Exercice 1 (5.5 pts)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{i};\vec{j})\). On considère les points \(A(6;2)\), \(B(5;-2)\) et \(C(1;-1)\).
1. a) Calculer \(AB\), \(AC\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
b) Calculer \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\) et \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\).
c) Déduire la mesure principale de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\).
2. Calculer \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\) et déduire que \(ABC\) est un triangle rectangle et isocèle.
1. a) Calculer \(AB\), \(AC\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
b) Calculer \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\) et \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\).
c) Déduire la mesure principale de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\).
2. Calculer \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\) et déduire que \(ABC\) est un triangle rectangle et isocèle.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 Méthode : dans un repère orthonormé, \(\vec{u}(x;y)\cdot\vec{v}(x’;y’)=xx’+yy’\) et \(\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}\) ; \(\cos(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\) et \(\sin(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\det(\vec{u},\vec{v})}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\).
1.a) \(\overrightarrow{AB}(-1;-4)\) et \(\overrightarrow{AC}(-5;-3)\) :
\(AB=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\) ; \(AC=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\)
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-1)(-5)+(-4)(-3)\)
\(=17\)
b) \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{17}{\sqrt{17}\times\sqrt{34}}\)
\(=\dfrac{17}{17\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=(-1)(-3)-(-4)(-5)\)
\(=-17\)
\(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{-17}{17\sqrt{2}}\)
\(=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
[] c) \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv-\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]\) : la mesure principale est \(-\dfrac{\pi}{4}\)
2. \(\overrightarrow{BA}(1;4)\) et \(\overrightarrow{BC}(-4;1)\) :
\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-4+4\)
\(=0\)
\(BA=\sqrt{17}\) et \(BC=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}\).
[] \((BA)\perp(BC)\) et \(BA=BC\) : \(ABC\) est rectangle et isocèle en \(B\)
1.a) \(\overrightarrow{AB}(-1;-4)\) et \(\overrightarrow{AC}(-5;-3)\) :
\(AB=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\) ; \(AC=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\)
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-1)(-5)+(-4)(-3)\)
\(=17\)
b) \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{17}{\sqrt{17}\times\sqrt{34}}\)
\(=\dfrac{17}{17\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=(-1)(-3)-(-4)(-5)\)
\(=-17\)
\(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{-17}{17\sqrt{2}}\)
\(=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
[] c) \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv-\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]\) : la mesure principale est \(-\dfrac{\pi}{4}\)
2. \(\overrightarrow{BA}(1;4)\) et \(\overrightarrow{BC}(-4;1)\) :
\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-4+4\)
\(=0\)
\(BA=\sqrt{17}\) et \(BC=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}\).
[] \((BA)\perp(BC)\) et \(BA=BC\) : \(ABC\) est rectangle et isocèle en \(B\)
Exercice 2 (7.25 pts)
Soit \(ABC\) un triangle dans le plan et soit \(G\) = Bar\(\{(A;3),(B;-2),(C;3)\}\).
1. a) Construire le point \(I\) tel que \(I\) = Bar\(\{(A;3),(C;3)\}\).
b) Montrer que \(G\) = Bar\(\{(B;-1),(I;3)\}\).
c) Construire le point \(G\).
2. Soit \(J\) un point du plan tel que \(\overrightarrow{AJ}=-2\overrightarrow{AB}\).
a) Montrer que \(J\) = Bar\(\{(A;3),(B;-2)\}\).
b) Montrer que les droites \((CJ)\) et \((BI)\) se coupent en \(G\).
3. On suppose que \(A(1;1)\), \(B(-1;2)\) et \(C(1;-1)\). Déterminer les coordonnées du point \(G\).
4. Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\left\|3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right\|=4\left\|3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}\right\|\).
5. On pose \(\vec{U}=2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\) et \(\vec{V}=3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\).
a) Montrer que \(\vec{U}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\) et \(\vec{V}=4\overrightarrow{MG}\).
b) Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{U}\) et \(\vec{V}\) soient colinéaires.
1. a) Construire le point \(I\) tel que \(I\) = Bar\(\{(A;3),(C;3)\}\).
b) Montrer que \(G\) = Bar\(\{(B;-1),(I;3)\}\).
c) Construire le point \(G\).
2. Soit \(J\) un point du plan tel que \(\overrightarrow{AJ}=-2\overrightarrow{AB}\).
a) Montrer que \(J\) = Bar\(\{(A;3),(B;-2)\}\).
b) Montrer que les droites \((CJ)\) et \((BI)\) se coupent en \(G\).
3. On suppose que \(A(1;1)\), \(B(-1;2)\) et \(C(1;-1)\). Déterminer les coordonnées du point \(G\).
4. Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\left\|3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right\|=4\left\|3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}\right\|\).
5. On pose \(\vec{U}=2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\) et \(\vec{V}=3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\).
a) Montrer que \(\vec{U}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\) et \(\vec{V}=4\overrightarrow{MG}\).
b) Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{U}\) et \(\vec{V}\) soient colinéaires.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
💡 Méthode : associativité : on remplace deux points par leur barycentre affecté de la somme de leurs coefficients.
