Exercice 1 (3.75 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=x^3+x-1\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\).
2. Calculer la dérivée \(f'(x)\) et dresser le tableau de variation de la fonction \(f\).
3. Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur l'intervalle \([0,1]\).
4. En utilisant la méthode de dichotomie, donner un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0{,}5\).
5. Montrer que \(f'(\alpha)=\dfrac{3-2\alpha}{\alpha}\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\).
2. Calculer la dérivée \(f'(x)\) et dresser le tableau de variation de la fonction \(f\).
3. Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur l'intervalle \([0,1]\).
4. En utilisant la méthode de dichotomie, donner un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0{,}5\).
5. Montrer que \(f'(\alpha)=\dfrac{3-2\alpha}{\alpha}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x-1)=+\infty\) : même signe ⇒ pas de forme indéterminée.
Par somme ; de même en \(-\infty\) (\(x^3\to-\infty\) et \(x-1\to-\infty\)) :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\)
2. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c’est une fonction polynôme. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\(f'(x)=3x^2+1>0\)
\(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) :
3. 💡 Méthode (TVI, cas strictement monotone) : si \(f\) est continue et strictement monotone sur l’intervalle \([0;1]\) et si \(0\in f([0;1])\), alors le nombre \(0\) a un unique antécédent par \(f\) dans \([0;1]\) : l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution dans \([0;1]\).
Étape 1 (continuité) : \(f\) est continue sur \([0;1]\) car c’est une fonction polynôme.
Étape 2 (stricte monotonie) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), donc sur \([0;1]\) (question 2).
Étape 3 (image de l’intervalle) : on calcule les valeurs (ou les limites) aux bornes :
\(f(0)=0+0-1=-1\)
\(f(1)=1+1-1=1\)
\(f([0;1])=[f(0);f(1)]=[-1;1]\)
Étape 4 : \(0\in f([0;1])\) (une valeur négative et une valeur positive) : \(0\) a un unique antécédent \(\alpha\) par \(f\) dans \([0;1]\) ; comme \(0\) n’est pas atteint aux bornes, \(\alpha\in]0;1[\).
[] L’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\in]0;1[\).
4. 💡 Méthode (dichotomie) : on coupe l’intervalle en deux par son milieu \(m\) ; on calcule le signe de \(f(m)\) et on garde la moitié où la fonction change de signe ; à chaque étape on note l’amplitude du nouvel intervalle, jusqu’à obtenir \(0{,}5\).
On part de \(f(0)=-1<0\) et \(f(1)=1>0\) :
Milieu \(m=0{,}5\) : \(f(0{,}5)=0{,}125+0{,}5-1=-0{,}375<0\), donc \(\alpha\in]0{,}5;1[\) ; amplitude \(0{,}5\).
[] \(0{,}5<\alpha<1\)
5. 💡 On exprime \(\alpha^2\) à l’aide de \(f(\alpha)=0\).
\(f(\alpha)=0\iff\alpha^3+\alpha=1\)
\(\iff\alpha\left(\alpha^2+1\right)=1\)
\(\iff\alpha^2+1=\dfrac{1}{\alpha}\)
\(\iff\alpha^2=\dfrac{1}{\alpha}-1\)
(\(\alpha\neq0\) car \(f(0)=-1\neq0\)). On remplace dans \(f'(\alpha)\) :
\(f'(\alpha)=3\alpha^2+1=3\left(\dfrac{1}{\alpha}-1\right)+1\)
\(=\dfrac{3}{\alpha}-2\)
\(=\dfrac{3-2\alpha}{\alpha}\)
Par somme ; de même en \(-\infty\) (\(x^3\to-\infty\) et \(x-1\to-\infty\)) :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\)
2. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c’est une fonction polynôme. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\(f'(x)=3x^2+1>0\)
\(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) :
3. 💡 Méthode (TVI, cas strictement monotone) : si \(f\) est continue et strictement monotone sur l’intervalle \([0;1]\) et si \(0\in f([0;1])\), alors le nombre \(0\) a un unique antécédent par \(f\) dans \([0;1]\) : l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution dans \([0;1]\).
Étape 1 (continuité) : \(f\) est continue sur \([0;1]\) car c’est une fonction polynôme.
Étape 2 (stricte monotonie) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), donc sur \([0;1]\) (question 2).
