Niveau 1 — Je m'entraîne : applications directes du cours
Exercice 1 ★
Construire des projetés. $ABC$ est un triangle et $I$ le milieu de $[BC]$. On note $p$ la projection sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$.
1. Déterminer $p(A)$, $p(B)$ et $p(C)$.
2. Construire $I'=p(I)$ et montrer que $I'$ est le milieu de $[AB]$.
Exercice 2 ★
Vocabulaire. $(D)$ et $(\Delta)$ sont deux droites sécantes en $O$. On note $p$ la projection sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$.
1. Quel est le projeté de $O$ ?
2. Quels sont les points $M$ du plan tels que $p(M)=O$ ?
3. Quels sont les points $M$ du plan tels que $p(M)=M$ ?
Exercice 3 ★
Projection orthogonale. $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ et $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$.
Déterminer le projeté orthogonal :
1. de $B$ sur $(AC)$ ; 2. de $C$ sur $(AB)$ ; 3. de $A$ sur $(BC)$ ; 4. de $B$ sur $(AH)$.
Exercice 4 ★
Coefficient de colinéarité. $A$, $B$, $C$ sont trois points alignés tels que $\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}$. On note $A'$, $B'$, $C'$ leurs projetés sur une droite $(D)$ parallèlement à une droite $(\Delta)$ sécante à $(D)$.
1. Exprimer $\overrightarrow{A'C'}$ en fonction de $\overrightarrow{A'B'}$.
2. Sachant que $A'B'=8\ \mathrm{cm}$, calculer $A'C'$ et $C'B'$.
Exercice 5 ★
Milieu et abscisses. Sur une droite graduée $(D)$, les projetés de deux points $A$ et $B$ ont pour abscisses $2$ et $9$. $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ le point tel que $\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{7}\overrightarrow{AB}$.
Déterminer les abscisses des projetés $I'$ et $J'$ de $I$ et $J$.
Niveau 2 — J'approfondis : je raisonne et je justifie
Exercice 6 ★★
Théorème de Thalès par la projection. $ABC$ est un triangle avec $AB=7{,}5\ \mathrm{cm}$, $AC=10\ \mathrm{cm}$ et $BC=9\ \mathrm{cm}$. $M$ est le point de $[AB]$ tel que $AM=3\ \mathrm{cm}$. La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $(AC)$ en $N$.
1. Écrire $\overrightarrow{AM}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.
2. En utilisant une projection que l'on précisera, montrer que $\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}$ et calculer $AN$.
3. Montrer que $\overrightarrow{MN}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}$ et calculer $MN$.
Exercice 7 ★★
Réciproque : démontrer un parallélisme. $ABC$ est un triangle. $E$ et $F$ sont les points tels que $\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. On note $p$ la projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ et $E'=p(E)$.
1. Montrer que $\overrightarrow{AE'}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
2. En déduire que $E'=F$, puis que $(EF)\parallel(BC)$.
Exercice 8 ★★
Droite des milieux d'un trapèze. $ABCD$ est un trapèze de bases $[AB]$ et $[CD]$ (avec $(AB)\parallel(CD)$). $I$ est le milieu de $[AD]$ et $J$ le milieu de $[BC]$. On note $p$ la projection sur $(BC)$ parallèlement à $(AB)$.
1. Déterminer $p(A)$, $p(D)$ et $p(B)$.
2. En déduire $p(I)$, puis montrer que $(IJ)\parallel(AB)$.
Exercice 9 ★★
Partager un segment en parties égales. On veut partager un segment $[AB]$ en $5$ parties égales avec une règle non graduée et une équerre.
On trace une demi-droite $[Ax)$ et on y reporte $5$ fois la même longueur : points $U_1$, $U_2$, $U_3$, $U_4$, $U_5$. On trace $(U_5B)$, puis les parallèles à $(U_5B)$ passant par $U_1$, $U_2$, $U_3$, $U_4$ ; elles coupent $[AB]$ en $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$.
Expliquer, à l'aide d'une projection, pourquoi $AP_1=P_1P_2=P_2P_3=P_3P_4=P_4B$.
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 10 ★★★
Exercice de synthèse 1. $ABC$ est un triangle et $I$ le milieu de $[BC]$. $M$ est le point tel que $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$. La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $(AC)$ en $N$ et $(AI)$ en $K$.
1. Faire une figure.
2. Montrer que $\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ et que $\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.
3. En utilisant la projection sur $(AI)$ parallèlement à $(BC)$, montrer que $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AI}$.
4. En déduire que $K$ est le milieu de $[MN]$.
Exercice 11 ★★★
Exercice de synthèse 2. $ABCD$ est un parallélogramme et $E$ le point de $[AB]$ tel que $\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}$. La parallèle à $(AD)$ passant par $E$ coupe $(DC)$ en $F$. On note $p$ la projection sur $(DC)$ parallèlement à $(AD)$.
