Exercice 1 (6 pts)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\). On considère les points \(A(1;2)\), \(B(3;-2)\) et \(C(5;4)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(AB\) et \(AC\). En déduire la nature du triangle \(ABC\).
2. Calculer \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\) et \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\), puis une mesure de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\).
3. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice \((\Delta)\) du segment \([BC]\). Vérifier que \(A\in(\Delta)\).
4. Calculer la distance du point \(B\) à la droite \((AC)\), puis l’aire du triangle \(ABC\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(AB\) et \(AC\). En déduire la nature du triangle \(ABC\).
2. Calculer \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\) et \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\), puis une mesure de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\).
3. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice \((\Delta)\) du segment \([BC]\). Vérifier que \(A\in(\Delta)\).
4. Calculer la distance du point \(B\) à la droite \((AC)\), puis l’aire du triangle \(ABC\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 Méthode : dans un repère orthonormé, \(\vec{u}(x;y)\cdot\vec{v}(x’;y’)=xx’+yy’\) et \(\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}\) ; \(\cos(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\) et \(\sin(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\det(\vec{u},\vec{v})}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\).
1. \(\overrightarrow{AB}(2;-4)\) et \(\overrightarrow{AC}(4;2)\) :
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times4+(-4)\times2\)
\(=0\)
\(AB=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\) ; \(AC=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}\)
[] \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) et \(AB=AC\) : \(ABC\) est rectangle et isocèle en \(A\)
2. \(\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=2\times2-(-4)\times4=20\) et \(AB\times AC=20\) :
\(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{0}{20}=0\) ; \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{20}{20}=1\)
[] \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\)
3. 💡 la médiatrice de \([BC]\) passe par le milieu \(K\) de \([BC]\) et admet \(\overrightarrow{BC}\) comme vecteur normal.
\(K(4;1)\) et \(\overrightarrow{BC}(2;6)\) : \((\Delta)\ :\ 2x+6y+c=0\) avec \(2\times4+6\times1+c=0\), donc \(c=-14\).
[] \((\Delta)\ :\ x+3y-7=0\) ; \(1+6-7=0\) donc \(A\in(\Delta)\) ✔
4. \((AC)\) passe par \(A\) et admet \(\vec{n}(1;-2)\) comme vecteur normal (\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=4-4=0\)) : \((AC)\ :\ x-2y+3=0\).
\(d(B,(AC))=\dfrac{|3+4+3|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\dfrac{10}{\sqrt{5}}\)
\(=2\sqrt{5}\)
[] \(d(B,(AC))=2\sqrt{5}\) et l’aire vaut \(\dfrac{AC\times d(B,(AC))}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}\times2\sqrt{5}}{2}=10\)
1. \(\overrightarrow{AB}(2;-4)\) et \(\overrightarrow{AC}(4;2)\) :
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times4+(-4)\times2\)
\(=0\)
\(AB=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\) ; \(AC=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}\)
[] \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) et \(AB=AC\) : \(ABC\) est rectangle et isocèle en \(A\)
2. \(\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=2\times2-(-4)\times4=20\) et \(AB\times AC=20\) :
\(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{0}{20}=0\) ; \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{20}{20}=1\)
[] \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\)
3. 💡 la médiatrice de \([BC]\) passe par le milieu \(K\) de \([BC]\) et admet \(\overrightarrow{BC}\) comme vecteur normal.
\(K(4;1)\) et \(\overrightarrow{BC}(2;6)\) : \((\Delta)\ :\ 2x+6y+c=0\) avec \(2\times4+6\times1+c=0\), donc \(c=-14\).
[] \((\Delta)\ :\ x+3y-7=0\) ; \(1+6-7=0\) donc \(A\in(\Delta)\) ✔
4. \((AC)\) passe par \(A\) et admet \(\vec{n}(1;-2)\) comme vecteur normal (\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=4-4=0\)) : \((AC)\ :\ x-2y+3=0\).
