Exercice 1 (5 pts)
1. Calculer les limites suivantes :
a) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+2x^2}-x\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin(3x)}{\sqrt{x+1}-1}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{\tan x-1}{x-\frac{\pi}{4}}\) ; d) \(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}\).
2. Simplifier le nombre \(A=\dfrac{\sqrt[3]{9}\times\sqrt[6]{3}}{\sqrt[4]{9}}\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(x^6-9x^3+8=0\).
a) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+2x^2}-x\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin(3x)}{\sqrt{x+1}-1}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{\tan x-1}{x-\frac{\pi}{4}}\) ; d) \(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}\).
2. Simplifier le nombre \(A=\dfrac{\sqrt[3]{9}\times\sqrt[6]{3}}{\sqrt[4]{9}}\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(x^6-9x^3+8=0\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 Forme \(\infty-\infty\) avec \(\sqrt[3]{\ }\) : utiliser \(a-b=\dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}\).
1. a) Avec \(a=\sqrt[3]{x^3+2x^2}\) et \(b=x\) : \(a-b=\dfrac{2x^2}{a^2+ab+b^2}\) et \(\dfrac{a}{x}=\sqrt[3]{1+\dfrac{2}{x}}\to1\) :
\(a-b=\dfrac{2}{\left(\frac{a}{x}\right)^2+\frac{a}{x}+1}\)
\(\to\dfrac{2}{3}\)
b) \(\dfrac{\sin(3x)}{\sqrt{x+1}-1}=3\times\dfrac{\sin(3x)}{3x}\times\left(\sqrt{x+1}+1\right)\)
\(\to3\times1\times2=6\)
c) C’est le taux de variation de \(\tan\) en \(\dfrac{\pi}{4}\) : \(\tan'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1+\tan^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\) :
[] \(2\)
d) \(\dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}\times\dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}\)
\(\to\dfrac{2}{3}\)
2. \(A=\dfrac{3^{\frac{2}{3}}\times3^{\frac{1}{6}}}{3^{\frac{1}{2}}}\)
\(=3^{\frac{4+1-3}{6}}\)
\(=3^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{3}\)
3. On pose \(X=x^3\) : \(X^2-9X+8=(X-1)(X-8)=0\), donc \(x^3=1\) ou \(x^3=8\) :
[] \(S=\{1;2\}\)
1. a) Avec \(a=\sqrt[3]{x^3+2x^2}\) et \(b=x\) : \(a-b=\dfrac{2x^2}{a^2+ab+b^2}\) et \(\dfrac{a}{x}=\sqrt[3]{1+\dfrac{2}{x}}\to1\) :
\(a-b=\dfrac{2}{\left(\frac{a}{x}\right)^2+\frac{a}{x}+1}\)
\(\to\dfrac{2}{3}\)
b) \(\dfrac{\sin(3x)}{\sqrt{x+1}-1}=3\times\dfrac{\sin(3x)}{3x}\times\left(\sqrt{x+1}+1\right)\)
\(\to3\times1\times2=6\)
c) C’est le taux de variation de \(\tan\) en \(\dfrac{\pi}{4}\) : \(\tan'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1+\tan^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\) :
[] \(2\)
d) \(\dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}\times\dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}\)
\(\to\dfrac{2}{3}\)
2. \(A=\dfrac{3^{\frac{2}{3}}\times3^{\frac{1}{6}}}{3^{\frac{1}{2}}}\)
\(=3^{\frac{4+1-3}{6}}\)
\(=3^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{3}\)
3. On pose \(X=x^3\) : \(X^2-9X+8=(X-1)(X-8)=0\), donc \(x^3=1\) ou \(x^3=8\) :
[] \(S=\{1;2\}\)
Exercice 2 (3 pts)
Soit \(m\) un réel et \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\dfrac{x^3-1}{x^2-1}\) si \(x>1\) et \(f(x)=x+m\) si \(x\leq1\).
1. Montrer que \(f\) est continue sur chacun des intervalles \(]-\infty;1]\) et \(]1;+\infty[\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)\).