1. Faire une figure et déterminer $p(A)$, $p(B)$ et $p(E)$.
2. Montrer que $\overrightarrow{DF}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{DC}$.
3. Montrer que $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{DF}$. Quelle est la nature de $AEFD$ ?
4. En déduire que les segments $[AF]$ et $[DE]$ ont le même milieu.
Exercice 12 ★★★
Exercice de synthèse 3 (projection orthogonale). $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ avec $AB=6\ \mathrm{cm}$ et $AC=8\ \mathrm{cm}$. $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$.
1. Calculer $BC$.
2. En calculant l'aire du triangle $ABC$ de deux façons, montrer que $AH=4{,}8\ \mathrm{cm}$, puis calculer $BH$.
3. Soit $M$ le milieu de $[AB]$ et $M'$ son projeté orthogonal sur $(BC)$. Montrer que $M'$ est le milieu de $[BH]$ et calculer $BM'$.
Corrections
Correction 1
💡 Pour projeter un point $X$ sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ : on trace la parallèle à $(\Delta)$ passant par $X$ ; son point d'intersection avec $(D)$ est le projeté.
1. $A$ et $B$ sont sur $(AB)$ : $p(A)=A$ et $p(B)=B$. La parallèle à $(AC)$ passant par $C$ est $(AC)$ elle-même ; elle coupe $(AB)$ en $A$ : $p(C)=A$.
2. On trace la parallèle à $(AC)$ passant par $I$ : elle coupe $(AB)$ en $I'$.
💡 Une projection conserve le milieu.
$I$ est le milieu de $[BC]$, donc $I'=p(I)$ est le milieu de $[p(B)p(C)]=[BA]$.
[!] $I'$ est le milieu de $[AB]$.
Correction 2
💡 Pour projeter un point $X$ sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ : on trace la parallèle à $(\Delta)$ passant par $X$ ; son point d'intersection avec $(D)$ est le projeté.
1. $O\in(D)$ : la parallèle à $(\Delta)$ passant par $O$ est $(\Delta)$, qui coupe $(D)$ en $O$. Donc $p(O)=O$.
2. $p(M)=O$ signifie que la parallèle à $(\Delta)$ passant par $M$ passe par $O$ : c'est $(\Delta)$ elle-même, donc $M\in(\Delta)$.
$p(M)=O\Leftrightarrow M\in(\Delta)$
3. $p(M)=M$ signifie que $M$ est déjà sur $(D)$.
[!] $p(M)=M\Leftrightarrow M\in(D)$
Correction 3
💡 Le projeté orthogonal de $X$ sur $(D)$ est le pied de la perpendiculaire à $(D)$ passant par $X$.
1. $(AB)\perp(AC)$ et $(AB)$ coupe $(AC)$ en $A$ : le projeté de $B$ sur $(AC)$ est $A$.
2. De même, le projeté de $C$ sur $(AB)$ est $A$.
3. Par définition de la hauteur, le projeté de $A$ sur $(BC)$ est $H$.
4. $(BC)\perp(AH)$ et $(BC)$ coupe $(AH)$ en $H$ : le projeté de $B$ sur $(AH)$ est $H$.
[!] $A$ ; $A$ ; $H$ ; $H$
Correction 4
💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$, alors $\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}$ (où $A'$, $B'$, $M'$ sont les projetés).
1. $\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}$ donne directement :
$\overrightarrow{A'C'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{A'B'}$
2. $A'C'=\dfrac{3}{4}\times8=6\ \mathrm{cm}$. Comme $C'$ est entre $A'$ et $B'$ : $C'B'=A'B'-A'C'=8-6$.
[!] $A'C'=6\ \mathrm{cm}$ et $C'B'=2\ \mathrm{cm}$
Correction 5
💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$, alors $\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}$ (où $A'$, $B'$, $M'$ sont les projetés).
$I'$ est le milieu de $[A'B']$ : son abscisse est $\dfrac{2+9}{2}=5{,}5$.
$\overrightarrow{A'J'}=\dfrac{1}{7}\overrightarrow{A'B'}$ et $A'B'=9-2=7$ : l'abscisse de $J'$ est $2+\dfrac{1}{7}\times7=3$.
[!] $I'$ a pour abscisse $5{,}5$ et $J'$ a pour abscisse $3$.
Correction 6
1. $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3}{7{,}5}=\dfrac{2}{5}$ et $M\in[AB]$ (même sens) : $\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}$.
2. On utilise la projection $p$ sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ : $p(A)=A$, $p(B)=C$, $p(M)=N$.
💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$, alors $\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}$ (où $A'$, $B'$, $M'$ sont les projetés).
$\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}$ et $AN=\dfrac{2}{5}\times10=4\ \mathrm{cm}$
3. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{5}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}$.
[!] $MN=\dfrac{2}{5}\times9=3{,}6\ \mathrm{cm}$
Correction 7
1. $p(A)=A$, $p(B)=C$ et $p(E)=E'$.
💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$, alors $\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}$ (où $A'$, $B'$, $M'$ sont les projetés).