Étape 3 (image de l’intervalle) : on calcule les valeurs (ou les limites) aux bornes :
\(f(0)=0+0-1=-1\)
\(f(1)=1+1-1=1\)
\(f([0;1])=[f(0);f(1)]=[-1;1]\)
Étape 4 : \(0\in f([0;1])\) (une valeur négative et une valeur positive) : \(0\) a un unique antécédent \(\alpha\) par \(f\) dans \([0;1]\) ; comme \(0\) n’est pas atteint aux bornes, \(\alpha\in]0;1[\).
[] L’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\in]0;1[\).
4. 💡 Méthode (dichotomie) : on coupe l’intervalle en deux par son milieu \(m\) ; on calcule le signe de \(f(m)\) et on garde la moitié où la fonction change de signe ; à chaque étape on note l’amplitude du nouvel intervalle, jusqu’à obtenir \(0{,}5\).
On part de \(f(0)=-1<0\) et \(f(1)=1>0\) :
Milieu \(m=0{,}5\) : \(f(0{,}5)=0{,}125+0{,}5-1=-0{,}375<0\), donc \(\alpha\in]0{,}5;1[\) ; amplitude \(0{,}5\).
[] \(0{,}5<\alpha<1\)
5. 💡 On exprime \(\alpha^2\) à l’aide de \(f(\alpha)=0\).
\(f(\alpha)=0\iff\alpha^3+\alpha=1\)
\(\iff\alpha\left(\alpha^2+1\right)=1\)
\(\iff\alpha^2+1=\dfrac{1}{\alpha}\)
\(\iff\alpha^2=\dfrac{1}{\alpha}-1\)
(\(\alpha\neq0\) car \(f(0)=-1\neq0\)). On remplace dans \(f'(\alpha)\) :
\(f'(\alpha)=3\alpha^2+1=3\left(\dfrac{1}{\alpha}-1\right)+1\)
\(=\dfrac{3}{\alpha}-2\)
\(=\dfrac{3-2\alpha}{\alpha}\)
Exercice 2 (7 pts)
1. Simplifier l'expression suivante : \(A=\dfrac{\sqrt[3]{8}\,\sqrt[3]{2^3}\,\sqrt{2}}{\sqrt[3]{8^2}}\).
2. Ranger les nombres suivants par ordre croissant : \(\sqrt[12]{4}\) ; \(\sqrt[6]{12}\) ; \(\sqrt{2}\).
3. Calculer les limites : \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}\) ; \(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt[3]{x^3+3x}-2x\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\sqrt[3]{x+1}=2\).
5. Calculer la dérivée \(f'(x)\) dans les deux cas : \(f(x)=\sin(2x+1)\) et \(f(x)=\sqrt[6]{x^2+2x}\).
6. Étudier la continuité en \(x=1\) de la fonction \(f\) définie par : \(f(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x-1}\) si \(x\neq1\) et \(f(1)=-2\).
2. Ranger les nombres suivants par ordre croissant : \(\sqrt[12]{4}\) ; \(\sqrt[6]{12}\) ; \(\sqrt{2}\).
3. Calculer les limites : \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}\) ; \(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt[3]{x^3+3x}-2x\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\sqrt[3]{x+1}=2\).
5. Calculer la dérivée \(f'(x)\) dans les deux cas : \(f(x)=\sin(2x+1)\) et \(f(x)=\sqrt[6]{x^2+2x}\).
6. Étudier la continuité en \(x=1\) de la fonction \(f\) définie par : \(f(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x-1}\) si \(x\neq1\) et \(f(1)=-2\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. 💡 Méthode : on écrit chaque racine sous forme de puissance : \(\sqrt[n]{a^p}=a^{\frac{p}{n}}\) (\(a>0\)), puis on utilise \(a^r\times a^s=a^{r+s}\) et \(\dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\).
\(A=\dfrac{\sqrt[3]{2^3}\times\sqrt[3]{2^3}\times\sqrt{2}}{\sqrt[3]{2^6}}\)
\(=\dfrac{2\times2\times\sqrt{2}}{2^2}\)
\(=\sqrt{2}\)
2. 💡 Méthode : pour comparer des racines d’indices différents, on les écrit avec le même indice (le PPCM des indices), puis on compare les nombres sous la racine : pour \(a,b\geq0\), \(\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\iff a<b\).