\(d(B,(AC))=\dfrac{|3+4+3|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\dfrac{10}{\sqrt{5}}\)
\(=2\sqrt{5}\)
[] \(d(B,(AC))=2\sqrt{5}\) et l’aire vaut \(\dfrac{AC\times d(B,(AC))}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}\times2\sqrt{5}}{2}=10\)
Exercice 2 (7 pts)
Soit \((\mathcal{C})\) l’ensemble des points \(M(x;y)\) tels que \(x^2+y^2-2x+4y-4=0\).
1. Montrer que \((\mathcal{C})\) est un cercle dont on déterminera le centre \(\Omega\) et le rayon \(r\).
2. Vérifier que \(A(4;-2)\in(\mathcal{C})\), puis déterminer une équation de la tangente à \((\mathcal{C})\) en \(A\).
3. Soit \((D)\) la droite d’équation \(x+y+4=0\).
a) Calculer \(d(\Omega,(D))\) et en déduire la position relative de \((D)\) et \((\mathcal{C})\).
b) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de \((D)\) et \((\mathcal{C})\).
4. Donner une représentation paramétrique du cercle \((\mathcal{C})\).
5. Selon les valeurs du réel \(m\), déterminer l’ensemble \((\Gamma_m)\) des points \(M(x;y)\) tels que \(x^2+y^2-6x+2y+m=0\).
1. Montrer que \((\mathcal{C})\) est un cercle dont on déterminera le centre \(\Omega\) et le rayon \(r\).
2. Vérifier que \(A(4;-2)\in(\mathcal{C})\), puis déterminer une équation de la tangente à \((\mathcal{C})\) en \(A\).
3. Soit \((D)\) la droite d’équation \(x+y+4=0\).
a) Calculer \(d(\Omega,(D))\) et en déduire la position relative de \((D)\) et \((\mathcal{C})\).
b) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de \((D)\) et \((\mathcal{C})\).
4. Donner une représentation paramétrique du cercle \((\mathcal{C})\).
5. Selon les valeurs du réel \(m\), déterminer l’ensemble \((\Gamma_m)\) des points \(M(x;y)\) tels que \(x^2+y^2-6x+2y+m=0\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
💡 Méthode : on écrit l’équation sous la forme \((x-a)^2+(y-b)^2=k\) (forme canonique) : si \(k>0\), c’est le cercle de centre \(\Omega(a;b)\) et de rayon \(\sqrt{k}\).
1. \(x^2-2x+y^2+4y-4=0\)
\(\iff(x-1)^2-1+(y+2)^2-4-4=0\)
\(\iff(x-1)^2+(y+2)^2=9\)
[] \((\mathcal{C})\) est le cercle de centre \(\Omega(1;-2)\) et de rayon \(r=3\)
2. \((4-1)^2+(-2+2)^2=9\) donc \(A\in(\mathcal{C})\).
💡 Méthode : la tangente en \(A\) au cercle de centre \(\Omega\) est l’ensemble des \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0\).
\(\overrightarrow{\Omega A}(3;0)\) et \(\overrightarrow{AM}(x-4;y+2)\) : \(3(x-4)+0\times(y+2)=0\).
[] La tangente en \(A\) a pour équation \(x=4\)
💡 Méthode : \(d(\Omega,(D))=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) ; \((D)\) est tangente au cercle \(\iff d(\Omega,(D))=r\).
3.a) \(d(\Omega,(D))=\dfrac{|1-2+4|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
[] \(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}<3\) : \((D)\) coupe \((\mathcal{C})\) en deux points
b) On remplace \(y=-x-4\) dans l’équation de \((\mathcal{C})\) :
\((x-1)^2+(-x-2)^2=9\)
\(\iff2x^2+2x-4=0\)
\(\iff x^2+x-2=0\)
\(\iff(x-1)(x+2)=0\)
[] \((D)\cap(\mathcal{C})=\{E(1;-5)\ ;\ F(-2;-2)\}\)
4. 💡 \(M\in(\mathcal{C})\iff x=a+r\cos\theta\) et \(y=b+r\sin\theta\) (\(\theta\in\mathbb{R}\)).