$\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ donne $\overrightarrow{AE'}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
2. $\overrightarrow{AE'}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AF}$, donc $E'=F$.
💡 Par définition de la projection, la droite qui joint un point à son projeté est parallèle à la direction $(BC)$.
[!] $(EE')=(EF)$ est parallèle à $(BC)$.
Correction 8
💡 Pour projeter un point $X$ sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ : on trace la parallèle à $(\Delta)$ passant par $X$ ; son point d'intersection avec $(D)$ est le projeté.
1. La parallèle à $(AB)$ passant par $A$ est $(AB)$, qui coupe $(BC)$ en $B$ : $p(A)=B$.
La parallèle à $(AB)$ passant par $D$ est $(DC)$ (car $(DC)\parallel(AB)$), qui coupe $(BC)$ en $C$ : $p(D)=C$. Et $p(B)=B$.
2. $I$ est le milieu de $[AD]$ et la projection conserve le milieu : $p(I)$ est le milieu de $[p(A)p(D)]=[BC]$, donc $p(I)=J$.
[!] La droite $(IJ)$ joint $I$ à son projeté : elle est parallèle à la direction $(AB)$.
Correction 9
💡 On considère la projection $p$ sur $(AB)$ parallèlement à $(U_5B)$.
$p(A)=A$, $p(U_5)=B$, et par construction $p(U_k)=P_k$ pour $k=1,2,3,4$.
Sur $[Ax)$ : $\overrightarrow{AU_k}=\dfrac{k}{5}\overrightarrow{AU_5}$ (longueurs égales reportées).
💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$, alors $\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}$ (où $A'$, $B'$, $M'$ sont les projetés).
Donc $\overrightarrow{AP_k}=\dfrac{k}{5}\overrightarrow{AB}$ pour $k=1,2,3,4$ : les points $P_k$ sont régulièrement espacés de $\dfrac{1}{5}AB$.
[!] $AP_1=P_1P_2=P_2P_3=P_3P_4=P_4B=\dfrac{1}{5}AB$
Correction 10
1. $M$ au tiers de $[AB]$ ; on trace la parallèle à $(BC)$ par $M$ : elle coupe $(AC)$ en $N$ et la médiane $(AI)$ en $K$.
2. Projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ : $A\mapsto A$, $B\mapsto C$, $M\mapsto N$.
💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$, alors $\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}$ (où $A'$, $B'$, $M'$ sont les projetés).
Donc $\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.
3. Projection $q$ sur $(AI)$ parallèlement à $(BC)$ : $q(A)=A$ ; la parallèle à $(BC)$ par $B$ est $(BC)$, qui coupe $(AI)$ en $I$ : $q(B)=I$ ; et $q(M)=K$.
$\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ donne $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AI}$
4. $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)$.
💡 $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)$ caractérise le milieu de $[MN]$.
[!] $K$ est le milieu de $[MN]$ : la médiane $(AI)$ coupe $[MN]$ en son milieu.
Correction 11
1. La parallèle à $(AD)$ par $A$ est $(AD)$, qui coupe $(DC)$ en $D$ : $p(A)=D$. La parallèle à $(AD)$ par $B$ est $(BC)$ (car $(BC)\parallel(AD)$), qui coupe $(DC)$ en $C$ : $p(B)=C$. Par construction $p(E)=F$.
2. 💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$, alors $\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}$ (où $A'$, $B'$, $M'$ sont les projetés).
$\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ avec $A\mapsto D$, $E\mapsto F$, $B\mapsto C$ donne $\overrightarrow{DF}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{DC}$.
3. $ABCD$ parallélogramme : $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$, donc $\overrightarrow{DF}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AE}$.
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{DF}$ : $AEFD$ est un parallélogramme.
4. 💡 Les diagonales d'un parallélogramme ont le même milieu.
[!] Les diagonales $[AF]$ et $[DE]$ de $AEFD$ ont le même milieu.
Correction 12
1. 💡 Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ : $BC^2=AB^2+AC^2$.
$BC^2=36+64=100$, donc $BC=10\ \mathrm{cm}$.
2. Aire $=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{6\times8}{2}=24$ et aussi Aire $=\dfrac{BC\times AH}{2}=5\,AH$. Donc $AH=\dfrac{24}{5}=4{,}8\ \mathrm{cm}$.
Pythagore dans $ABH$ rectangle en $H$ : $BH^2=AB^2-AH^2=36-23{,}04=12{,}96$.
$AH=4{,}8\ \mathrm{cm}$ et $BH=3{,}6\ \mathrm{cm}$
3. On utilise la projection orthogonale $p$ sur $(BC)$ : $p(A)=H$ (définition de $H$), $p(B)=B$, $p(M)=M'$.
💡 Une projection (orthogonale ou non) conserve le milieu.
$M$ milieu de $[AB]$, donc $M'$ est le milieu de $[p(A)p(B)]=[HB]$.
[!] $M'$ est le milieu de $[BH]$ et $BM'=\dfrac{3{,}6}{2}=1{,}8\ \mathrm{cm}$