Indices \(12\), \(6\) et \(2\) : indice commun \(12\).
\(\sqrt[6]{12}=\sqrt[12]{12^2}=\sqrt[12]{144}\)
\(\sqrt{2}=\sqrt[12]{2^6}=\sqrt[12]{64}\)
Comme \(4<64<144\) :
[] \(\sqrt[12]{4}<\sqrt{2}<\sqrt[6]{12}\)
3. Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to0}\left(\sqrt[3]{x+1}-1\right)=\sqrt[3]{1}-1=0\) et \(\lim\limits_{x\to0}x=0\) ; on obtient la forme indéterminée « \(\dfrac{0}{0}\) ».
💡 Comment lever une forme indéterminée ?
- Polynôme en \(\pm\infty\) : limite de son terme de plus haut degré (propriété du cours).
- Fraction rationnelle en \(\pm\infty\) : limite du quotient des termes de plus haut degré (propriété du cours).
- Fraction rationnelle, forme « \(\dfrac{0}{0}\) » en \(a\) : factorisation par \((x-a)\), puis simplification.
- Racine carrée qui se compense (« \(\infty-\infty\) ») ou qui s’annule (« \(\dfrac{0}{0}\) ») : conjugué.
- Racine qui ne se compense pas : factorisation par le terme dominant.
- Racine cubique qui s’annule ou se compense : \(t=\sqrt[3]{\ldots}\) ou \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).
Ici : racine cubique qui s’annule : on pose \(t=\sqrt[3]{\ldots}\) et on utilise \(t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)\).
On pose \(t=\sqrt[3]{x+1}\) : \(t^3=x+1\), donc \(x=t^3-1\) ; quand \(x\to0\), \(t\to\sqrt[3]{1}=1\) :
\(\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}=\dfrac{t-1}{t^3-1}\)
\(=\dfrac{t-1}{(t-1)(t^2+t+1)}\)
\(=\dfrac{1}{t^2+t+1}\)
Quand \(t\to1\) : \(t^2+t+1\to3\neq0\) ; par quotient :
[] \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}=\dfrac{1}{3}\)
Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt[3]{x^3+3x}=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}(-2x)=-\infty\) ; on obtient la forme indéterminée « \(+\infty-\infty\) ».
Ici : la racine ne se compense pas avec le reste : on factorise par le terme dominant (le conjugué est inutile).
(\(\sqrt[3]{x^3+3x}\) se comporte comme \(x\), et \(x-2x=-x\).) Pour \(x>0\), \(\sqrt[3]{x^3}=x\) :
\(\sqrt[3]{x^3+3x}-2x=x\sqrt[3]{1+\dfrac{3}{x^2}}-2x\)
\(=x\left(\sqrt[3]{1+\dfrac{3}{x^2}}-2\right)\)
La parenthèse tend vers \(1-2=-1\) et \(x\to+\infty\) ; par produit :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x}-2x\right)=-\infty\)
4. 💡 Méthode : \(\sqrt[n]{x}\) n’est défini que pour \(x\geq0\) ; pour \(a,b\geq0\) : \(\sqrt[n]{a}=b\iff a=b^n\) et \(\sqrt[n]{a}<b\iff a<b^n\).
Condition : \(x+1\geq0\), soit \(x\geq-1\) :
\(\sqrt[3]{x+1}=2\iff x+1=2^3\)
\(\iff x=7\)
\(7\geq-1\) :
[] \(S=\{7\}\)
5. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car \(x\mapsto2x+1\) est dérivable (affine) et \(\sin\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\(f'(x)=(2x+1)'\cos(2x+1)\)
\(=2\cos(2x+1)\)
Deuxième fonction \(f(x)=\sqrt[6]{u(x)}\) avec \(u(x)=x^2+2x\) : dérivable là où \(u(x)>0\) :
\(x^2+2x>0\iff x(x+2)>0\)
\(\iff x<-2\) ou \(x>0\)
Pour tout \(x\in]-\infty;-2[\cup]0;+\infty[\), avec \(\left(\sqrt[6]{u}\right)'=\dfrac{u'}{6\sqrt[6]{u^5}}\) :
\(f'(x)=\dfrac{2x+2}{6\sqrt[6]{\left(x^2+2x\right)^5}}\)
\(=\dfrac{x+1}{3\sqrt[6]{\left(x^2+2x\right)^5}}\)
6. 💡 Méthode : \(f\) est continue en \(1\) si et seulement si \(\lim\limits_{x\to1}f(x)=f(1)\). Pour une fonction définie par morceaux, on calcule la limite à gauche et à droite et on les compare à \(f(1)\).
Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to1}\left(x^2-4x+3\right)=1-4+3=0\) et \(\lim\limits_{x\to1}(x-1)=0\) ; on obtient la forme indéterminée « \(\dfrac{0}{0}\) ».
Ici : fraction rationnelle, forme « \(\dfrac{0}{0}\) » : on factorise le numérateur et le dénominateur par \((x-a)\), puis on simplifie.
\(1\) est racine de \(x^2-4x+3\) ; produit des racines \(3\), l’autre est \(3\) : \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\).
\(\lim\limits_{x\to1}f(x)=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{(x-1)(x-3)}{x-1}\)
\(=\lim\limits_{x\to1}(x-3)\)
\(=1-3=-2\)
\(\lim\limits_{x\to1}f(x)=-2=f(1)\) :
[!] \(f\) est continue en \(1\)
\(A=\dfrac{\sqrt[3]{2^3}\times\sqrt[3]{2^3}\times\sqrt{2}}{\sqrt[3]{2^6}}\)
\(=\dfrac{2\times2\times\sqrt{2}}{2^2}\)
\(=\sqrt{2}\)
2. 💡 Méthode : pour comparer des racines d’indices différents, on les écrit avec le même indice (le PPCM des indices), puis on compare les nombres sous la racine : pour \(a,b\geq0\), \(\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\iff a<b\).
Indices \(12\), \(6\) et \(2\) : indice commun \(12\).
\(\sqrt[6]{12}=\sqrt[12]{12^2}=\sqrt[12]{144}\)
\(\sqrt{2}=\sqrt[12]{2^6}=\sqrt[12]{64}\)
Comme \(4<64<144\) :
[] \(\sqrt[12]{4}<\sqrt{2}<\sqrt[6]{12}\)
3. Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to0}\left(\sqrt[3]{x+1}-1\right)=\sqrt[3]{1}-1=0\) et \(\lim\limits_{x\to0}x=0\) ; on obtient la forme indéterminée « \(\dfrac{0}{0}\) ».
💡 Comment lever une forme indéterminée ?
- Polynôme en \(\pm\infty\) : limite de son terme de plus haut degré (propriété du cours).
- Fraction rationnelle en \(\pm\infty\) : limite du quotient des termes de plus haut degré (propriété du cours).
- Fraction rationnelle, forme « \(\dfrac{0}{0}\) » en \(a\) : factorisation par \((x-a)\), puis simplification.
- Racine carrée qui se compense (« \(\infty-\infty\) ») ou qui s’annule (« \(\dfrac{0}{0}\) ») : conjugué.
- Racine qui ne se compense pas : factorisation par le terme dominant.
- Racine cubique qui s’annule ou se compense : \(t=\sqrt[3]{\ldots}\) ou \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).
Ici : racine cubique qui s’annule : on pose \(t=\sqrt[3]{\ldots}\) et on utilise \(t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)\).
On pose \(t=\sqrt[3]{x+1}\) : \(t^3=x+1\), donc \(x=t^3-1\) ; quand \(x\to0\), \(t\to\sqrt[3]{1}=1\) :
\(\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}=\dfrac{t-1}{t^3-1}\)
\(=\dfrac{t-1}{(t-1)(t^2+t+1)}\)
\(=\dfrac{1}{t^2+t+1}\)
Quand \(t\to1\) : \(t^2+t+1\to3\neq0\) ; par quotient :
[] \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}=\dfrac{1}{3}\)
Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt[3]{x^3+3x}=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}(-2x)=-\infty\) ; on obtient la forme indéterminée « \(+\infty-\infty\) ».
Ici : la racine ne se compense pas avec le reste : on factorise par le terme dominant (le conjugué est inutile).
