Exercice 1 (5 pts)
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x)=x^3+2x-1\).
1. Déterminer \(D_g\) puis calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)\).
2. Calculer la dérivée \(g'(x)\) et dresser le tableau de variation de la fonction \(g\).
3. Montrer que l'équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\beta\) sur l'intervalle \([0,1]\).
4. En utilisant la méthode de dichotomie, donner un encadrement de \(\beta\) d'amplitude \(0{,}5\).
5. Montrer que \(\beta=\dfrac{1}{2+\beta^2}\).
1. Déterminer \(D_g\) puis calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)\).
2. Calculer la dérivée \(g'(x)\) et dresser le tableau de variation de la fonction \(g\).
3. Montrer que l'équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\beta\) sur l'intervalle \([0,1]\).
4. En utilisant la méthode de dichotomie, donner un encadrement de \(\beta\) d'amplitude \(0{,}5\).
5. Montrer que \(\beta=\dfrac{1}{2+\beta^2}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(g\) est une fonction polynôme : \(D_g=\mathbb{R}\).
Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}(2x-1)=+\infty\) : même signe ⇒ pas de forme indéterminée.
Par somme \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\) ; de même \(x^3\to-\infty\) et \(2x-1\to-\infty\) en \(-\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-\infty\)
2. Dérivabilité : \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c’est une fonction polynôme. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\(g'(x)=3x^2+2>0\)
\(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) :
3. 💡 Méthode (TVI, cas strictement monotone) : si \(g\) est continue et strictement monotone sur l’intervalle \([0;1]\) et si \(0\in g([0;1])\), alors le nombre \(0\) a un unique antécédent par \(g\) dans \([0;1]\) : l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution dans \([0;1]\).
Étape 1 (continuité) : \(g\) est continue sur \([0;1]\) car c’est une fonction polynôme.
Étape 2 (stricte monotonie) : \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), donc sur \([0;1]\) (question 2).
Étape 3 (image de l’intervalle) : on calcule les valeurs (ou les limites) aux bornes :
\(g(0)=0+0-1=-1\)
\(g(1)=1+2-1=2\)
\(g([0;1])=[g(0);g(1)]=[-1;2]\)
Étape 4 : \(0\in g([0;1])\) (une valeur négative et une valeur positive) : \(0\) a un unique antécédent \(\beta\) par \(g\) dans \([0;1]\) ; comme \(0\) n’est pas atteint aux bornes, \(\beta\in]0;1[\).
[] L’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\beta\in]0;1[\).
4. 💡 Méthode (dichotomie) : on coupe l’intervalle en deux par son milieu \(m\) ; on calcule le signe de \(f(m)\) et on garde la moitié où la fonction change de signe ; à chaque étape on note l’amplitude du nouvel intervalle, jusqu’à obtenir \(0{,}5\).
On part de \(g(0)=-1<0\) et \(g(1)=2>0\) :
Milieu \(m=0{,}5\) : \(g(0{,}5)=0{,}125+1-1=0{,}125>0\), donc \(\beta\in]0;0{,}5[\) ; amplitude \(0{,}5\).
[] \(0<\beta<0{,}5\)
5. On part de \(g(\beta)=0\) et on factorise par \(\beta\) :
\(g(\beta)=0\iff\beta^3+2\beta-1=0\)
\(\iff\beta\left(\beta^2+2\right)=1\)
\(\iff\beta=\dfrac{1}{2+\beta^2}\)
(division par \(\beta^2+2\neq0\)).
Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}(2x-1)=+\infty\) : même signe ⇒ pas de forme indéterminée.
Par somme \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\) ; de même \(x^3\to-\infty\) et \(2x-1\to-\infty\) en \(-\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-\infty\)
2. Dérivabilité : \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c’est une fonction polynôme. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\(g'(x)=3x^2+2>0\)
\(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) :
3. 💡 Méthode (TVI, cas strictement monotone) : si \(g\) est continue et strictement monotone sur l’intervalle \([0;1]\) et si \(0\in g([0;1])\), alors le nombre \(0\) a un unique antécédent par \(g\) dans \([0;1]\) : l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution dans \([0;1]\).
Étape 1 (continuité) : \(g\) est continue sur \([0;1]\) car c’est une fonction polynôme.