3. Déterminer \(m\) pour que \(f\) soit continue sur \(\mathbb{R}\).
1. Montrer que \(f\) est continue sur chacun des intervalles \(]-\infty;1]\) et \(]1;+\infty[\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)\).
3. Déterminer \(m\) pour que \(f\) soit continue sur \(\mathbb{R}\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Sur \(]-\infty;1]\) : \(f(x)=x+m\) est un polynôme, donc continue. Sur \(]1;+\infty[\) : fonction rationnelle dont le dénominateur \(x^2-1\) ne s’annule pas :
[] \(f\) est continue sur les deux intervalles
2. \(f(x)=\dfrac{(x-1)\left(x^2+x+1\right)}{(x-1)(x+1)}\)
\(=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}\to\dfrac{3}{2}\)
[] \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\dfrac{3}{2}\)
3. \(f\) est continue à gauche en \(1\) (\(f(1)=1+m\)) ; elle est continue en \(1\) si \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=f(1)\), soit \(1+m=\dfrac{3}{2}\) :
[] \(m=\dfrac{1}{2}\)
[] \(f\) est continue sur les deux intervalles
2. \(f(x)=\dfrac{(x-1)\left(x^2+x+1\right)}{(x-1)(x+1)}\)
\(=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}\to\dfrac{3}{2}\)
[] \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\dfrac{3}{2}\)
3. \(f\) est continue à gauche en \(1\) (\(f(1)=1+m\)) ; elle est continue en \(1\) si \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=f(1)\), soit \(1+m=\dfrac{3}{2}\) :
[] \(m=\dfrac{1}{2}\)
Exercice 3 (4 pts)
Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=x^3-3x-3\).
1. Calculer \(h'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(h\).
2. Montrer que l’équation \(h(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\), et que \(2<\alpha<3\).
3. Par la méthode de dichotomie, donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(0{,}25\).
4. En déduire le signe de \(h(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
1. Calculer \(h'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(h\).
2. Montrer que l’équation \(h(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\), et que \(2<\alpha<3\).
3. Par la méthode de dichotomie, donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(0{,}25\).
4. En déduire le signe de \(h(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(h'(x)=3x^2-3\)
\(=3(x-1)(x+1)\)
\(h(-1)=-1\) et \(h(1)=-5\) ; \(\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=+\infty\).
2. Sur \(]-\infty;1]\) : le maximum de \(h\) est \(h(-1)=-1<0\), donc \(h\) ne s’annule pas.
Sur \([1;+\infty[\) : \(h\) est continue et strictement croissante, et \(h([1;+\infty[)=[-5;+\infty[\) contient \(0\) : une seule solution \(\alpha\).
\(h(2)=-1<0\) et \(h(3)=15>0\) : par le TVI :
[] \(2<\alpha<3\)
3. \(h(2{,}5)=5{,}125>0\), donc \(2<\alpha<2{,}5\) ; \(h(2{,}25)\approx1{,}64>0\), donc :
[] \(2<\alpha<2{,}25\)
[] 4. \(h(x)<0\) sur \(]-\infty;\alpha[\) et \(h(x)>0\) sur \(]\alpha;+\infty[\)
\(=3(x-1)(x+1)\)
\(h(-1)=-1\) et \(h(1)=-5\) ; \(\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=+\infty\).
2. Sur \(]-\infty;1]\) : le maximum de \(h\) est \(h(-1)=-1<0\), donc \(h\) ne s’annule pas.
Sur \([1;+\infty[\) : \(h\) est continue et strictement croissante, et \(h([1;+\infty[)=[-5;+\infty[\) contient \(0\) : une seule solution \(\alpha\).
\(h(2)=-1<0\) et \(h(3)=15>0\) : par le TVI :
[] \(2<\alpha<3\)
3. \(h(2{,}5)=5{,}125>0\), donc \(2<\alpha<2{,}5\) ; \(h(2{,}25)\approx1{,}64>0\), donc :
[] \(2<\alpha<2{,}25\)
[] 4. \(h(x)<0\) sur \(]-\infty;\alpha[\) et \(h(x)>0\) sur \(]\alpha;+\infty[\)
Exercice 4 (8 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(I=[1;+\infty[\) par \(f(x)=x+\sqrt{x^2-1}\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\), puis montrer que la droite \(y=2x\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(1\) et interpréter le résultat.
