Exercice 1 (14 pts)
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\dfrac{x^3-4}{x^2+1}\).
1. On pose : \(g(x)=x^3+3x+8\).
a) Étudier les variations de la fonction \(g\).
b) Montrer que l'équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\) et que \(\alpha\in[-2;0]\).
c) Préciser le signe de \(g(x)\) selon les valeurs de \(x\).
2. Étude de la fonction \(f\).
a) Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
b) Calculer \(f'(x)\) et montrer que : \(f'(x)=\dfrac{x\left(x^3+3x+8\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\).
c) À l'aide d'un tableau de signe, donner le signe de \(f'(x)\) puis dresser le tableau de variation de la fonction \(f\).
d) En écrivant \(f(x)=\dfrac{x\left(x^3-4\right)}{x^3+x}\), montrer que \(f(\alpha)=\dfrac{3}{2}\alpha\).
e) En déduire un encadrement de \(f(\alpha)\).
1. On pose : \(g(x)=x^3+3x+8\).
a) Étudier les variations de la fonction \(g\).
b) Montrer que l'équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\) et que \(\alpha\in[-2;0]\).
c) Préciser le signe de \(g(x)\) selon les valeurs de \(x\).
2. Étude de la fonction \(f\).
a) Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
b) Calculer \(f'(x)\) et montrer que : \(f'(x)=\dfrac{x\left(x^3+3x+8\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\).
c) À l'aide d'un tableau de signe, donner le signe de \(f'(x)\) puis dresser le tableau de variation de la fonction \(f\).
d) En écrivant \(f(x)=\dfrac{x\left(x^3-4\right)}{x^3+x}\), montrer que \(f(\alpha)=\dfrac{3}{2}\alpha\).
e) En déduire un encadrement de \(f(\alpha)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) Dérivabilité : \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c’est une fonction polynôme. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\(g'(x)=3x^2+3\)
\(=3(x^2+1)>0\)
\(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Limites (pas de forme indéterminée : \(x^3\) et \(3x+8\) ont la même limite) : \(-\infty\) en \(-\infty\), \(+\infty\) en \(+\infty\).
b) 💡 Méthode (TVI, cas strictement monotone) : si \(g\) est continue et strictement monotone sur l’intervalle \(\mathbb{R}\) et si \(0\in g(\mathbb{R})\), alors le nombre \(0\) a un unique antécédent par \(g\) dans \(\mathbb{R}\) : l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution dans \(\mathbb{R}\).
Étape 1 (continuité) : \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\) car c’est une fonction polynôme.
Étape 2 (stricte monotonie) : \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) (question a).
Étape 3 (image de l’intervalle) : on calcule les valeurs (ou les limites) aux bornes :
\(g(\mathbb{R})=\left]\lim\limits_{x\to-\infty}g(x);\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\right[=\mathbb{R}\)
Étape 4 : \(0\in g(\mathbb{R})\) (une valeur négative et une valeur positive) : \(0\) a un unique antécédent \(\alpha\) par \(g\) dans \(\mathbb{R}\).
[] L’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\in\mathbb{R}\).
Localisation : \(g(-2)=-8-6+8=-6<0\) et \(g(0)=8>0\), donc \(g(-2)<g(\alpha)=0<g(0)\) et, \(g\) étant strictement croissante, \(-2<\alpha<0\). (Plus précisément \(g(-1)=-1-3+8=4>0\), donc \(-2<\alpha<-1\).)
[] \(\alpha\in[-2;0]\)
c) \(g\) est strictement croissante et \(g(\alpha)=0\) : si \(x<\alpha\), \(g(x)<g(\alpha)=0\) ; si \(x>\alpha\), \(g(x)>0\).
2. a) Fraction rationnelle : en \(+\infty\), même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré (propriété du cours).
\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^3}{x^2}\)
\(=\lim\limits_{x\to+\infty}x\)
\(=+\infty\)
\(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^3}{x^2}\)
\(=\lim\limits_{x\to-\infty}x\)
\(=-\infty\)
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\)
b) Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c’est une fonction rationnelle dont le dénominateur \(x^2+1\) ne s’annule jamais (\(x^2+1\geq1\)). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
Avec \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), \(u=x^3-4\), \(u'=3x^2\), \(v=x^2+1\), \(v'=2x\) :
\(f'(x)=\dfrac{3x^2(x^2+1)-2x(x^3-4)}{(x^2+1)^2}\)
\(=\dfrac{3x^4+3x^2-2x^4+8x}{(x^2+1)^2}\)
\(=\dfrac{x^4+3x^2+8x}{(x^2+1)^2}\)
\(=\dfrac{x\left(x^3+3x+8\right)}{(x^2+1)^2}\)
c) Le dénominateur est strictement positif : \(f'(x)\) a le signe de \(x\times g(x)\) :
\(f(0)=\dfrac{-4}{1}=-4\) :
d) \(\alpha\neq0\) (car \(g(0)=8\neq0\)) ; pour \(x\neq0\) on multiplie numérateur et dénominateur par \(x\) : \(f(x)=\dfrac{x(x^3-4)}{x^3+x}\). Or \(g(\alpha)=0\) donne \(\alpha^3=-3\alpha-8\) :
\(f(\alpha)=\dfrac{\alpha\left(\alpha^3-4\right)}{\alpha^3+\alpha}=\dfrac{\alpha\left(-3\alpha-8-4\right)}{-3\alpha-8+\alpha}\)
\(=\dfrac{\alpha(-3\alpha-12)}{-2\alpha-8}\)
\(=\dfrac{-3\alpha(\alpha+4)}{-2(\alpha+4)}\)
\(=\dfrac{3}{2}\alpha\)
(simplification par \(\alpha+4\neq0\), car \(\alpha>-2\)).