Étape 2 (stricte monotonie) : \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), donc sur \([0;1]\) (question 2).
Étape 3 (image de l’intervalle) : on calcule les valeurs (ou les limites) aux bornes :
\(g(0)=0+0-1=-1\)
\(g(1)=1+2-1=2\)
\(g([0;1])=[g(0);g(1)]=[-1;2]\)
Étape 4 : \(0\in g([0;1])\) (une valeur négative et une valeur positive) : \(0\) a un unique antécédent \(\beta\) par \(g\) dans \([0;1]\) ; comme \(0\) n’est pas atteint aux bornes, \(\beta\in]0;1[\).
[] L’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\beta\in]0;1[\).
4. 💡 Méthode (dichotomie) : on coupe l’intervalle en deux par son milieu \(m\) ; on calcule le signe de \(f(m)\) et on garde la moitié où la fonction change de signe ; à chaque étape on note l’amplitude du nouvel intervalle, jusqu’à obtenir \(0{,}5\).
On part de \(g(0)=-1<0\) et \(g(1)=2>0\) :
Milieu \(m=0{,}5\) : \(g(0{,}5)=0{,}125+1-1=0{,}125>0\), donc \(\beta\in]0;0{,}5[\) ; amplitude \(0{,}5\).
[] \(0<\beta<0{,}5\)
5. On part de \(g(\beta)=0\) et on factorise par \(\beta\) :
\(g(\beta)=0\iff\beta^3+2\beta-1=0\)
\(\iff\beta\left(\beta^2+2\right)=1\)
\(\iff\beta=\dfrac{1}{2+\beta^2}\)
(division par \(\beta^2+2\neq0\)).
Exercice 2 (6 pts)
1. Simplifier l'expression suivante : \(A=\dfrac{\sqrt[6]{81}\,\sqrt{27}}{\sqrt[3]{3}}\).
2. Comparer les deux nombres suivants : \(\sqrt[12]{3}\) et \(\sqrt[6]{9}\).
3. Calculer les limites : \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}\) ; \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt[5]{x^5+5x}-5x\right)\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\sqrt[3]{x}^2+2\sqrt[3]{x}-3=0\).
5. Calculer la dérivée \(f'(x)\) dans les deux cas : \(f(x)=\sin(2x^2-x)\) et \(f(x)=\sqrt[5]{x^2-2x}\).
6. Étudier la continuité en \(x=3\) de la fonction \(f\) définie par : \(f(x)=\dfrac{x^2+5x-24}{x-3}\) si \(x\neq3\) et \(f(3)=-11\).
2. Comparer les deux nombres suivants : \(\sqrt[12]{3}\) et \(\sqrt[6]{9}\).
3. Calculer les limites : \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}\) ; \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt[5]{x^5+5x}-5x\right)\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\sqrt[3]{x}^2+2\sqrt[3]{x}-3=0\).
5. Calculer la dérivée \(f'(x)\) dans les deux cas : \(f(x)=\sin(2x^2-x)\) et \(f(x)=\sqrt[5]{x^2-2x}\).
6. Étudier la continuité en \(x=3\) de la fonction \(f\) définie par : \(f(x)=\dfrac{x^2+5x-24}{x-3}\) si \(x\neq3\) et \(f(3)=-11\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. 💡 Méthode : on écrit chaque racine sous forme de puissance : \(\sqrt[n]{a^p}=a^{\frac{p}{n}}\) (\(a>0\)), puis on utilise \(a^r\times a^s=a^{r+s}\) et \(\dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\).
\(A=\dfrac{\sqrt[6]{3^4}\times\sqrt{3^3}}{\sqrt[3]{3}}=\dfrac{3^{\frac{2}{3}}\times3^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{1}{3}}}\)
\(=3^{\frac{2}{3}+\frac{3}{2}-\frac{1}{3}}=3^{\frac{4+9-2}{6}}\)
\(=3^{\frac{11}{6}}=3\times3^{\frac{5}{6}}\)
\(=3\sqrt[6]{243}\)
2. 💡 Méthode : pour comparer des racines d’indices différents, on les écrit avec le même indice (le PPCM des indices), puis on compare les nombres sous la racine : pour \(a,b\geq0\), \(\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\iff a<b\).