(\(\sqrt[3]{x^3+3x}\) se comporte comme \(x\), et \(x-2x=-x\).) Pour \(x>0\), \(\sqrt[3]{x^3}=x\) :
\(\sqrt[3]{x^3+3x}-2x=x\sqrt[3]{1+\dfrac{3}{x^2}}-2x\)
\(=x\left(\sqrt[3]{1+\dfrac{3}{x^2}}-2\right)\)
La parenthèse tend vers \(1-2=-1\) et \(x\to+\infty\) ; par produit :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x}-2x\right)=-\infty\)
4. 💡 Méthode : \(\sqrt[n]{x}\) n’est défini que pour \(x\geq0\) ; pour \(a,b\geq0\) : \(\sqrt[n]{a}=b\iff a=b^n\) et \(\sqrt[n]{a}<b\iff a<b^n\).
Condition : \(x+1\geq0\), soit \(x\geq-1\) :
\(\sqrt[3]{x+1}=2\iff x+1=2^3\)
\(\iff x=7\)
\(7\geq-1\) :
[] \(S=\{7\}\)
5. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car \(x\mapsto2x+1\) est dérivable (affine) et \(\sin\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\(f'(x)=(2x+1)'\cos(2x+1)\)
\(=2\cos(2x+1)\)
Deuxième fonction \(f(x)=\sqrt[6]{u(x)}\) avec \(u(x)=x^2+2x\) : dérivable là où \(u(x)>0\) :
\(x^2+2x>0\iff x(x+2)>0\)
\(\iff x<-2\) ou \(x>0\)
Pour tout \(x\in]-\infty;-2[\cup]0;+\infty[\), avec \(\left(\sqrt[6]{u}\right)'=\dfrac{u'}{6\sqrt[6]{u^5}}\) :
\(f'(x)=\dfrac{2x+2}{6\sqrt[6]{\left(x^2+2x\right)^5}}\)
\(=\dfrac{x+1}{3\sqrt[6]{\left(x^2+2x\right)^5}}\)
6. 💡 Méthode : \(f\) est continue en \(1\) si et seulement si \(\lim\limits_{x\to1}f(x)=f(1)\). Pour une fonction définie par morceaux, on calcule la limite à gauche et à droite et on les compare à \(f(1)\).
Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to1}\left(x^2-4x+3\right)=1-4+3=0\) et \(\lim\limits_{x\to1}(x-1)=0\) ; on obtient la forme indéterminée « \(\dfrac{0}{0}\) ».
Ici : fraction rationnelle, forme « \(\dfrac{0}{0}\) » : on factorise le numérateur et le dénominateur par \((x-a)\), puis on simplifie.
\(1\) est racine de \(x^2-4x+3\) ; produit des racines \(3\), l’autre est \(3\) : \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\).
\(\lim\limits_{x\to1}f(x)=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{(x-1)(x-3)}{x-1}\)
\(=\lim\limits_{x\to1}(x-3)\)
\(=1-3=-2\)
\(\lim\limits_{x\to1}f(x)=-2=f(1)\) :
[!] \(f\) est continue en \(1\)
Exercice 3 (9.25 pts)
Soit \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=x-4\sqrt{x+2}\).
1. Déterminer le domaine de définition de \(f\) et calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
2. Montrer que \(f\) est continue sur \([-2,+\infty[\).
3. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(x=-2\) et interpréter géométriquement le résultat.
4. Montrer que : \(\forall x\in]-2,+\infty[,\quad f'(x)=\dfrac{x-2}{\sqrt{x+2}\left(\sqrt{x+2}+2\right)}\).
5. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).
6. On considère \(g\) la restriction de \(f\) sur \(I=[2,+\infty[\).
a) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) En déduire les variations de la fonction \(g^{-1}\).
c) Calculer \(g(7)\) puis en déduire \(g^{-1}(-5)\).
d) Montrer que \(g^{-1}\) est dérivable en \(-5\) puis calculer \((g^{-1})'(-5)\).
e) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe \((C_{g^{-1}})\) au point d'abscisse \(-5\).
1. Déterminer le domaine de définition de \(f\) et calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
2. Montrer que \(f\) est continue sur \([-2,+\infty[\).
3. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(x=-2\) et interpréter géométriquement le résultat.
4. Montrer que : \(\forall x\in]-2,+\infty[,\quad f'(x)=\dfrac{x-2}{\sqrt{x+2}\left(\sqrt{x+2}+2\right)}\).
5. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).