e) \(-2<\alpha<-1\) ; on multiplie par \(\dfrac{3}{2}>0\) (l’ordre est conservé) :
[!] \(-3<f(\alpha)<-\dfrac{3}{2}\)
\(g'(x)=3x^2+3\)
\(=3(x^2+1)>0\)
\(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Limites (pas de forme indéterminée : \(x^3\) et \(3x+8\) ont la même limite) : \(-\infty\) en \(-\infty\), \(+\infty\) en \(+\infty\).
b) 💡 Méthode (TVI, cas strictement monotone) : si \(g\) est continue et strictement monotone sur l’intervalle \(\mathbb{R}\) et si \(0\in g(\mathbb{R})\), alors le nombre \(0\) a un unique antécédent par \(g\) dans \(\mathbb{R}\) : l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution dans \(\mathbb{R}\).
Étape 1 (continuité) : \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\) car c’est une fonction polynôme.
Étape 2 (stricte monotonie) : \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) (question a).
Étape 3 (image de l’intervalle) : on calcule les valeurs (ou les limites) aux bornes :
\(g(\mathbb{R})=\left]\lim\limits_{x\to-\infty}g(x);\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\right[=\mathbb{R}\)
Étape 4 : \(0\in g(\mathbb{R})\) (une valeur négative et une valeur positive) : \(0\) a un unique antécédent \(\alpha\) par \(g\) dans \(\mathbb{R}\).
[] L’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\in\mathbb{R}\).
Localisation : \(g(-2)=-8-6+8=-6<0\) et \(g(0)=8>0\), donc \(g(-2)<g(\alpha)=0<g(0)\) et, \(g\) étant strictement croissante, \(-2<\alpha<0\). (Plus précisément \(g(-1)=-1-3+8=4>0\), donc \(-2<\alpha<-1\).)
[] \(\alpha\in[-2;0]\)
c) \(g\) est strictement croissante et \(g(\alpha)=0\) : si \(x<\alpha\), \(g(x)<g(\alpha)=0\) ; si \(x>\alpha\), \(g(x)>0\).
2. a) Fraction rationnelle : en \(+\infty\), même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré (propriété du cours).
\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^3}{x^2}\)
\(=\lim\limits_{x\to+\infty}x\)
\(=+\infty\)
\(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^3}{x^2}\)
\(=\lim\limits_{x\to-\infty}x\)
\(=-\infty\)
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\)
b) Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c’est une fonction rationnelle dont le dénominateur \(x^2+1\) ne s’annule jamais (\(x^2+1\geq1\)). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
Avec \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), \(u=x^3-4\), \(u'=3x^2\), \(v=x^2+1\), \(v'=2x\) :
\(f'(x)=\dfrac{3x^2(x^2+1)-2x(x^3-4)}{(x^2+1)^2}\)
\(=\dfrac{3x^4+3x^2-2x^4+8x}{(x^2+1)^2}\)
\(=\dfrac{x^4+3x^2+8x}{(x^2+1)^2}\)
\(=\dfrac{x\left(x^3+3x+8\right)}{(x^2+1)^2}\)
c) Le dénominateur est strictement positif : \(f'(x)\) a le signe de \(x\times g(x)\) :
\(f(0)=\dfrac{-4}{1}=-4\) :
d) \(\alpha\neq0\) (car \(g(0)=8\neq0\)) ; pour \(x\neq0\) on multiplie numérateur et dénominateur par \(x\) : \(f(x)=\dfrac{x(x^3-4)}{x^3+x}\). Or \(g(\alpha)=0\) donne \(\alpha^3=-3\alpha-8\) :
\(f(\alpha)=\dfrac{\alpha\left(\alpha^3-4\right)}{\alpha^3+\alpha}=\dfrac{\alpha\left(-3\alpha-8-4\right)}{-3\alpha-8+\alpha}\)
\(=\dfrac{\alpha(-3\alpha-12)}{-2\alpha-8}\)
\(=\dfrac{-3\alpha(\alpha+4)}{-2(\alpha+4)}\)
\(=\dfrac{3}{2}\alpha\)
(simplification par \(\alpha+4\neq0\), car \(\alpha>-2\)).
e) \(-2<\alpha<-1\) ; on multiplie par \(\dfrac{3}{2}>0\) (l’ordre est conservé) :
[!] \(-3<f(\alpha)<-\dfrac{3}{2}\)
Exercice 2 (6 pts)
Soit la fonction \(g(x)=x-2\sqrt{x}\) définie sur \(\mathbb{R}^+\).