\(\sqrt[6]{9}=\sqrt[12]{9^2}=\sqrt[12]{81}\)
et \(3<81\) :
[] \(\sqrt[12]{3}<\sqrt[6]{9}\)
3. Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to0}\left(\sqrt[3]{x+1}-1\right)=\sqrt[3]{1}-1=0\) et \(\lim\limits_{x\to0}x=0\) ; on obtient la forme indéterminée « \(\dfrac{0}{0}\) ».
💡 Comment lever une forme indéterminée ?
- Polynôme en \(\pm\infty\) : limite de son terme de plus haut degré (propriété du cours).
- Fraction rationnelle en \(\pm\infty\) : limite du quotient des termes de plus haut degré (propriété du cours).
- Fraction rationnelle, forme « \(\dfrac{0}{0}\) » en \(a\) : factorisation par \((x-a)\), puis simplification.
- Racine carrée qui se compense (« \(\infty-\infty\) ») ou qui s’annule (« \(\dfrac{0}{0}\) ») : conjugué.
- Racine qui ne se compense pas : factorisation par le terme dominant.
- Racine cubique qui s’annule ou se compense : \(t=\sqrt[3]{\ldots}\) ou \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).
Ici : racine cubique qui s’annule : on pose \(t=\sqrt[3]{\ldots}\) et on utilise \(t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)\).
On pose \(t=\sqrt[3]{x+1}\) : \(t^3=x+1\), donc \(x=t^3-1\) ; quand \(x\to0\), \(t\to\sqrt[3]{1}=1\) :
\(\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}=\dfrac{t-1}{t^3-1}\)
\(=\dfrac{t-1}{(t-1)(t^2+t+1)}\)
\(=\dfrac{1}{t^2+t+1}\)
Quand \(t\to1\) : \(t^2+t+1\to3\neq0\) ; par quotient :
[] \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}=\dfrac{1}{3}\)
Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt[5]{x^5+5x}=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}(-5x)=-\infty\) ; on obtient la forme indéterminée « \(+\infty-\infty\) ».
Ici : la racine ne se compense pas avec le reste : on factorise par le terme dominant (le conjugué est inutile).
(\(\sqrt[5]{x^5+5x}\) se comporte comme \(x\) et \(x-5x=-4x\) : pas de compensation.) Pour \(x>0\), \(\sqrt[5]{x^5}=x\) :
\(\sqrt[5]{x^5+5x}-5x=x\sqrt[5]{1+\dfrac{5}{x^4}}-5x\)
\(=x\left(\sqrt[5]{1+\dfrac{5}{x^4}}-5\right)\)
La parenthèse tend vers \(1-5=-4\) et \(x\to+\infty\) ; par produit :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt[5]{x^5+5x}-5x\right)=-\infty\)
4. Condition : \(x\geq0\). On pose \(t=\sqrt[3]{x}\), avec \(t\geq0\) :
\(t^2+2t-3=0\iff(t-1)(t+3)=0\)
\(\iff t=1\) (car \(t\geq0\), on rejette \(-3\))
\(\iff\sqrt[3]{x}=1\iff x=1\)
[] \(S=\{1\}\)
5. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car \(u(x)=2x^2-x\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) (polynôme) et \(\sin\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) (composée \(\sin\circ u\)). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\(f'(x)=u'(x)\cos\left(u(x)\right)\)
\(=(4x-1)\cos(2x^2-x)\)
Deuxième fonction \(f(x)=\sqrt[5]{u(x)}\) avec \(u(x)=x^2-2x\) : \(\sqrt[5]{u}\) est dérivable là où \(u(x)>0\) :
\(x^2-2x>0\iff x(x-2)>0\)
\(\iff x<0\) ou \(x>2\)
Pour tout \(x\in]-\infty;0[\cup]2;+\infty[\), avec \(\left(\sqrt[5]{u}\right)'=\dfrac{u'}{5\sqrt[5]{u^4}}\) :
[] \(f'(x)=\dfrac{2x-2}{5\sqrt[5]{\left(x^2-2x\right)^4}}\)
6. 💡 Méthode : \(f\) est continue en \(3\) si et seulement si \(\lim\limits_{x\to3}f(x)=f(3)\). Pour une fonction définie par morceaux, on calcule la limite à gauche et à droite et on les compare à \(f(3)\).
Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to3}\left(x^2+5x-24\right)=9+15-24=0\) et \(\lim\limits_{x\to3}(x-3)=0\) ; on obtient la forme indéterminée « \(\dfrac{0}{0}\) ».
Ici : fraction rationnelle, forme « \(\dfrac{0}{0}\) » : on factorise le numérateur et le dénominateur par \((x-a)\), puis on simplifie.
\(3\) est racine de \(x^2+5x-24\) ; le produit des racines vaut \(-24\), l’autre est \(-8\) : \(x^2+5x-24=(x-3)(x+8)\).
\(\lim\limits_{x\to3}f(x)=\lim\limits_{x\to3}\dfrac{(x-3)(x+8)}{x-3}\)
\(=\lim\limits_{x\to3}(x+8)\)
\(=3+8=11\)
\(\lim\limits_{x\to3}f(x)=11\) et \(f(3)=-11\) : \(11\neq-11\).
[!] \(\lim\limits_{x\to3}f(x)\neq f(3)\) : \(f\) n’est pas continue en \(3\)
\(A=\dfrac{\sqrt[6]{3^4}\times\sqrt{3^3}}{\sqrt[3]{3}}=\dfrac{3^{\frac{2}{3}}\times3^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{1}{3}}}\)
\(=3^{\frac{2}{3}+\frac{3}{2}-\frac{1}{3}}=3^{\frac{4+9-2}{6}}\)
\(=3^{\frac{11}{6}}=3\times3^{\frac{5}{6}}\)
\(=3\sqrt[6]{243}\)
2. 💡 Méthode : pour comparer des racines d’indices différents, on les écrit avec le même indice (le PPCM des indices), puis on compare les nombres sous la racine : pour \(a,b\geq0\), \(\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\iff a<b\).
\(\sqrt[6]{9}=\sqrt[12]{9^2}=\sqrt[12]{81}\)
et \(3<81\) :
[] \(\sqrt[12]{3}<\sqrt[6]{9}\)
3. Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to0}\left(\sqrt[3]{x+1}-1\right)=\sqrt[3]{1}-1=0\) et \(\lim\limits_{x\to0}x=0\) ; on obtient la forme indéterminée « \(\dfrac{0}{0}\) ».
💡 Comment lever une forme indéterminée ?
- Polynôme en \(\pm\infty\) : limite de son terme de plus haut degré (propriété du cours).
- Fraction rationnelle en \(\pm\infty\) : limite du quotient des termes de plus haut degré (propriété du cours).
- Fraction rationnelle, forme « \(\dfrac{0}{0}\) » en \(a\) : factorisation par \((x-a)\), puis simplification.
- Racine carrée qui se compense (« \(\infty-\infty\) ») ou qui s’annule (« \(\dfrac{0}{0}\) ») : conjugué.
- Racine qui ne se compense pas : factorisation par le terme dominant.
- Racine cubique qui s’annule ou se compense : \(t=\sqrt[3]{\ldots}\) ou \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).
Ici : racine cubique qui s’annule : on pose \(t=\sqrt[3]{\ldots}\) et on utilise \(t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)\).
On pose \(t=\sqrt[3]{x+1}\) : \(t^3=x+1\), donc \(x=t^3-1\) ; quand \(x\to0\), \(t\to\sqrt[3]{1}=1\) :
\(\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}=\dfrac{t-1}{t^3-1}\)
\(=\dfrac{t-1}{(t-1)(t^2+t+1)}\)
\(=\dfrac{1}{t^2+t+1}\)
Quand \(t\to1\) : \(t^2+t+1\to3\neq0\) ; par quotient :
[] \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}=\dfrac{1}{3}\)
Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt[5]{x^5+5x}=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}(-5x)=-\infty\) ; on obtient la forme indéterminée « \(+\infty-\infty\) ».
Ici : la racine ne se compense pas avec le reste : on factorise par le terme dominant (le conjugué est inutile).
