Projection sur une droite parallèlement à une autre
Définition Définition
Soient $(D)$ et $(\Delta)$ deux droites sécantes. Le projeté d'un point $M$ sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ est le point $M'$ d'intersection de $(D)$ avec la parallèle à $(\Delta)$ passant par $M$.
Propriété Cas particuliers
- Si $M\in(D)$, alors $M'=M$.
- Si $M\in(\Delta)$, alors $M'=O$, le point d'intersection de $(D)$ et $(\Delta)$.
- Si $M\neq M'$, alors $(MM')\parallel(\Delta)$.
Projection orthogonale
Définition Définition
Si $(\Delta)\perp(D)$, on parle de projection orthogonale sur $(D)$ : le projeté $H$ de $M$ est le pied de la perpendiculaire à $(D)$ passant par $M$.
>> Exemple : dans un triangle, le pied de la hauteur issue de $A$ est le projeté orthogonal de $A$ sur le côté opposé.
Propriétés de la projection
Théorème Conservation du milieu
[!] Le projeté du milieu d'un segment est le milieu du segment projeté.
Théorème Conservation du coefficient de colinéarité
Si $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ sont les projetés de $A$, $B$, $C$, $D$ et si $\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}$, alors :
[!] $\overrightarrow{C'D'}=k\overrightarrow{A'B'}$
>> En particulier : si $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$, alors $\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}$.
Théorème de Thalès
Théorème Théorème (forme vectorielle)
$ABC$ est un triangle, $M\in(AB)$ et $N\in(AC)$ avec $(MN)\parallel(BC)$. Si $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$, alors :
$\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{BC}$
>> Démonstration : on projette sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ : $A\mapsto A$, $B\mapsto C$, $M\mapsto N$.
Propriété Réciproque
Si $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}$ (même $k$), alors $(MN)\parallel(BC)$.
Méthode Méthode : utiliser une projection
- Choisir la droite $(D)$ sur laquelle on projette et la direction $(\Delta)$.
- Déterminer les projetés des points connus (souvent : un point de $(D)$ est son propre projeté).
- Appliquer la conservation du milieu ou du coefficient.
À retenir À retenir
- Projeté de $M$ : intersection de $(D)$ avec la parallèle à $(\Delta)$ passant par $M$.
- Une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité.
- Thalès : $(MN)\parallel(BC)$ et $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}$.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Une projection ne conserve pas les longueurs : en général $A'B'\neq AB$.
- Les droites $(D)$ et $(\Delta)$ doivent être sécantes (pas parallèles).
- Ne pas confondre « sur $(D)$ » (où l'on arrive) et « parallèlement à $(\Delta)$ » (la direction suivie).
Astuce Astuce
Pour montrer que $(EF)\parallel(\Delta)$, il suffit de montrer que $F$ est le projeté de $E$ sur une droite parallèlement à $(\Delta)$.