Exercice 1 (6 pts)
1. Calculer les limites suivantes :
a) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos(2x)}{x\tan x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to8}\dfrac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}\) ; d) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x+\sqrt{x^2+4x}\right)\).
2. Ranger dans l’ordre croissant les nombres : \(\sqrt[3]{3}\) ; \(\sqrt[4]{5}\) ; \(\sqrt[6]{10}\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \((x-1)^3=27\) ; b) \(\sqrt[3]{2x+1}\leq1\).
a) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos(2x)}{x\tan x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to8}\dfrac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}\) ; d) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x+\sqrt{x^2+4x}\right)\).
2. Ranger dans l’ordre croissant les nombres : \(\sqrt[3]{3}\) ; \(\sqrt[4]{5}\) ; \(\sqrt[6]{10}\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \((x-1)^3=27\) ; b) \(\sqrt[3]{2x+1}\leq1\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(\sqrt{x}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\to\dfrac{1}{2}\)
b) \(\dfrac{1-\cos(2x)}{x\tan x}=\dfrac{2\sin^2x}{x\tan x}\)
\(=2\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\times\dfrac{x}{\tan x}\to2\)
c) \(x-8=\left(\sqrt[3]{x}-2\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)\), donc \(\dfrac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}\to\dfrac{1}{12}\)
d) 💡 En \(-\infty\) : \(\sqrt{x^2}=|x|=-x\).
\(x+\sqrt{x^2+4x}=\dfrac{-4x}{x-\sqrt{x^2+4x}}\)
\(=\dfrac{-4x}{x\left(1+\sqrt{1+\frac{4}{x}}\right)}\)
\(=\dfrac{-4}{1+\sqrt{1+\frac{4}{x}}}\to-2\)
2. On élève à la puissance \(12\) : \(\left(\sqrt[3]{3}\right)^{12}=81\) ; \(\left(\sqrt[4]{5}\right)^{12}=125\) ; \(\left(\sqrt[6]{10}\right)^{12}=100\) :
[] \(\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{10}<\sqrt[4]{5}\)
3. a) \((x-1)^3=3^3\iff x-1=3\) :
[] \(S=\{4\}\)
b) Domaine : \(2x+1\geq0\), soit \(x\geq-\dfrac{1}{2}\) ; \(\sqrt[3]{2x+1}\leq1\iff2x+1\leq1\iff x\leq0\) :
[] \(S=\left[-\dfrac{1}{2};0\right]\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\to\dfrac{1}{2}\)
b) \(\dfrac{1-\cos(2x)}{x\tan x}=\dfrac{2\sin^2x}{x\tan x}\)
\(=2\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\times\dfrac{x}{\tan x}\to2\)
c) \(x-8=\left(\sqrt[3]{x}-2\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)\), donc \(\dfrac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}\to\dfrac{1}{12}\)
d) 💡 En \(-\infty\) : \(\sqrt{x^2}=|x|=-x\).
\(x+\sqrt{x^2+4x}=\dfrac{-4x}{x-\sqrt{x^2+4x}}\)
\(=\dfrac{-4x}{x\left(1+\sqrt{1+\frac{4}{x}}\right)}\)
\(=\dfrac{-4}{1+\sqrt{1+\frac{4}{x}}}\to-2\)
2. On élève à la puissance \(12\) : \(\left(\sqrt[3]{3}\right)^{12}=81\) ; \(\left(\sqrt[4]{5}\right)^{12}=125\) ; \(\left(\sqrt[6]{10}\right)^{12}=100\) :
[] \(\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{10}<\sqrt[4]{5}\)
3. a) \((x-1)^3=3^3\iff x-1=3\) :
[] \(S=\{4\}\)
b) Domaine : \(2x+1\geq0\), soit \(x\geq-\dfrac{1}{2}\) ; \(\sqrt[3]{2x+1}\leq1\iff2x+1\leq1\iff x\leq0\) :
[] \(S=\left[-\dfrac{1}{2};0\right]\)
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=2x^3-3x^2-1\).
1. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ g'(x)=6x(x-1)\) et dresser le tableau de variations de \(g\).
2. Montrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\), et que \(\dfrac{3}{2}<\alpha<2\).
3. Donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(0{,}25\).
4. En déduire le signe de \(g(x)\) suivant les valeurs de \(x\).
1. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ g'(x)=6x(x-1)\) et dresser le tableau de variations de \(g\).
2. Montrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\), et que \(\dfrac{3}{2}<\alpha<2\).
3. Donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(0{,}25\).
4. En déduire le signe de \(g(x)\) suivant les valeurs de \(x\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(g'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)\) ; \(g(0)=-1\), \(g(1)=-2\) ; \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\).
2. Sur \(]-\infty;1]\) : \(g(x)\leq g(0)=-1<0\) : pas de solution.
Sur \([1;+\infty[\) : \(g\) est continue et strictement croissante, \(g([1;+\infty[)=[-2;+\infty[\ni0\) : une seule solution \(\alpha\).
