الفرض 1 — الدورة الأولى — الثانية باك علوم فيزيائية (Devoir libre — النموذج 5)

1. Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\sqrt[3]{x}-\sqrt[4]{x}\right)=-\infty\) ; on obtient la forme indéterminée « \(+\infty-\infty\) ».
💡 Comment lever une forme indéterminée ?
- Polynôme en \(\pm\infty\) : limite de son terme de plus haut degré (propriété du cours).
- Fraction rationnelle en \(\pm\infty\) : limite du quotient des termes de plus haut degré (propriété du cours).
- Fraction rationnelle, forme « \(\dfrac{0}{0}\) » en \(a\) : factorisation par \((x-a)\), puis simplification.
- Racine carrée qui se compense (« \(\infty-\infty\) ») ou qui s’annule (« \(\dfrac{0}{0}\) ») : conjugué.
- Racine qui ne se compense pas : factorisation par le terme dominant.
- Racine cubique qui s’annule ou se compense : \(t=\sqrt[3]{\ldots}\) ou \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).
Ici : plusieurs racines n-ièmes : on factorise par la racine dominante (plus grand exposant : \(x^{\frac{1}{2}}\) domine \(x^{\frac{1}{3}}\)), puis \(\dfrac{x^r}{x^s}=x^{r-s}\).
\(\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}-\sqrt[4]{x}=\sqrt{x}\left(1-\dfrac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}}-\dfrac{x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}}\right)\)
\(=\sqrt{x}\left(1-x^{-\frac{1}{6}}-x^{-\frac{1}{4}}\right)\)
\(=\sqrt{x}\left(1-\dfrac{1}{\sqrt[6]{x}}-\dfrac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)\)
\(\dfrac{1}{\sqrt[6]{x}}\to0\) et \(\dfrac{1}{\sqrt[4]{x}}\to0\) : la parenthèse tend vers \(1\) et \(\sqrt{x}\to+\infty\) ; par produit :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}-\sqrt[4]{x}\right)=+\infty\)
2. Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x-1}-1\right)=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x-1}-1\right)=+\infty\) ; on obtient la forme indéterminée « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) ».
Ici : plusieurs racines n-ièmes : on factorise par la racine dominante (plus grand exposant : \(x^{\frac{1}{2}}\) domine \(x^{\frac{1}{3}}\)), puis \(\dfrac{x^r}{x^s}=x^{r-s}\).
On pose \(t=x-1\) (\(t\to+\infty\)) ; on factorise par \(\sqrt[3]{t}\) en haut et par \(\sqrt{t}\) en bas :
\(\dfrac{\sqrt[3]{t}-1}{\sqrt{t}-1}=\dfrac{\sqrt[3]{t}\left(1-\frac{1}{\sqrt[3]{t}}\right)}{\sqrt{t}\left(1-\frac{1}{\sqrt{t}}\right)}\)
\(=\dfrac{t^{\frac{1}{3}}}{t^{\frac{1}{2}}}\times\dfrac{1-\frac{1}{\sqrt[3]{t}}}{1-\frac{1}{\sqrt{t}}}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt[6]{t}}\times\dfrac{1-\frac{1}{\sqrt[3]{t}}}{1-\frac{1}{\sqrt{t}}}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt[6]{t}}\to0\) et la fraction tend vers \(\dfrac{1}{1}=1\) ; par produit :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt[3]{x-1}-1}{\sqrt{x-1}-1}=0\)
3. Calcul direct (on remplace) : au numérateur \(\sqrt{x}\to+\infty\) et \(-3\sqrt[3]{x}\to-\infty\) (déjà « \(\infty-\infty\) ») ; au dénominateur \(\sqrt[3]{x}-1\to+\infty\) : forme indéterminée.
Ici : plusieurs racines n-ièmes : on factorise par la racine dominante (plus grand exposant : \(x^{\frac{1}{2}}\) domine \(x^{\frac{1}{3}}\)), puis \(\dfrac{x^r}{x^s}=x^{r-s}\).
\(\dfrac{\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}-1}=\dfrac{\sqrt{x}\left(1-\frac{3}{\sqrt[6]{x}}+\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)}{\sqrt[3]{x}\left(1-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}\)
\(=\sqrt[6]{x}\times\dfrac{1-\frac{3}{\sqrt[6]{x}}+\frac{1}{\sqrt[4]{x}}}{1-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}\)
(car \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}=x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{6}}\)). \(\sqrt[6]{x}\to+\infty\) et la fraction tend vers \(1\) ; par produit :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}-1}=+\infty\)
4. Calcul direct (on remplace) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt[3]{x^3-x-1}=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}(-2x-1)=-\infty\) ; on obtient la forme indéterminée « \(+\infty-\infty\) ».
Ici : la racine ne se compense pas avec le reste : on factorise par le terme dominant (le conjugué est inutile).
(\(\sqrt[3]{x^3-x-1}\) se comporte comme \(x\), et \(x-2x=-x\) : pas de compensation.) Pour \(x\geq2\), \(x^3-x-1>0\) et \(\sqrt[3]{x^3}=x\) :
\(\sqrt[3]{x^3-x-1}=\sqrt[3]{x^3\left(1-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)}\)
\(=x\sqrt[3]{1-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}}\)
\(\sqrt[3]{x^3-x-1}-2x-1=x\left(\sqrt[3]{1-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}}-2\right)-1\)
La racine tend vers \(\sqrt[3]{1}=1\), la parenthèse vers \(1-2=-1\), et \(x\to+\infty\) : le produit tend vers \(-\infty\) ; en retranchant \(1\) :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3-x-1}-2x-1\right)=-\infty\)