6. On considère \(g\) la restriction de \(f\) sur \(I=[2,+\infty[\).
a) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) En déduire les variations de la fonction \(g^{-1}\).
c) Calculer \(g(7)\) puis en déduire \(g^{-1}(-5)\).
d) Montrer que \(g^{-1}\) est dérivable en \(-5\) puis calculer \((g^{-1})'(-5)\).
e) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe \((C_{g^{-1}})\) au point d'abscisse \(-5\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(f(x)\) existe si et seulement si \(x+2\geq0\) :
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+2\geq0\}\)
\(x\in D_f\iff x+2\geq0\)
\(\iff x\geq-2\)
[] \(D_f=[-2;+\infty[\)
Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-4\sqrt{x+2}\right)=-\infty\) ; on obtient la forme indéterminée « \(+\infty-\infty\) ».
💡 Comment lever une forme indéterminée ?
- Polynôme en \(\pm\infty\) : limite de son terme de plus haut degré (propriété du cours).
- Fraction rationnelle en \(\pm\infty\) : limite du quotient des termes de plus haut degré (propriété du cours).
- Fraction rationnelle, forme « \(\dfrac{0}{0}\) » en \(a\) : factorisation par \((x-a)\), puis simplification.
- Racine carrée qui se compense (« \(\infty-\infty\) ») ou qui s’annule (« \(\dfrac{0}{0}\) ») : conjugué.
- Racine qui ne se compense pas : factorisation par le terme dominant.
- Racine cubique qui s’annule ou se compense : \(t=\sqrt[3]{\ldots}\) ou \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).
Ici : la racine ne se compense pas avec le reste : on factorise par le terme dominant (le conjugué est inutile).
Pour \(x>0\), \(x=\sqrt{x^2}\) ; on factorise par \(x\) :
\(x-4\sqrt{x+2}=x\left(1-\dfrac{4\sqrt{x+2}}{x}\right)\)
\(=x\left(1-4\sqrt{\dfrac{x+2}{x^2}}\right)\)
\(=x\left(1-4\sqrt{\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^2}}\right)\)
La parenthèse tend vers \(1\) et \(x\to+\infty\) ; par produit :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
2. 💡 Rappel : les fonctions polynômes, rationnelles, \(\sin\), \(\cos\) sont continues sur leur ensemble de définition ; la somme, le produit, le quotient (dénominateur non nul) et la composée de fonctions continues sont continus ; si \(u\) est continue et positive sur \(I\), \(\sqrt{u}\) est continue sur \(I\).
\(x\mapsto x+2\) est continue et positive sur \([-2;+\infty[\), donc \(\sqrt{x+2}\) est continue ; \(x\mapsto x\) aussi ; la différence \(f\) est continue.
[] \(f\) est continue sur \([-2;+\infty[\)
3. 💡 Méthode : \(f\) est dérivable à droite en \(a\) si \(\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) est un réel ; si cette limite vaut \(\pm\infty\), \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(a\) et \((C_f)\) admet une demi-tangente verticale au point d’abscisse \(a\).
\(f(-2)=-2-4\sqrt{0}=-2\). Pour \(x>-2\) :
\(\dfrac{f(x)-f(-2)}{x+2}=\dfrac{x-4\sqrt{x+2}+2}{x+2}\)
\(=\dfrac{(x+2)-4\sqrt{x+2}}{x+2}\)
\(=1-\dfrac{4\sqrt{x+2}}{\left(\sqrt{x+2}\right)^2}\)
\(=1-\dfrac{4}{\sqrt{x+2}}\)
Quand \(x\to-2^+\) : \(\sqrt{x+2}\to0^+\), donc \(\dfrac{4}{\sqrt{x+2}}\to+\infty\) et l’expression tend vers \(-\infty\).
[] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(-2\) : demi-tangente verticale en \(A(-2;-2)\), dirigée vers le bas.
4. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]-2;+\infty[\) car \(x\mapsto x+2\) est dérivable et strictement positive sur \(]-2;+\infty[\), donc \(\sqrt{x+2}\) y est dérivable. Pour tout \(x\in]-2;+\infty[\) :
\(f'(x)=1-4\times\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}\)
\(=1-\dfrac{2}{\sqrt{x+2}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x+2}}\)
On multiplie \(\sqrt{x+2}-2\) par son conjugué \(\sqrt{x+2}+2\) :
\(f'(x)=\dfrac{\left(\sqrt{x+2}-2\right)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}{\sqrt{x+2}\left(\sqrt{x+2}+2\right)}\)
\(=\dfrac{(x+2)-4}{\sqrt{x+2}\left(\sqrt{x+2}+2\right)}\)
\(=\dfrac{x-2}{\sqrt{x+2}\left(\sqrt{x+2}+2\right)}\)
5. Le dénominateur est positif : \(f'(x)\) a le signe de \(x-2\) ; on résout :
\(f'(x)=0\iff x-2=0\)
\(\iff x=2\)
\(f(2)=2-4\sqrt{4}=-6\)
6. a) 💡 Méthode : si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(J=f(I)\) ; \(f^{-1}\) a le même sens de variation que \(f\).
\(g\) est continue (2) et strictement croissante sur \(I=[2;+\infty[\) (\(f'>0\) sur \(]2;+\infty[\)) :
[] \(J=g(I)=\left[g(2);\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\right[=[-6;+\infty[\)
b) \(g^{-1}\) a le même sens de variation que \(g\) :
[] \(g^{-1}\) est strictement croissante sur \([-6;+\infty[\)
\(g(7)=7-4\sqrt{9}=7-12=-5\)
c) \(7\in I\) et \(g(7)=-5\) :
[] \(g^{-1}(-5)=7\)
d) 💡 Méthode : si \(f\) est dérivable en \(a\) avec \(f'(a)\neq0\) et \(b=f(a)\), alors \(f^{-1}\) est dérivable en \(b\) et \(\left(f^{-1}\right)'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}=\dfrac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}\).
\(g\) est dérivable en \(7\) et :
\(g'(7)=\dfrac{7-2}{\sqrt{9}\left(\sqrt{9}+2\right)}=\dfrac{5}{3\times5}\)
\(=\dfrac{1}{3}\neq0\)
Donc \(g^{-1}\) est dérivable en \(g(7)=-5\) et :
\(\left(g^{-1}\right)'(-5)=\dfrac{1}{g'(7)}\)
\(=3\)
e) 💡 Rappel : l’équation de la tangente à une courbe \((C_h)\) au point d’abscisse \(a\) est \(y=h'(a)(x-a)+h(a)\).
\(y=\left(g^{-1}\right)'(-5)(x+5)+g^{-1}(-5)\)
\(y=3(x+5)+7\)
\(y=3x+22\)
[!] \((T)\ :\ y=3x+22\)
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+2\geq0\}\)
\(x\in D_f\iff x+2\geq0\)
\(\iff x\geq-2\)
[] \(D_f=[-2;+\infty[\)
Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-4\sqrt{x+2}\right)=-\infty\) ; on obtient la forme indéterminée « \(+\infty-\infty\) ».
💡 Comment lever une forme indéterminée ?
- Polynôme en \(\pm\infty\) : limite de son terme de plus haut degré (propriété du cours).
- Fraction rationnelle en \(\pm\infty\) : limite du quotient des termes de plus haut degré (propriété du cours).
- Fraction rationnelle, forme « \(\dfrac{0}{0}\) » en \(a\) : factorisation par \((x-a)\), puis simplification.
- Racine carrée qui se compense (« \(\infty-\infty\) ») ou qui s’annule (« \(\dfrac{0}{0}\) ») : conjugué.
- Racine qui ne se compense pas : factorisation par le terme dominant.
- Racine cubique qui s’annule ou se compense : \(t=\sqrt[3]{\ldots}\) ou \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).
Ici : la racine ne se compense pas avec le reste : on factorise par le terme dominant (le conjugué est inutile).
Pour \(x>0\), \(x=\sqrt{x^2}\) ; on factorise par \(x\) :
\(x-4\sqrt{x+2}=x\left(1-\dfrac{4\sqrt{x+2}}{x}\right)\)
\(=x\left(1-4\sqrt{\dfrac{x+2}{x^2}}\right)\)
\(=x\left(1-4\sqrt{\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^2}}\right)\)
La parenthèse tend vers \(1\) et \(x\to+\infty\) ; par produit :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
2. 💡 Rappel : les fonctions polynômes, rationnelles, \(\sin\), \(\cos\) sont continues sur leur ensemble de définition ; la somme, le produit, le quotient (dénominateur non nul) et la composée de fonctions continues sont continus ; si \(u\) est continue et positive sur \(I\), \(\sqrt{u}\) est continue sur \(I\).
