) se remplacent par \((G;4)\) : \(H\) est le barycentre de \((G;4)\) et \((C;-2)\), donc \(H\in(GC)\) :
[] \(G\), \(C\) et \(H\) sont alignés
[] \(G(4;-2)\)
2. \(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{MG}\) et \(2\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{BA}\) : \(4MG=2AB\iff MG=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{32}}{2}=2\sqrt{2}\) :
[] \((\Gamma)\) est le cercle de centre \(G\) et de rayon \(2\sqrt{2}\)
3. a) \(1+3-2=2\neq0\) : \(H\left(\dfrac{1+15-0}{2};\dfrac{1-9-4}{2}\right)\) :
[] \(H(8;-6)\)
b) Par associativité, \((A;1)\) et \((B;3)\) se remplacent par \((G;4)\) : \(H\) est le barycentre de \((G;4)\) et \((C;-2)\), donc \(H\in(GC)\) :
[] \(G\), \(C\) et \(H\) sont alignés