💡 Méthode : pour montrer que \(f(x)=x\) a une solution, on étudie la fonction auxiliaire \(\varphi(x)=f(x)-x\) et on applique le théorème des valeurs intermédiaires (sans monotonie : on obtient au moins une solution) : si \(\varphi\) est continue sur \([a;b]\) et \(\varphi(a)\times\varphi(b)\leq0\), alors \(\varphi\) s’annule au moins une fois sur \([a;b]\).
Étape 1 (continuité) : \(f\) est continue sur \([a;b]\) (hypothèse) et \(x\mapsto x\) aussi : \(\varphi=f-\mathrm{id}\) est continue sur \([a;b]\) (différence).
Étape 2 (signes aux bornes) : \(f(a)\in[a;b]\) donne \(f(a)\geq a\), soit \(\varphi(a)=f(a)-a\geq0\) ; \(f(b)\in[a;b]\) donne \(f(b)\leq b\), soit \(\varphi(b)=f(b)-b\leq0\).
Étape 3 : si \(\varphi(a)=0\) ou \(\varphi(b)=0\), on prend \(c=a\) ou \(c=b\). Sinon \(\varphi(a)>0>\varphi(b)\) : \(0\) est compris entre \(\varphi(b)\) et \(\varphi(a)\), et le TVI donne \(c\in]a;b[\) tel que \(\varphi(c)=0\).
[!] \(f(c)-c=0\), c’est-à-dire \(f(c)=c\) : \(f\) admet au moins un point fixe.

1. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(I\) car \(x\mapsto x^2\), \(\sin\) et \(\cos\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) (\(f\) est une somme et un produit de fonctions dérivables). Pour tout \(x\inI\) :
Avec \((uv)'=u'v+uv'\) : \(\left(x\sin x\right)'=\sin x+x\cos x\) ; et \(\left(\cos x\right)'=-\sin x\) :
\(f'(x)=2x-\left(\sin x+x\cos x\right)-(-\sin x)\)
\(=2x-\sin x-x\cos x+\sin x\)
\(=2x-x\cos x\)
\(=x(2-\cos x)\)
Sur \(I\) : \(x\geq\dfrac{\pi}{4}>0\) ; et \(\cos x\leq1\), donc \(2-\cos x\geq1>0\) : \(f'(x)>0\).
[] \(f\) est strictement croissante sur \(I\)
2. 💡 Méthode (TVI, cas strictement monotone) : si \(f\) est continue et strictement monotone sur l’intervalle \(I\) et si \(0\in f(I)\), alors le nombre \(0\) a un unique antécédent par \(f\) dans \(I\) : l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution dans \(I\).
Étape 1 (continuité) : \(f\) est continue sur \(I\) car elle est dérivable sur \(I\) (question 1).
Étape 2 (stricte monotonie) : \(f\) est strictement croissante sur \(I\) (question 1).
Étape 3 (image de l’intervalle) : on calcule les valeurs (ou les limites) aux bornes :
\(f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi^2}{16}-\dfrac{\pi}{4}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(=\dfrac{\pi^2}{16}-\dfrac{\pi\sqrt{2}}{8}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx-0{,}65<0\)
\(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi^2}{4}-\dfrac{\pi}{2}\times1-0\)
\(=\dfrac{\pi^2}{4}-\dfrac{\pi}{2}\approx0{,}90>0\)
\(f(I)=\left[f\left(\dfrac{\pi}{4}\right);f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right]\)
Étape 4 : \(0\in f(I)\) (une valeur négative et une valeur positive) : \(0\) a un unique antécédent \(\alpha\) par \(f\) dans \(I\) ; comme \(0\) n’est pas atteint aux bornes, \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right[\).
[] L’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right[\).
3. 💡 On calcule \(f\) au point de séparation \(\dfrac{\pi}{3}\), puis on compare avec \(f(\alpha)=0\) en utilisant la croissance de \(f\).
\(f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\pi^2}{9}-\dfrac{\pi}{3}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\)
\(=\dfrac{\pi^2}{9}-\dfrac{\pi\sqrt{3}}{6}-\dfrac{1}{2}\approx-0{,}31<0\)
Donc \(f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)<0=f(\alpha)<f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) ; \(f\) strictement croissante conserve l’ordre : \(\dfrac{\pi}{3}<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\).
[] \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{2}\right[\)
4. \(f\) est strictement croissante et \(f(\alpha)=0\) : pour \(x<\alpha\), \(f(x)<f(\alpha)=0\) ; pour \(x>\alpha\), \(f(x)>0\).