[] \(\begin{cases}x=1+3\cos\theta\\y=-2+3\sin\theta\end{cases}\) (\(\theta\in\mathbb{R}\))
5. \(x^2+y^2-6x+2y+m=0\)
\(\iff(x-3)^2+(y+1)^2=10-m\)
- Si \(m<10\) : cercle de centre \((3;-1)\) et de rayon \(\sqrt{10-m}\) ;
- Si \(m=10\) : \((\Gamma_m)=\{(3;-1)\}\) (un point) ;
[!] Si \(m>10\) : \((\Gamma_m)=\emptyset\)
1. \(x^2-2x+y^2+4y-4=0\)
\(\iff(x-1)^2-1+(y+2)^2-4-4=0\)
\(\iff(x-1)^2+(y+2)^2=9\)
[] \((\mathcal{C})\) est le cercle de centre \(\Omega(1;-2)\) et de rayon \(r=3\)
2. \((4-1)^2+(-2+2)^2=9\) donc \(A\in(\mathcal{C})\).
💡 Méthode : la tangente en \(A\) au cercle de centre \(\Omega\) est l’ensemble des \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0\).
\(\overrightarrow{\Omega A}(3;0)\) et \(\overrightarrow{AM}(x-4;y+2)\) : \(3(x-4)+0\times(y+2)=0\).
[] La tangente en \(A\) a pour équation \(x=4\)
💡 Méthode : \(d(\Omega,(D))=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) ; \((D)\) est tangente au cercle \(\iff d(\Omega,(D))=r\).
3.a) \(d(\Omega,(D))=\dfrac{|1-2+4|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
[] \(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}<3\) : \((D)\) coupe \((\mathcal{C})\) en deux points
b) On remplace \(y=-x-4\) dans l’équation de \((\mathcal{C})\) :
\((x-1)^2+(-x-2)^2=9\)
\(\iff2x^2+2x-4=0\)
\(\iff x^2+x-2=0\)
\(\iff(x-1)(x+2)=0\)
[] \((D)\cap(\mathcal{C})=\{E(1;-5)\ ;\ F(-2;-2)\}\)
4. 💡 \(M\in(\mathcal{C})\iff x=a+r\cos\theta\) et \(y=b+r\sin\theta\) (\(\theta\in\mathbb{R}\)).
[] \(\begin{cases}x=1+3\cos\theta\\y=-2+3\sin\theta\end{cases}\) (\(\theta\in\mathbb{R}\))
5. \(x^2+y^2-6x+2y+m=0\)
\(\iff(x-3)^2+(y+1)^2=10-m\)
- Si \(m<10\) : cercle de centre \((3;-1)\) et de rayon \(\sqrt{10-m}\) ;
- Si \(m=10\) : \((\Gamma_m)=\{(3;-1)\}\) (un point) ;
[!] Si \(m>10\) : \((\Gamma_m)=\emptyset\)
Exercice 3 (7 pts)
Soit \(ABC\) un triangle, \(I\) le milieu de \([AC]\) et \(G\) = Bar\(\{(A;1),(B;2),(C;1)\}\).
1. Montrer que \(G\) = Bar\(\{(I;2),(B;2)\}\), puis que \(G\) est le milieu de \([IB]\).
2. Construire le point \(G\).
3. Soit \(E\) = Bar\(\{(A;1),(B;2)\}\). Montrer que \(G\in(CE)\) et que \(\overrightarrow{CG}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{CE}\).
4. Déterminer l’ensemble \((\Gamma_1)\) des points \(M\) du plan tels que \(\left\|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right\|=\left\|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}\right\|\).
5. Déterminer l’ensemble \((\Gamma_2)\) des points \(M\) du plan tels que \(\left\|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right\|=2\left\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right\|\).
6. Dans un repère, on donne \(A(0;0)\), \(B(4;0)\) et \(C(2;4)\). Calculer les coordonnées de \(I\), \(E\) et \(G\).
1. Montrer que \(G\) = Bar\(\{(I;2),(B;2)\}\), puis que \(G\) est le milieu de \([IB]\).
2. Construire le point \(G\).
3. Soit \(E\) = Bar\(\{(A;1),(B;2)\}\). Montrer que \(G\in(CE)\) et que \(\overrightarrow{CG}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{CE}\).
4. Déterminer l’ensemble \((\Gamma_1)\) des points \(M\) du plan tels que \(\left\|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right\|=\left\|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}\right\|\).