\(g\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{27}{4}-\dfrac{27}{4}-1=-1<0\) et \(g(2)=3>0\) :
[] \(\dfrac{3}{2}<\alpha<2\)
3. \(g(1{,}75)\approx0{,}53>0\) et \(g(1{,}5)<0\) :
[] \(1{,}5<\alpha<1{,}75\)
[] 4. \(g(x)<0\) sur \(]-\infty;\alpha[\) et \(g(x)>0\) sur \(]\alpha;+\infty[\)
2. Sur \(]-\infty;1]\) : \(g(x)\leq g(0)=-1<0\) : pas de solution.
Sur \([1;+\infty[\) : \(g\) est continue et strictement croissante, \(g([1;+\infty[)=[-2;+\infty[\ni0\) : une seule solution \(\alpha\).
\(g\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{27}{4}-\dfrac{27}{4}-1=-1<0\) et \(g(2)=3>0\) :
[] \(\dfrac{3}{2}<\alpha<2\)
3. \(g(1{,}75)\approx0{,}53>0\) et \(g(1{,}5)<0\) :
[] \(1{,}5<\alpha<1{,}75\)
[] 4. \(g(x)<0\) sur \(]-\infty;\alpha[\) et \(g(x)>0\) sur \(]\alpha;+\infty[\)
Exercice 3 (9 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(I=[1;+\infty[\) par \(f(x)=(x-2)\sqrt{x}\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
2. Montrer que \((\forall x\in I)\ f'(x)=\dfrac{3x-2}{2\sqrt{x}}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
3. a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Calculer \(f^{-1}(0)\) et \(f^{-1}(4)\).
c) Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable en \(4\) et calculer \(\left(f^{-1}\right)'(4)\).
d) Donner une équation de la tangente à \((C_{f^{-1}})\) au point d’abscisse \(4\).
4. Montrer que l’équation \(f(x)=1\) admet une solution unique \(\beta\) dans \(I\) et que \(2<\beta<3\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
2. Montrer que \((\forall x\in I)\ f'(x)=\dfrac{3x-2}{2\sqrt{x}}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
3. a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Calculer \(f^{-1}(0)\) et \(f^{-1}(4)\).
c) Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable en \(4\) et calculer \(\left(f^{-1}\right)'(4)\).
d) Donner une équation de la tangente à \((C_{f^{-1}})\) au point d’abscisse \(4\).
4. Montrer que l’équation \(f(x)=1\) admet une solution unique \(\beta\) dans \(I\) et que \(2<\beta<3\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(x-2\to+\infty\) et \(\sqrt{x}\to+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x-2}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées
2. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \([1;+\infty[\) car c’est un produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. Pour tout \(x\in[1;+\infty[\) :
\(f'(x)=\sqrt{x}+\dfrac{x-2}{2\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{2x+x-2}{2\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{3x-2}{2\sqrt{x}}>0\)
3. a) \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I\), \(f(1)=-1\) :
[] \(J=f(I)=[-1;+\infty[\)
b) \(f(2)=0\) et \(f(4)=2\times2=4\) :
[] \(f^{-1}(0)=2\) et \(f^{-1}(4)=4\)
c) \(f\) est dérivable en \(4\) et \(f'(4)=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}\neq0\), donc \(f^{-1}\) est dérivable en \(f(4)=4\) :
[] \(\left(f^{-1}\right)'(4)=\dfrac{1}{f'(4)}=\dfrac{2}{5}\)
d) \(y=\left(f^{-1}\right)'(4)(x-4)+f^{-1}(4)\)
\(=\dfrac{2}{5}(x-4)+4\)
[] \((T):y=\dfrac{2}{5}x+\dfrac{12}{5}\)
4. \(1\in J\) et \(f\) est une bijection de \(I\) sur \(J\) : solution unique \(\beta=f^{-1}(1)\) ; \(f(2)=0<1\) et \(f(3)=\sqrt{3}>1\) :
[] \(2<\beta<3\)
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées
2. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \([1;+\infty[\) car c’est un produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. Pour tout \(x\in[1;+\infty[\) :
\(f'(x)=\sqrt{x}+\dfrac{x-2}{2\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{2x+x-2}{2\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{3x-2}{2\sqrt{x}}>0\)
3. a) \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I\), \(f(1)=-1\) :
[] \(J=f(I)=[-1;+\infty[\)
b) \(f(2)=0\) et \(f(4)=2\times2=4\) :
[] \(f^{-1}(0)=2\) et \(f^{-1}(4)=4\)
c) \(f\) est dérivable en \(4\) et \(f'(4)=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}\neq0\), donc \(f^{-1}\) est dérivable en \(f(4)=4\) :
[] \(\left(f^{-1}\right)'(4)=\dfrac{1}{f'(4)}=\dfrac{2}{5}\)
d) \(y=\left(f^{-1}\right)'(4)(x-4)+f^{-1}(4)\)
\(=\dfrac{2}{5}(x-4)+4\)
[] \((T):y=\dfrac{2}{5}x+\dfrac{12}{5}\)
4. \(1\in J\) et \(f\) est une bijection de \(I\) sur \(J\) : solution unique \(\beta=f^{-1}(1)\) ; \(f(2)=0<1\) et \(f(3)=\sqrt{3}>1\) :
[] \(2<\beta<3\)