\(x\mapsto x+2\) est continue et positive sur \([-2;+\infty[\), donc \(\sqrt{x+2}\) est continue ; \(x\mapsto x\) aussi ; la différence \(f\) est continue.
[] \(f\) est continue sur \([-2;+\infty[\)
3. 💡 Méthode : \(f\) est dérivable à droite en \(a\) si \(\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) est un réel ; si cette limite vaut \(\pm\infty\), \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(a\) et \((C_f)\) admet une demi-tangente verticale au point d’abscisse \(a\).
\(f(-2)=-2-4\sqrt{0}=-2\). Pour \(x>-2\) :
\(\dfrac{f(x)-f(-2)}{x+2}=\dfrac{x-4\sqrt{x+2}+2}{x+2}\)
\(=\dfrac{(x+2)-4\sqrt{x+2}}{x+2}\)
\(=1-\dfrac{4\sqrt{x+2}}{\left(\sqrt{x+2}\right)^2}\)
\(=1-\dfrac{4}{\sqrt{x+2}}\)
Quand \(x\to-2^+\) : \(\sqrt{x+2}\to0^+\), donc \(\dfrac{4}{\sqrt{x+2}}\to+\infty\) et l’expression tend vers \(-\infty\).
[] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(-2\) : demi-tangente verticale en \(A(-2;-2)\), dirigée vers le bas.
4. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]-2;+\infty[\) car \(x\mapsto x+2\) est dérivable et strictement positive sur \(]-2;+\infty[\), donc \(\sqrt{x+2}\) y est dérivable. Pour tout \(x\in]-2;+\infty[\) :
\(f'(x)=1-4\times\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}\)
\(=1-\dfrac{2}{\sqrt{x+2}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x+2}}\)
On multiplie \(\sqrt{x+2}-2\) par son conjugué \(\sqrt{x+2}+2\) :
\(f'(x)=\dfrac{\left(\sqrt{x+2}-2\right)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}{\sqrt{x+2}\left(\sqrt{x+2}+2\right)}\)
\(=\dfrac{(x+2)-4}{\sqrt{x+2}\left(\sqrt{x+2}+2\right)}\)
\(=\dfrac{x-2}{\sqrt{x+2}\left(\sqrt{x+2}+2\right)}\)
5. Le dénominateur est positif : \(f'(x)\) a le signe de \(x-2\) ; on résout :
\(f'(x)=0\iff x-2=0\)
\(\iff x=2\)
\(f(2)=2-4\sqrt{4}=-6\)
6. a) 💡 Méthode : si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(J=f(I)\) ; \(f^{-1}\) a le même sens de variation que \(f\).
\(g\) est continue (2) et strictement croissante sur \(I=[2;+\infty[\) (\(f'>0\) sur \(]2;+\infty[\)) :
[] \(J=g(I)=\left[g(2);\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\right[=[-6;+\infty[\)
b) \(g^{-1}\) a le même sens de variation que \(g\) :
[] \(g^{-1}\) est strictement croissante sur \([-6;+\infty[\)
\(g(7)=7-4\sqrt{9}=7-12=-5\)
c) \(7\in I\) et \(g(7)=-5\) :
[] \(g^{-1}(-5)=7\)
d) 💡 Méthode : si \(f\) est dérivable en \(a\) avec \(f'(a)\neq0\) et \(b=f(a)\), alors \(f^{-1}\) est dérivable en \(b\) et \(\left(f^{-1}\right)'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}=\dfrac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}\).
\(g\) est dérivable en \(7\) et :
\(g'(7)=\dfrac{7-2}{\sqrt{9}\left(\sqrt{9}+2\right)}=\dfrac{5}{3\times5}\)
\(=\dfrac{1}{3}\neq0\)
Donc \(g^{-1}\) est dérivable en \(g(7)=-5\) et :
\(\left(g^{-1}\right)'(-5)=\dfrac{1}{g'(7)}\)
\(=3\)
e) 💡 Rappel : l’équation de la tangente à une courbe \((C_h)\) au point d’abscisse \(a\) est \(y=h'(a)(x-a)+h(a)\).
\(y=\left(g^{-1}\right)'(-5)(x+5)+g^{-1}(-5)\)
\(y=3(x+5)+7\)
\(y=3x+22\)
[!] \((T)\ :\ y=3x+22\)