(\(\sqrt[5]{x^5+5x}\) se comporte comme \(x\) et \(x-5x=-4x\) : pas de compensation.) Pour \(x>0\), \(\sqrt[5]{x^5}=x\) :
\(\sqrt[5]{x^5+5x}-5x=x\sqrt[5]{1+\dfrac{5}{x^4}}-5x\)
\(=x\left(\sqrt[5]{1+\dfrac{5}{x^4}}-5\right)\)
La parenthèse tend vers \(1-5=-4\) et \(x\to+\infty\) ; par produit :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt[5]{x^5+5x}-5x\right)=-\infty\)
4. Condition : \(x\geq0\). On pose \(t=\sqrt[3]{x}\), avec \(t\geq0\) :
\(t^2+2t-3=0\iff(t-1)(t+3)=0\)
\(\iff t=1\) (car \(t\geq0\), on rejette \(-3\))
\(\iff\sqrt[3]{x}=1\iff x=1\)
[] \(S=\{1\}\)
5. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car \(u(x)=2x^2-x\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) (polynôme) et \(\sin\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) (composée \(\sin\circ u\)). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\(f'(x)=u'(x)\cos\left(u(x)\right)\)
\(=(4x-1)\cos(2x^2-x)\)
Deuxième fonction \(f(x)=\sqrt[5]{u(x)}\) avec \(u(x)=x^2-2x\) : \(\sqrt[5]{u}\) est dérivable là où \(u(x)>0\) :
\(x^2-2x>0\iff x(x-2)>0\)
\(\iff x<0\) ou \(x>2\)
Pour tout \(x\in]-\infty;0[\cup]2;+\infty[\), avec \(\left(\sqrt[5]{u}\right)'=\dfrac{u'}{5\sqrt[5]{u^4}}\) :
[] \(f'(x)=\dfrac{2x-2}{5\sqrt[5]{\left(x^2-2x\right)^4}}\)
6. 💡 Méthode : \(f\) est continue en \(3\) si et seulement si \(\lim\limits_{x\to3}f(x)=f(3)\). Pour une fonction définie par morceaux, on calcule la limite à gauche et à droite et on les compare à \(f(3)\).
Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to3}\left(x^2+5x-24\right)=9+15-24=0\) et \(\lim\limits_{x\to3}(x-3)=0\) ; on obtient la forme indéterminée « \(\dfrac{0}{0}\) ».
Ici : fraction rationnelle, forme « \(\dfrac{0}{0}\) » : on factorise le numérateur et le dénominateur par \((x-a)\), puis on simplifie.
\(3\) est racine de \(x^2+5x-24\) ; le produit des racines vaut \(-24\), l’autre est \(-8\) : \(x^2+5x-24=(x-3)(x+8)\).
\(\lim\limits_{x\to3}f(x)=\lim\limits_{x\to3}\dfrac{(x-3)(x+8)}{x-3}\)
\(=\lim\limits_{x\to3}(x+8)\)
\(=3+8=11\)
\(\lim\limits_{x\to3}f(x)=11\) et \(f(3)=-11\) : \(11\neq-11\).
[!] \(\lim\limits_{x\to3}f(x)\neq f(3)\) : \(f\) n’est pas continue en \(3\)
Exercice 3 (9 pts)
Soit \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=\sqrt{x+4}-1\).
1. Déterminer le domaine de définition de \(f\) et calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
2. Montrer que \(f\) est continue sur \([-4,+\infty[\).
3. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(x=-4\) et interpréter géométriquement le résultat.
4. Montrer que : \(\forall x\in]-4,+\infty[,\quad f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}\).
5. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).
6. Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
7. En déduire les variations de la fonction \(f^{-1}\).
8. Calculer \(f(5)\) puis en déduire \(f^{-1}(2)\).
9. Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable en \(2\) puis calculer \((f^{-1})'(2)\).
10. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe \((C_{f^{-1}})\) au point d'abscisse \(2\).
1. Déterminer le domaine de définition de \(f\) et calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
2. Montrer que \(f\) est continue sur \([-4,+\infty[\).
3. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(x=-4\) et interpréter géométriquement le résultat.
4. Montrer que : \(\forall x\in]-4,+\infty[,\quad f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}\).
5. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).
6. Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
7. En déduire les variations de la fonction \(f^{-1}\).
8. Calculer \(f(5)\) puis en déduire \(f^{-1}(2)\).
9. Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable en \(2\) puis calculer \((f^{-1})'(2)\).
10. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe \((C_{f^{-1}})\) au point d'abscisse \(2\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(f(x)\) existe si et seulement si la quantité sous la racine est positive :
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+4\geq0\}\)
\(x\in D_f\iff x+4\geq0\)
\(\iff x\geq-4\)
[] \(D_f=[-4;+\infty[\)
Limite (pas de forme indéterminée) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x+4)=+\infty\), donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x+4}=+\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
2. 💡 Rappel : les fonctions polynômes, rationnelles, \(\sin\), \(\cos\) sont continues sur leur ensemble de définition ; la somme, le produit, le quotient (dénominateur non nul) et la composée de fonctions continues sont continus ; si \(u\) est continue et positive sur \(I\), \(\sqrt{u}\) est continue sur \(I\).
\(x\mapsto x+4\) est continue et positive sur \([-4;+\infty[\), donc \(x\mapsto\sqrt{x+4}\) est continue sur \([-4;+\infty[\) ; en retranchant la constante \(1\) :
[] \(f\) est continue sur \([-4;+\infty[\)
3. 💡 Méthode : \(f\) est dérivable à droite en \(a\) si \(\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) est un réel ; si cette limite vaut \(\pm\infty\), \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(a\) et \((C_f)\) admet une demi-tangente verticale au point d’abscisse \(a\).
\(f(-4)=\sqrt{0}-1=-1\). Pour \(x>-4\) (on utilise \(x+4=\left(\sqrt{x+4}\right)^2\)) :
\(\dfrac{f(x)-f(-4)}{x-(-4)}=\dfrac{\sqrt{x+4}-1+1}{x+4}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x+4}}{\left(\sqrt{x+4}\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x+4}}\)
Quand \(x\to-4^+\) : \(\sqrt{x+4}\to0^+\), donc \(\dfrac{1}{\sqrt{x+4}}\to+\infty\) (« \(\dfrac{1}{0^+}\) »).
[] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(-4\) : \((C_f)\) admet au point \(A(-4;-1)\) une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.
4. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]-4;+\infty[\) car \(x\mapsto x+4\) est dérivable et strictement positive sur \(]-4;+\infty[\), donc \(x\mapsto\sqrt{x+4}\) y est dérivable. Pour tout \(x\in]-4;+\infty[\) :
\(f'(x)=\dfrac{(x+4)'}{2\sqrt{x+4}}-0\)
\(=\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}\)
5. Pour \(x>-4\), \(f'(x)>0\) ; \(f\) est continue en \(-4\), donc strictement croissante sur \([-4;+\infty[\) ; \(f(-4)=-1\).
6. 💡 Méthode : si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(J=f(I)\) ; \(f^{-1}\) a le même sens de variation que \(f\).
\(f\) est continue (2) et strictement croissante (5) sur \([-4;+\infty[\) :
[] \(J=f([-4;+\infty[)=\left[f(-4);\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\right[=[-1;+\infty[\)
7. \(f^{-1}\) a le même sens de variation que \(f\) :
[] \(f^{-1}\) est strictement croissante sur \([-1;+\infty[\)
\(f(5)=\sqrt{5+4}-1=3-1=2\)
8. Comme \(5\in[-4;+\infty[\) et \(f(5)=2\) :
[] \(f^{-1}(2)=5\)
9. 💡 Méthode : si \(f\) est dérivable en \(a\) avec \(f'(a)\neq0\) et \(b=f(a)\), alors \(f^{-1}\) est dérivable en \(b\) et \(\left(f^{-1}\right)'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}=\dfrac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}\).
\(f\) est dérivable en \(5\) (\(5\in]-4;+\infty[\)) et :
\(f'(5)=\dfrac{1}{2\sqrt{9}}=\dfrac{1}{6}\neq0\)
Donc \(f^{-1}\) est dérivable en \(f(5)=2\) et :
\(\left(f^{-1}\right)'(2)=\dfrac{1}{f'\left(f^{-1}(2)\right)}=\dfrac{1}{f'(5)}\)
\(=6\)
10. 💡 Rappel : l’équation de la tangente à une courbe \((C_h)\) au point d’abscisse \(a\) est \(y=h'(a)(x-a)+h(a)\).
\(y=\left(f^{-1}\right)'(2)(x-2)+f^{-1}(2)\)
\(y=6(x-2)+5\)
\(y=6x-7\)
[] \((T)\ :\ y=6x-7\)
(Ici \(f^{-1}(x)=(x+1)^2-4\) ; les deux courbes sont symétriques par rapport à \(y=x\).)