5. Déterminer l’ensemble \((\Gamma_2)\) des points \(M\) du plan tels que \(\left\|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right\|=2\left\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right\|\).
6. Dans un repère, on donne \(A(0;0)\), \(B(4;0)\) et \(C(2;4)\). Calculer les coordonnées de \(I\), \(E\) et \(G\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 Méthode : associativité : on remplace deux points par leur barycentre affecté de la somme de leurs coefficients.
1. \(I\) milieu de \([AC]\) : \(I\) = Bar\(\{(A;1),(C;1)\}\), affecté de \(1+1=2\).
Par associativité : \(G\) = Bar\(\{(I;2),(B;2)\}\) ; les coefficients sont égaux.
[] \(G\) est le milieu de \([IB]\)
2. On place \(I\) au milieu de \([AC]\), puis \(G\) au milieu de \([IB]\) :
3. \(E\) = Bar\(\{(A;1),(B;2)\}\) est affecté de \(3\) ; par associativité \(G\) = Bar\(\{(E;3),(C;1)\}\), donc \(G\in(CE)\).
[] \(\overrightarrow{CG}=\dfrac{3}{3+1}\overrightarrow{CE}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{CE}\)
💡 Méthode : propriété caractéristique : si \(\alpha+\beta+\gamma\neq0\), \(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}+\gamma\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\gamma)\overrightarrow{MG}\) ; si la somme est nulle, le vecteur est constant.
4. \(1+2+1=4\neq0\) : \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}\) ; et \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CA}\).
\(4MG=CA\)
\(\iff MG=\dfrac{AC}{4}\)
[] \((\Gamma_1)\) est le cercle de centre \(G\) et de rayon \(\dfrac{AC}{4}\)
5. \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}\) :
\(4MG=2\times2MI\)
\(\iff MG=MI\)
[] \((\Gamma_2)\) est la médiatrice du segment \([GI]\)
6. \(I\left(\dfrac{0+2}{2};\dfrac{0+4}{2}\right)\) ; \(E\left(\dfrac{0+2\times4}{3};0\right)\) ; \(G\left(\dfrac{0+8+2}{4};\dfrac{0+0+4}{4}\right)\)
[] \(I(1;2)\) ; \(E\left(\dfrac{8}{3};0\right)\) ; \(G\left(\dfrac{5}{2};1\right)\)
1. \(I\) milieu de \([AC]\) : \(I\) = Bar\(\{(A;1),(C;1)\}\), affecté de \(1+1=2\).
Par associativité : \(G\) = Bar\(\{(I;2),(B;2)\}\) ; les coefficients sont égaux.
[] \(G\) est le milieu de \([IB]\)
2. On place \(I\) au milieu de \([AC]\), puis \(G\) au milieu de \([IB]\) :
3. \(E\) = Bar\(\{(A;1),(B;2)\}\) est affecté de \(3\) ; par associativité \(G\) = Bar\(\{(E;3),(C;1)\}\), donc \(G\in(CE)\).
[] \(\overrightarrow{CG}=\dfrac{3}{3+1}\overrightarrow{CE}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{CE}\)
💡 Méthode : propriété caractéristique : si \(\alpha+\beta+\gamma\neq0\), \(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}+\gamma\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\gamma)\overrightarrow{MG}\) ; si la somme est nulle, le vecteur est constant.
4. \(1+2+1=4\neq0\) : \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}\) ; et \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CA}\).
\(4MG=CA\)
\(\iff MG=\dfrac{AC}{4}\)
[] \((\Gamma_1)\) est le cercle de centre \(G\) et de rayon \(\dfrac{AC}{4}\)
5. \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}\) :
\(4MG=2\times2MI\)
\(\iff MG=MI\)
[] \((\Gamma_2)\) est la médiatrice du segment \([GI]\)
6. \(I\left(\dfrac{0+2}{2};\dfrac{0+4}{2}\right)\) ; \(E\left(\dfrac{0+2\times4}{3};0\right)\) ; \(G\left(\dfrac{0+8+2}{4};\dfrac{0+0+4}{4}\right)\)
[] \(I(1;2)\) ; \(E\left(\dfrac{8}{3};0\right)\) ; \(G\left(\dfrac{5}{2};1\right)\)