1.a) Coefficients égaux : \(I\) est le milieu de \([AC]\).
b) \(I\) = Bar\(\{(A;3),(C;3)\}\) est affecté de \(6\) : \(G\) = Bar\(\{(I;6),(B;-2)\}\) = Bar\(\{(I;3),(B;-1)\}\) (homogénéité).
[] \(G\) = Bar\(\{(B;-1),(I;3)\}\)
c) \(-1+3=2\) : \(\overrightarrow{BG}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BI}\).
2.a) \(3-2=1\neq0\) : le barycentre \(J’\) de \((A;3)\) et \((B;-2)\) vérifie \(\overrightarrow{AJ’}=\dfrac{-2}{1}\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AJ}\).
[] \(J\) = Bar\(\{(A;3),(B;-2)\}\)
b) Par associativité : \(G\) = Bar\(\{(J;1),(C;3)\}\) donc \(G\in(CJ)\) ; et d’après 1.b) \(G\in(BI)\).
[] \((CJ)\) et \((BI)\) se coupent en \(G\)
3. \(x_G=\dfrac{3\times1-2\times(-1)+3\times1}{4}\)
\(=2\)
\(y_G=\dfrac{3\times1-2\times2+3\times(-1)}{4}\)
\(=-1\)
[] \(G(2;-1)\)
💡 Méthode : propriété caractéristique : si \(\alpha+\beta+\gamma\neq0\), \(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}+\gamma\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\gamma)\overrightarrow{MG}\) ; si la somme est nulle, le vecteur est constant.
4. \(3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}\) et \(3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MJ}\) :
\(4MG=4MJ\)
\(\iff MG=MJ\)
[] L’ensemble est la médiatrice du segment \([GJ]\)
5.a) \(2-1-1=0\) : \(\vec{U}\) est constant ; avec Chasles :
\(\vec{U}=\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}\right)\)
\(=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}\)
\(=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\)
Et \(3-2+3=4\) : \(\vec{V}=4\overrightarrow{MG}\).
b) Soit \(A’\) le milieu de \([BC]\) : \(\vec{U}=-2\overrightarrow{AA’}\neq\vec{0}\).
\(\vec{U}\) et \(\vec{V}\) colinéaires \(\iff\overrightarrow{MG}\) et \(\overrightarrow{AA’}\) colinéaires.
[] L’ensemble est la droite passant par \(G\) et parallèle à la médiane \((AA’)\)
1.a) Coefficients égaux : \(I\) est le milieu de \([AC]\).
b) \(I\) = Bar\(\{(A;3),(C;3)\}\) est affecté de \(6\) : \(G\) = Bar\(\{(I;6),(B;-2)\}\) = Bar\(\{(I;3),(B;-1)\}\) (homogénéité).
[] \(G\) = Bar\(\{(B;-1),(I;3)\}\)
c) \(-1+3=2\) : \(\overrightarrow{BG}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BI}\).
2.a) \(3-2=1\neq0\) : le barycentre \(J’\) de \((A;3)\) et \((B;-2)\) vérifie \(\overrightarrow{AJ’}=\dfrac{-2}{1}\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AJ}\).
[] \(J\) = Bar\(\{(A;3),(B;-2)\}\)
b) Par associativité : \(G\) = Bar\(\{(J;1),(C;3)\}\) donc \(G\in(CJ)\) ; et d’après 1.b) \(G\in(BI)\).
[] \((CJ)\) et \((BI)\) se coupent en \(G\)
3. \(x_G=\dfrac{3\times1-2\times(-1)+3\times1}{4}\)
\(=2\)
\(y_G=\dfrac{3\times1-2\times2+3\times(-1)}{4}\)
\(=-1\)
[] \(G(2;-1)\)
💡 Méthode : propriété caractéristique : si \(\alpha+\beta+\gamma\neq0\), \(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}+\gamma\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\gamma)\overrightarrow{MG}\) ; si la somme est nulle, le vecteur est constant.
4. \(3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}\) et \(3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MJ}\) :
\(4MG=4MJ\)
\(\iff MG=MJ\)
[] L’ensemble est la médiatrice du segment \([GJ]\)
5.a) \(2-1-1=0\) : \(\vec{U}\) est constant ; avec Chasles :
\(\vec{U}=\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}\right)\)
\(=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}\)
\(=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\)
Et \(3-2+3=4\) : \(\vec{V}=4\overrightarrow{MG}\).
b) Soit \(A’\) le milieu de \([BC]\) : \(\vec{U}=-2\overrightarrow{AA’}\neq\vec{0}\).
\(\vec{U}\) et \(\vec{V}\) colinéaires \(\iff\overrightarrow{MG}\) et \(\overrightarrow{AA’}\) colinéaires.
[] L’ensemble est la droite passant par \(G\) et parallèle à la médiane \((AA’)\)
Exercice 3 (7.25 pts)
Soit \((\mathcal{C})\) l’ensemble des points \(M(x;y)\) tels que \(x^2+y^2-6x+4y+9=0\).