1. Montrer que \(g\) est strictement croissante sur \([1,+\infty[\) puis déterminer \(J=g([1,+\infty[)\).
2. Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque de \(J\) vers \([1,+\infty[\) et déterminer \(g^{-1}(x)\) pour \(x\) dans \(J\).
3. Résoudre dans \([1,+\infty[\) l'équation : \(x^2-4x\sqrt{x}+4x=1\).
1. Montrer que \(g\) est strictement croissante sur \([1,+\infty[\) puis déterminer \(J=g([1,+\infty[)\).
2. Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque de \(J\) vers \([1,+\infty[\) et déterminer \(g^{-1}(x)\) pour \(x\) dans \(J\).
3. Résoudre dans \([1,+\infty[\) l'équation : \(x^2-4x\sqrt{x}+4x=1\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Dérivabilité : \(g\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) car \(x\mapsto\sqrt{x}\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) (pas en \(0\)). Pour tout \(x\in]0;+\infty[\) :
\(g'(x)=1-2\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)
Pour \(x>1\) : \(\sqrt{x}>1\), donc \(g'(x)>0\) ; \(g\) est continue en \(1\), donc :
[] \(g\) est strictement croissante sur \([1;+\infty[\)
Image : \(g(1)=1-2\sqrt{1}=-1\).
Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-2\sqrt{x}\right)=-\infty\) ; on obtient la forme indéterminée « \(+\infty-\infty\) ».
💡 Comment lever une forme indéterminée ?
- Polynôme en \(\pm\infty\) : limite de son terme de plus haut degré (propriété du cours).
- Fraction rationnelle en \(\pm\infty\) : limite du quotient des termes de plus haut degré (propriété du cours).
- Fraction rationnelle, forme « \(\dfrac{0}{0}\) » en \(a\) : factorisation par \((x-a)\), puis simplification.
- Racine carrée qui se compense (« \(\infty-\infty\) ») ou qui s’annule (« \(\dfrac{0}{0}\) ») : conjugué.
- Racine qui ne se compense pas : factorisation par le terme dominant.
- Racine cubique qui s’annule ou se compense : \(t=\sqrt[3]{\ldots}\) ou \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).
Ici : la racine ne se compense pas avec le reste : on factorise par le terme dominant (le conjugué est inutile).
\(x-2\sqrt{x}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)\)
\(\sqrt{x}\to+\infty\) et \(\sqrt{x}-2\to+\infty\) ; par produit \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\). \(g\) continue et strictement croissante :
[] \(J=g([1;+\infty[)=\left[g(1);\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\right[=[-1;+\infty[\)
2. 💡 Méthode : \(f\) est continue et strictement monotone sur \(I\) ; pour chaque \(x\in J=f(I)\), l’équation \(f(y)=x\) d’inconnue \(y\in I\) a une unique solution, et c’est \(f^{-1}(x)\). On résout cette équation :
- si les deux membres sont de même signe connu, on peut élever au carré (un seul cas) ;
- sinon, on sépare les cas selon le signe et on vérifie que chaque cas donne la même formule.
\(g\) est continue et strictement croissante sur \([1;+\infty[\) : elle admet une réciproque de \(J\) vers \([1;+\infty[\). Soient \(x\in J\) et \(y\geq1\) tels que \(g(y)=x\). Idée : \(y-2\sqrt{y}=\left(\sqrt{y}-1\right)^2-1\).
\(g(y)=x\iff\left(\sqrt{y}-1\right)^2-1=x\)
\(\iff\left(\sqrt{y}-1\right)^2=x+1\)
Signe : \(y\geq1\Rightarrow\sqrt{y}-1\geq0\), et \(x+1\geq0\) (car \(x\geq-1\)). Deux nombres positifs de même carré sont égaux (un seul cas) :
\(\left(\sqrt{y}-1\right)^2=x+1\iff\sqrt{y}-1=\sqrt{x+1}\)
\(\iff\sqrt{y}=1+\sqrt{x+1}\)
\(\iff y=\left(1+\sqrt{1+x}\right)^2\)
[] \(\left(\forall x\in J\right)\quad g^{-1}(x)=\left(1+\sqrt{1+x}\right)^2\)
3. 💡 On reconnaît un carré : \(\left(x-2\sqrt{x}\right)^2=x^2-4x\sqrt{x}+4x\), c’est-à-dire \(\left(g(x)\right)^2\).
