Exercice 1 (6 pts)
Dans un repère orthonormé, on considère les points \(A(1;2)\), \(B(3;-2)\) et \(C(5;4)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
2. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\) passant par \(A\) et perpendiculaire à \((BC)\).
3. a) Vérifier que \(x-2y+3=0\) est une équation de la droite \((AC)\).
b) Calculer la distance de \(B\) à la droite \((AC)\) et retrouver la longueur \(AB\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
2. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\) passant par \(A\) et perpendiculaire à \((BC)\).
3. a) Vérifier que \(x-2y+3=0\) est une équation de la droite \((AC)\).
b) Calculer la distance de \(B\) à la droite \((AC)\) et retrouver la longueur \(AB\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AB}(2;-4)\), \(\overrightarrow{AC}(4;2)\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8-8=0\) et \(AB=AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) :
[] \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\)
2. \(\overrightarrow{BC}(2;6)\) est normal à \((\Delta)\) : \(M(x;y)\in(\Delta)\iff\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)
\(\iff2(x-1)+6(y-2)=0\)
[] \((\Delta):x+3y-7=0\)
3. a) \(A\) : \(1-4+3=0\) ✔ ; \(C\) : \(5-8+3=0\) ✔.
b) \(d\left(B;(AC)\right)=\dfrac{|3+4+3|}{\sqrt{5}}=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\) :
[] égale à \(AB\) (car \((AB)\perp(AC)\))
[] \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\)
2. \(\overrightarrow{BC}(2;6)\) est normal à \((\Delta)\) : \(M(x;y)\in(\Delta)\iff\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)
\(\iff2(x-1)+6(y-2)=0\)
[] \((\Delta):x+3y-7=0\)
3. a) \(A\) : \(1-4+3=0\) ✔ ; \(C\) : \(5-8+3=0\) ✔.
b) \(d\left(B;(AC)\right)=\dfrac{|3+4+3|}{\sqrt{5}}=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\) :
[] égale à \(AB\) (car \((AB)\perp(AC)\))
Exercice 2 (7 pts)
Dans un repère orthonormé, on considère les points \(A(-1;2)\), \(B(3;0)\) et \(C(0;-1)\).
1. Déterminer une équation du cercle \((\Gamma)\) de diamètre \([AB]\).
2. Vérifier que \(C\in(\Gamma)\) et déterminer une équation de la tangente à \((\Gamma)\) en \(C\).
3. Soit \((D):2x-y+4=0\).
a) Montrer que \((D)\) est tangente à \((\Gamma)\).
b) Déterminer le point de contact.
1. Déterminer une équation du cercle \((\Gamma)\) de diamètre \([AB]\).
2. Vérifier que \(C\in(\Gamma)\) et déterminer une équation de la tangente à \((\Gamma)\) en \(C\).
3. Soit \((D):2x-y+4=0\).
a) Montrer que \((D)\) est tangente à \((\Gamma)\).
b) Déterminer le point de contact.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Centre \(\Omega\) milieu de \([AB]\) : \(\Omega(1;1)\) ; rayon \(\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{16+4}}{2}=\sqrt{5}\) :
[] \((\Gamma):(x-1)^2+(y-1)^2=5\), soit \(x^2+y^2-2x-2y-3=0\)
2. \(1+4=5\) ✔ ; tangente perpendiculaire à \(\overrightarrow{\Omega C}(-1;-2)\) : \(-(x-0)-2(y+1)=0\) :
[] \(x+2y+2=0\)
3. a) \(d\left(\Omega;(D)\right)=\dfrac{|2-1+4|}{\sqrt{5}}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}=R\) :
[] \((D)\) est tangente à \((\Gamma)\)
b) Le point de contact est le projeté de \(\Omega\) : \((x;y)=(1+2t;1-t)\) dans \((D)\) : \(5+5t=0\), \(t=-1\) :
[] le point \((-1;2)\), c’est-à-dire \(A\)
[] \((\Gamma):(x-1)^2+(y-1)^2=5\), soit \(x^2+y^2-2x-2y-3=0\)
2. \(1+4=5\) ✔ ; tangente perpendiculaire à \(\overrightarrow{\Omega C}(-1;-2)\) : \(-(x-0)-2(y+1)=0\) :
[] \(x+2y+2=0\)
3. a) \(d\left(\Omega;(D)\right)=\dfrac{|2-1+4|}{\sqrt{5}}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}=R\) :
[] \((D)\) est tangente à \((\Gamma)\)
b) Le point de contact est le projeté de \(\Omega\) : \((x;y)=(1+2t;1-t)\) dans \((D)\) : \(5+5t=0\), \(t=-1\) :
[] le point \((-1;2)\), c’est-à-dire \(A\)
Exercice 3 (7 pts)
Soit \(ABC\) un triangle, \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(G\) le barycentre de \((A;1)\), \((B;1)\) et \((C;2)\).
1. Montrer que \(G\) est le milieu de \([IC]\).
2. Soit \(J\) le barycentre de \((A;1)\) et \((C;2)\). Montrer que \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\), puis que \(B\), \(G\) et \(J\) sont alignés.
3. Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\|=\|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\|\).
4. Dans un repère, on donne \(A(0;0)\), \(B(4;0)\) et \(C(1;3)\). Calculer les coordonnées de \(G\).
1. Montrer que \(G\) est le milieu de \([IC]\).
2. Soit \(J\) le barycentre de \((A;1)\) et \((C;2)\). Montrer que \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\), puis que \(B\), \(G\) et \(J\) sont alignés.
3. Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\|=\|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\|\).
4. Dans un repère, on donne \(A(0;0)\), \(B(4;0)\) et \(C(1;3)\). Calculer les coordonnées de \(G\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(I\) est le barycentre de \((A;1)\) et \((B;1)\) ; par associativité \(G\) est le barycentre de \((I;2)\) et \((C;2)\) :
[] \(G\) est le milieu de \([IC]\)
2. \(\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JC}=\vec{0}\iff3\overrightarrow{AJ}=2\overrightarrow{AC}\) ✔. \(G\) est le barycentre de \((B;1)\) et \((J;3)\) (associativité) :
[] \(B\), \(G\) et \(J\) sont alignés
3. \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}\) et \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}\) : \(4MG=AB\iff MG=\dfrac{AB}{4}\) :
[] le cercle de centre \(G\) et de rayon \(\dfrac{AB}{4}\)
4. \(G\left(\dfrac{0+4+2}{4};\dfrac{0+0+6}{4}\right)\) :
[] \(G\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)\)
[] \(G\) est le milieu de \([IC]\)
2. \(\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JC}=\vec{0}\iff3\overrightarrow{AJ}=2\overrightarrow{AC}\) ✔. \(G\) est le barycentre de \((B;1)\) et \((J;3)\) (associativité) :
[] \(B\), \(G\) et \(J\) sont alignés
3. \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}\) et \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}\) : \(4MG=AB\iff MG=\dfrac{AB}{4}\) :
[] le cercle de centre \(G\) et de rayon \(\dfrac{AB}{4}\)
4. \(G\left(\dfrac{0+4+2}{4};\dfrac{0+0+6}{4}\right)\) :
[] \(G\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)\)