1. Montrer que \((\mathcal{C})\) est un cercle dont on précisera le centre \(\Omega\) et le rayon \(r\).
2. Vérifier que \(A(3;0)\in(\mathcal{C})\) et montrer que la tangente à \((\mathcal{C})\) en \(A\) est l’axe des abscisses.
3. Pour \(m\in\mathbb{R}\), on considère la droite \((D_m)\ :\ y=mx\). Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles \((D_m)\) est tangente à \((\mathcal{C})\).
4. Pour \(m=-\dfrac{12}{5}\), déterminer le point de contact de \((D_m)\) et \((\mathcal{C})\).
5. Donner une représentation paramétrique de \((\mathcal{C})\).
1. Montrer que \((\mathcal{C})\) est un cercle dont on précisera le centre \(\Omega\) et le rayon \(r\).
2. Vérifier que \(A(3;0)\in(\mathcal{C})\) et montrer que la tangente à \((\mathcal{C})\) en \(A\) est l’axe des abscisses.
3. Pour \(m\in\mathbb{R}\), on considère la droite \((D_m)\ :\ y=mx\). Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles \((D_m)\) est tangente à \((\mathcal{C})\).
4. Pour \(m=-\dfrac{12}{5}\), déterminer le point de contact de \((D_m)\) et \((\mathcal{C})\).
5. Donner une représentation paramétrique de \((\mathcal{C})\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 Méthode : on écrit l’équation sous la forme \((x-a)^2+(y-b)^2=k\) (forme canonique) : si \(k>0\), c’est le cercle de centre \(\Omega(a;b)\) et de rayon \(\sqrt{k}\).
1. \((x-3)^2-9+(y+2)^2-4+9=0\)
\(\iff(x-3)^2+(y+2)^2=4\)
[] \(\Omega(3;-2)\) et \(r=2\)
2. \((3-3)^2+(0+2)^2=4\) : \(A\in(\mathcal{C})\).
💡 Méthode : la tangente en \(A\) au cercle de centre \(\Omega\) est l’ensemble des \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0\).
\(\overrightarrow{\Omega A}(0;2)\) : \(0\times(x-3)+2(y-0)=0\iff y=0\).
[] La tangente en \(A\) est la droite \(y=0\) : l’axe des abscisses
💡 Méthode : \(d(\Omega,(D))=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) ; \((D)\) est tangente au cercle \(\iff d(\Omega,(D))=r\).
3. \((D_m)\ :\ mx-y=0\) :
\(d(\Omega,(D_m))=\dfrac{|3m+2|}{\sqrt{m^2+1}}\)
\(d(\Omega,(D_m))=2\)
\(\iff(3m+2)^2=4(m^2+1)\)
\(\iff5m^2+12m=0\)
\(\iff m(5m+12)=0\)
[] \(m=0\) ou \(m=-\dfrac{12}{5}\)
4. \((D)\ :\ 12x+5y=0\) ; le point de contact est \(\Omega+t\vec{n}\) avec \(\vec{n}(12;5)\) :
\(12(3+12t)+5(-2+5t)=0\)
\(\iff169t+26=0\)
\(\iff t=-\dfrac{2}{13}\)
[] Point de contact : \(T\left(\dfrac{15}{13};-\dfrac{36}{13}\right)\)
[] 5. \(\begin{cases}x=3+2\cos\theta\\y=-2+2\sin\theta\end{cases}\) (\(\theta\in\mathbb{R}\))
1. \((x-3)^2-9+(y+2)^2-4+9=0\)
\(\iff(x-3)^2+(y+2)^2=4\)
[] \(\Omega(3;-2)\) et \(r=2\)
2. \((3-3)^2+(0+2)^2=4\) : \(A\in(\mathcal{C})\).
💡 Méthode : la tangente en \(A\) au cercle de centre \(\Omega\) est l’ensemble des \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0\).
\(\overrightarrow{\Omega A}(0;2)\) : \(0\times(x-3)+2(y-0)=0\iff y=0\).
[] La tangente en \(A\) est la droite \(y=0\) : l’axe des abscisses
💡 Méthode : \(d(\Omega,(D))=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) ; \((D)\) est tangente au cercle \(\iff d(\Omega,(D))=r\).
3. \((D_m)\ :\ mx-y=0\) :
\(d(\Omega,(D_m))=\dfrac{|3m+2|}{\sqrt{m^2+1}}\)
\(d(\Omega,(D_m))=2\)
\(\iff(3m+2)^2=4(m^2+1)\)
\(\iff5m^2+12m=0\)
\(\iff m(5m+12)=0\)
[] \(m=0\) ou \(m=-\dfrac{12}{5}\)
4. \((D)\ :\ 12x+5y=0\) ; le point de contact est \(\Omega+t\vec{n}\) avec \(\vec{n}(12;5)\) :
\(12(3+12t)+5(-2+5t)=0\)
\(\iff169t+26=0\)
\(\iff t=-\dfrac{2}{13}\)
[] Point de contact : \(T\left(\dfrac{15}{13};-\dfrac{36}{13}\right)\)
[] 5. \(\begin{cases}x=3+2\cos\theta\\y=-2+2\sin\theta\end{cases}\) (\(\theta\in\mathbb{R}\))