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+4\geq0\}\)
\(x\in D_f\iff x+4\geq0\)
\(\iff x\geq-4\)
[] \(D_f=[-4;+\infty[\)
Limite (pas de forme indéterminée) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x+4)=+\infty\), donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x+4}=+\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
2. 💡 Rappel : les fonctions polynômes, rationnelles, \(\sin\), \(\cos\) sont continues sur leur ensemble de définition ; la somme, le produit, le quotient (dénominateur non nul) et la composée de fonctions continues sont continus ; si \(u\) est continue et positive sur \(I\), \(\sqrt{u}\) est continue sur \(I\).
\(x\mapsto x+4\) est continue et positive sur \([-4;+\infty[\), donc \(x\mapsto\sqrt{x+4}\) est continue sur \([-4;+\infty[\) ; en retranchant la constante \(1\) :
[] \(f\) est continue sur \([-4;+\infty[\)
3. 💡 Méthode : \(f\) est dérivable à droite en \(a\) si \(\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) est un réel ; si cette limite vaut \(\pm\infty\), \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(a\) et \((C_f)\) admet une demi-tangente verticale au point d’abscisse \(a\).
\(f(-4)=\sqrt{0}-1=-1\). Pour \(x>-4\) (on utilise \(x+4=\left(\sqrt{x+4}\right)^2\)) :
\(\dfrac{f(x)-f(-4)}{x-(-4)}=\dfrac{\sqrt{x+4}-1+1}{x+4}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x+4}}{\left(\sqrt{x+4}\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x+4}}\)
Quand \(x\to-4^+\) : \(\sqrt{x+4}\to0^+\), donc \(\dfrac{1}{\sqrt{x+4}}\to+\infty\) (« \(\dfrac{1}{0^+}\) »).
[] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(-4\) : \((C_f)\) admet au point \(A(-4;-1)\) une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.
4. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]-4;+\infty[\) car \(x\mapsto x+4\) est dérivable et strictement positive sur \(]-4;+\infty[\), donc \(x\mapsto\sqrt{x+4}\) y est dérivable. Pour tout \(x\in]-4;+\infty[\) :
\(f'(x)=\dfrac{(x+4)'}{2\sqrt{x+4}}-0\)
\(=\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}\)
5. Pour \(x>-4\), \(f'(x)>0\) ; \(f\) est continue en \(-4\), donc strictement croissante sur \([-4;+\infty[\) ; \(f(-4)=-1\).
6. 💡 Méthode : si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(J=f(I)\) ; \(f^{-1}\) a le même sens de variation que \(f\).
\(f\) est continue (2) et strictement croissante (5) sur \([-4;+\infty[\) :
[] \(J=f([-4;+\infty[)=\left[f(-4);\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\right[=[-1;+\infty[\)
7. \(f^{-1}\) a le même sens de variation que \(f\) :
[] \(f^{-1}\) est strictement croissante sur \([-1;+\infty[\)
\(f(5)=\sqrt{5+4}-1=3-1=2\)
8. Comme \(5\in[-4;+\infty[\) et \(f(5)=2\) :
[] \(f^{-1}(2)=5\)
9. 💡 Méthode : si \(f\) est dérivable en \(a\) avec \(f'(a)\neq0\) et \(b=f(a)\), alors \(f^{-1}\) est dérivable en \(b\) et \(\left(f^{-1}\right)'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}=\dfrac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}\).
\(f\) est dérivable en \(5\) (\(5\in]-4;+\infty[\)) et :
\(f'(5)=\dfrac{1}{2\sqrt{9}}=\dfrac{1}{6}\neq0\)
Donc \(f^{-1}\) est dérivable en \(f(5)=2\) et :
\(\left(f^{-1}\right)'(2)=\dfrac{1}{f'\left(f^{-1}(2)\right)}=\dfrac{1}{f'(5)}\)
\(=6\)
10. 💡 Rappel : l’équation de la tangente à une courbe \((C_h)\) au point d’abscisse \(a\) est \(y=h'(a)(x-a)+h(a)\).
\(y=\left(f^{-1}\right)'(2)(x-2)+f^{-1}(2)\)
\(y=6(x-2)+5\)
\(y=6x-7\)
[] \((T)\ :\ y=6x-7\)
(Ici \(f^{-1}(x)=(x+1)^2-4\) ; les deux courbes sont symétriques par rapport à \(y=x\).)