\(x^2-4x\sqrt{x}+4x=1\iff\left(g(x)\right)^2=1\)
\(\iff g(x)=1\) ou \(g(x)=-1\)
Sur \([1;+\infty[\), chaque valeur de \(J\) a un unique antécédent : \(g(x)=-1\iff x=g^{-1}(-1)=\left(1+\sqrt{0}\right)^2=1\) ; \(g(x)=1\iff x=g^{-1}(1)=\left(1+\sqrt{2}\right)^2=3+2\sqrt{2}\).
[!] \(S=\left\{1;3+2\sqrt{2}\right\}\)
\(g'(x)=1-2\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)
Pour \(x>1\) : \(\sqrt{x}>1\), donc \(g'(x)>0\) ; \(g\) est continue en \(1\), donc :
[] \(g\) est strictement croissante sur \([1;+\infty[\)
Image : \(g(1)=1-2\sqrt{1}=-1\).
Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-2\sqrt{x}\right)=-\infty\) ; on obtient la forme indéterminée « \(+\infty-\infty\) ».
💡 Comment lever une forme indéterminée ?
- Polynôme en \(\pm\infty\) : limite de son terme de plus haut degré (propriété du cours).
- Fraction rationnelle en \(\pm\infty\) : limite du quotient des termes de plus haut degré (propriété du cours).
- Fraction rationnelle, forme « \(\dfrac{0}{0}\) » en \(a\) : factorisation par \((x-a)\), puis simplification.
- Racine carrée qui se compense (« \(\infty-\infty\) ») ou qui s’annule (« \(\dfrac{0}{0}\) ») : conjugué.
- Racine qui ne se compense pas : factorisation par le terme dominant.
- Racine cubique qui s’annule ou se compense : \(t=\sqrt[3]{\ldots}\) ou \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).
Ici : la racine ne se compense pas avec le reste : on factorise par le terme dominant (le conjugué est inutile).
\(x-2\sqrt{x}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)\)
\(\sqrt{x}\to+\infty\) et \(\sqrt{x}-2\to+\infty\) ; par produit \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\). \(g\) continue et strictement croissante :
[] \(J=g([1;+\infty[)=\left[g(1);\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\right[=[-1;+\infty[\)
2. 💡 Méthode : \(f\) est continue et strictement monotone sur \(I\) ; pour chaque \(x\in J=f(I)\), l’équation \(f(y)=x\) d’inconnue \(y\in I\) a une unique solution, et c’est \(f^{-1}(x)\). On résout cette équation :
- si les deux membres sont de même signe connu, on peut élever au carré (un seul cas) ;
- sinon, on sépare les cas selon le signe et on vérifie que chaque cas donne la même formule.
\(g\) est continue et strictement croissante sur \([1;+\infty[\) : elle admet une réciproque de \(J\) vers \([1;+\infty[\). Soient \(x\in J\) et \(y\geq1\) tels que \(g(y)=x\). Idée : \(y-2\sqrt{y}=\left(\sqrt{y}-1\right)^2-1\).
\(g(y)=x\iff\left(\sqrt{y}-1\right)^2-1=x\)
\(\iff\left(\sqrt{y}-1\right)^2=x+1\)
Signe : \(y\geq1\Rightarrow\sqrt{y}-1\geq0\), et \(x+1\geq0\) (car \(x\geq-1\)). Deux nombres positifs de même carré sont égaux (un seul cas) :
\(\left(\sqrt{y}-1\right)^2=x+1\iff\sqrt{y}-1=\sqrt{x+1}\)
\(\iff\sqrt{y}=1+\sqrt{x+1}\)
\(\iff y=\left(1+\sqrt{1+x}\right)^2\)
[] \(\left(\forall x\in J\right)\quad g^{-1}(x)=\left(1+\sqrt{1+x}\right)^2\)
3. 💡 On reconnaît un carré : \(\left(x-2\sqrt{x}\right)^2=x^2-4x\sqrt{x}+4x\), c’est-à-dire \(\left(g(x)\right)^2\).
\(x^2-4x\sqrt{x}+4x=1\iff\left(g(x)\right)^2=1\)
\(\iff g(x)=1\) ou \(g(x)=-1\)
Sur \([1;+\infty[\), chaque valeur de \(J\) a un unique antécédent : \(g(x)=-1\iff x=g^{-1}(-1)=\left(1+\sqrt{0}\right)^2=1\) ; \(g(x)=1\iff x=g^{-1}(1)=\left(1+\sqrt{2}\right)^2=3+2\sqrt{2}\).
[!] \(S=\left\{1;3+2\sqrt{2}\right\}\)