1. 💡 Méthode : si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(J=f(I)\) ; \(f^{-1}\) a le même sens de variation que \(f\).
Continuité : \(f\) est une fonction polynôme, continue sur \(\mathbb{R}\).
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c’est une fonction polynôme. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\(f'(x)=3x^2+1>0\)
Monotonie : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Limites (pas de forme indéterminée, \(x^3\) et \(x\) ont la même limite) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
[] \(f\) admet une réciproque \(g\) définie sur \(J=f(\mathbb{R})=]-\infty;+\infty[=\mathbb{R}\)
2. \(g\) a le même sens de variation que \(f\) : strictement croissante, et \(g(\mathbb{R})=\mathbb{R}\) (ensemble de départ de \(f\)), donc \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\).

3. 💡 Par définition de la réciproque : pour \(x\in\mathbb{R}\), \(g(x)\) est l’unique réel \(y\) tel que \(f(y)=x\) ; donc \(f\left(g(x)\right)=x\).
\(f\left(g(x)\right)=x\iff\left(g(x)\right)^3+g(x)=x\)
4. Soit \(x\geq0\). \(f(0)=0\), donc \(g(0)=0\) ; \(g\) est croissante, donc \(g(x)\geq g(0)=0\) ; alors \(\left(g(x)\right)^3\geq0\), et :
\(x=\left(g(x)\right)^3+g(x)\geq g(x)\)
[] \(\left(\forall x\in\mathbb{R}^+\right)\quad g(x)\leq x\)
Limite : pour \(x>0\), \(g(x)>0\) ; on remplace \(x\) par \(\left(g(x)\right)^3+g(x)\) :
\(\dfrac{x}{\left(g(x)\right)^3}=\dfrac{\left(g(x)\right)^3+g(x)}{\left(g(x)\right)^3}\)
\(=1+\dfrac{1}{\left(g(x)\right)^2}\)
Quand \(x\to+\infty\), \(g(x)\to+\infty\) (question 2), donc \(\dfrac{1}{\left(g(x)\right)^2}\to0\) :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\left(g(x)\right)^3}=1\)

💡 Méthode : on écrit chaque racine sous forme de puissance : \(\sqrt[n]{a^p}=a^{\frac{p}{n}}\) (\(a>0\)), puis on utilise \(a^r\times a^s=a^{r+s}\) et \(\dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\).
Nombre A : \(\sqrt{18}=3\times2^{\frac{1}{2}}\) ; \(\sqrt{\sqrt[3]{256}}=\sqrt[6]{2^8}=2^{\frac{4}{3}}\) ; \(\sqrt[4]{64}=\sqrt[4]{2^6}=2^{\frac{3}{2}}\) ; \(\sqrt[3]{1024}=\sqrt[3]{2^{10}}=2^{\frac{10}{3}}\) ; \(\sqrt[6]{64\times10^6}=\sqrt[6]{20^6}=20\).
\(A=\dfrac{3\times2^{\frac{1}{2}+\frac{4}{3}+\frac{3}{2}}}{20\times2^{\frac{10}{3}}}\)
\(=\dfrac{3\times2^{\frac{10}{3}}}{20\times2^{\frac{10}{3}}}\)
\(=\dfrac{3}{20}\)
(car \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{3+8+9}{6}=\dfrac{10}{3}\)).
Nombre B : \(\sqrt[15]{3}=3^{\frac{1}{15}}\) ; \(\sqrt[3]{9}=3^{\frac{2}{3}}\) ; \(\left(\sqrt{9}\right)^3=27\) ; \(\sqrt[4]{27}\times\sqrt{\sqrt{3}}=3^{\frac{3}{4}}\times3^{\frac{1}{4}}=3\).
\(B=\dfrac{3^{\frac{1}{15}}\times3^{\frac{2}{3}}\times27}{3}\)
\(=9\times3^{\frac{1}{15}+\frac{10}{15}}\)
\(=9\times3^{\frac{11}{15}}=9\sqrt[15]{3^{11}}\)
Nombre C : \(\sqrt[4]{2048}=2^{\frac{11}{4}}\) ; \(\sqrt[4]{160000}=\sqrt[4]{2^4\times10^4}=20\) ; \(\sqrt[8]{4096}=2^{\frac{12}{8}}=2^{\frac{3}{2}}\) ; \(\sqrt[3]{\sqrt{256}\times\sqrt{512}}=\sqrt[3]{2^4\times2^{\frac{9}{2}}}=2^{\frac{17}{6}}\).
\(C=\dfrac{20\times2^{\frac{11}{4}}}{2^{\frac{3}{2}+\frac{17}{6}}}=20\times2^{\frac{11}{4}-\frac{13}{3}}\)
\(=20\times2^{-\frac{19}{12}}\)
\(=\dfrac{10}{2^{\frac{7}{12}}}=\dfrac{10}{\sqrt[12]{128}}\)
[] \(A=\dfrac{3}{20}\) ; \(B=9\sqrt[15]{3^{11}}\) ; \(C=\dfrac{10}{\sqrt[12]{128}}\)