3. Calculer \(f'(x)\) pour \(x>1\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Montrer que \((\forall x\in J)\ f^{-1}(x)=\dfrac{x^2+1}{2x}\).
c) Calculer \(f(2)\), puis \(\left(f^{-1}\right)'\left(2+\sqrt{3}\right)\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\), puis montrer que la droite \(y=2x\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(1\) et interpréter le résultat.
3. Calculer \(f'(x)\) pour \(x>1\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Montrer que \((\forall x\in J)\ f^{-1}(x)=\dfrac{x^2+1}{2x}\).
c) Calculer \(f(2)\), puis \(\left(f^{-1}\right)'\left(2+\sqrt{3}\right)\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. \(x\to+\infty\) et \(\sqrt{x^2-1}\to+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
\(f(x)-2x=\sqrt{x^2-1}-x\)
\(=\dfrac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x}\to0\)
[] la droite \(y=2x\) est asymptote oblique à \((C_f)\) en \(+\infty\)
2. \(f(1)=1\) ; \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=1+\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}\)
\(=1+\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}\to+\infty\)
[] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(1\) : \((C_f)\) admet une demi-tangente verticale au point \(A(1;1)\)
3. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]1;+\infty[\) car \(x^2-1>0\) sur cet intervalle. Pour tout \(x\in]1;+\infty[\) :
\(f'(x)=1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}>0\)
4. a) \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I\) :
[] \(J=f(I)=[1;+\infty[\)
b) Soit \(y\in J\) : \(f(x)=y\iff\sqrt{x^2-1}=y-x\) (avec \(y-x\geq0\)) \(\iff x^2-1=y^2-2xy+x^2\) :
\(2xy=y^2+1\iff x=\dfrac{y^2+1}{2y}\)
On vérifie : \(y-\dfrac{y^2+1}{2y}=\dfrac{y^2-1}{2y}\geq0\) et \(\dfrac{y^2+1}{2y}\geq1\) :
[] \(f^{-1}(x)=\dfrac{x^2+1}{2x}\)
c) \(f(2)=2+\sqrt{3}\) et \(f'(2)=1+\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}}\neq0\) :
\(\left(f^{-1}\right)'\left(2+\sqrt{3}\right)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\)
\(=\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)\)
[] \(\left(f^{-1}\right)'\left(2+\sqrt{3}\right)=2\sqrt{3}-3\)
\(f(x)-2x=\sqrt{x^2-1}-x\)
\(=\dfrac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x}\to0\)
[] la droite \(y=2x\) est asymptote oblique à \((C_f)\) en \(+\infty\)
2. \(f(1)=1\) ; \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=1+\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}\)
\(=1+\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}\to+\infty\)
[] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(1\) : \((C_f)\) admet une demi-tangente verticale au point \(A(1;1)\)
3. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]1;+\infty[\) car \(x^2-1>0\) sur cet intervalle. Pour tout \(x\in]1;+\infty[\) :
\(f'(x)=1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}>0\)
4. a) \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I\) :
[] \(J=f(I)=[1;+\infty[\)
b) Soit \(y\in J\) : \(f(x)=y\iff\sqrt{x^2-1}=y-x\) (avec \(y-x\geq0\)) \(\iff x^2-1=y^2-2xy+x^2\) :
\(2xy=y^2+1\iff x=\dfrac{y^2+1}{2y}\)
On vérifie : \(y-\dfrac{y^2+1}{2y}=\dfrac{y^2-1}{2y}\geq0\) et \(\dfrac{y^2+1}{2y}\geq1\) :
[] \(f^{-1}(x)=\dfrac{x^2+1}{2x}\)
c) \(f(2)=2+\sqrt{3}\) et \(f'(2)=1+\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}}\neq0\) :
\(\left(f^{-1}\right)'\left(2+\sqrt{3}\right)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\)
\(=\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)\)
[] \(\left(f^{-1}\right)'\left(2+\sqrt{3}\right)=2\sqrt{3}-3\)