Définitions et propriétés
Définition Projeté d’un point
Soient $(D)$ et $(\Delta)$ deux droites sécantes. Pour tout point $M$ du plan, la droite passant par $M$ et parallèle à $(\Delta)$ coupe $(D)$ en un point unique $M'$.
$M'$ est le projeté de $M$ sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ ; on écrit $p(M)=M'$, où $p$ est la projection sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$.
Méthode Construire le projeté d’un point
On place un côté de l’équerre sur $(\Delta)$, on fait glisser l’équerre le long d’une règle jusqu’au point $M$, puis on trace la parallèle à $(\Delta)$ passant par $M$ : elle coupe $(D)$ en $M'$.
Remarque Cas particuliers
- Si $M\in(D)$, son projeté est lui-même : les points de $(D)$ sont invariants par $p$.
- Si $(D)\perp(\Delta)$, la projection $p$ s’appelle la projection orthogonale sur $(D)$.
Propriété Propriété 1
Soit $A\in(D)$. L’ensemble des points qui ont pour projeté $A$ (sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$) est la droite passant par $A$ et parallèle à $(\Delta)$.
Propriété Propriété 2
Si $(\Delta')\parallel(\Delta)$, alors la projection sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ est aussi la projection sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta')$.
Remarque Teste-toi
Projection d’une figure
Définition
Le projeté d’une figure $(\mathcal{F})$ est la partie $(\mathcal{F}')$ de $(D)$ formée des projetés de tous les points de $(\mathcal{F})$ :
- le projeté de chaque point de $(\mathcal{F})$ appartient à $(\mathcal{F}')$ ;
- tout point de $(\mathcal{F}')$ est le projeté d’au moins un point de $(\mathcal{F})$.
Propriété Projeté d’un segment
Si $A'$ et $B'$ sont les projetés de $A$ et $B$ sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$, alors :
le projeté du segment $[AB]$ est le segment $[A'B']$
Propriété Projeté du milieu
Le projeté du milieu de $[AB]$ est le milieu de $[A'B']$ : la projection conserve le milieu.
Exemple
$ABC$ est un triangle, $I$ le milieu de $[AB]$. La parallèle à $(BC)$ passant par $I$ coupe $(AC)$ en $J$. Montrer que $J$ est le milieu de $[AC]$.
On projette sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ : $A\mapsto A$, $B\mapsto C$ et $I\mapsto J$.
La projection conserve le milieu : $J$ est le milieu de $[AC]$
Remarque Vrai ou faux ?
Le théorème de Thalès direct
Théorème Théorème de Thalès
Soient $(D)$ et $(\Delta)$ deux droites sécantes, $A$, $B$ et $C$ des points alignés tels que $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}$, et $A'$, $B'$, $C'$ leurs projetés sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$. Alors :
$\overrightarrow{A'C'}=\lambda\overrightarrow{A'B'}$ et $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{A'C'}{A'B'}$
Propriété Conservation du coefficient de colinéarité
Si $\overrightarrow{CD}=\lambda\overrightarrow{AB}$ et si $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ sont les projetés de $A$, $B$, $C$, $D$, alors :
$\overrightarrow{C'D'}=\lambda\overrightarrow{A'B'}$
Attention : les points $A$, $B$, $C$, $D$ ne sont pas forcément alignés ; il suffit que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ soient colinéaires.
On dit que la projection conserve le coefficient de colinéarité ; en particulier si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ alors $\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{C'D'}$.
Méthode Application : partager un segment en parts égales
Pour partager $[AB]$ en $n$ segments de même longueur :
- on trace une demi-droite $[Ax)$ puis, avec le compas, on reporte $n$ fois la même longueur : $A_1, A_2, \dots, A_n$ ;
- on trace $[A_nB]$, puis les parallèles à $(A_nB)$ passant par $A_1, \dots, A_{n-1}$ : elles coupent $[AB]$ en $M_1, \dots, M_{n-1}$.
La projection sur $(AB)$ parallèlement à $(A_nB)$ conserve l’égalité des longueurs : $AM_1=M_1M_2=\dots=M_{n-1}B=\dfrac{AB}{n}$
Remarque Un peu d’histoire : Thalès de Milet
Thalès de Milet (vers 625 – 547 av. J.-C.) est un savant grec, considéré comme l’un des premiers mathématiciens.
Selon la tradition, lors d’un voyage en Égypte, il a mesuré la hauteur de la grande pyramide grâce à son ombre, sans y monter !
Remarque Expérience de Thalès : le palmier et la pyramide
Thalès a mesuré la hauteur des pyramides grâce à leur ombre : les rayons du soleil sont parallèles, l’ombre est donc une projection.
Choisis le palmier ou la pyramide, puis déplace le soleil : les ombres changent, mais $\dfrac{H}{S}=\dfrac{h}{s}$ reste vraie, donc $H=S\times\dfrac{h}{s}$.
Propriété Pourquoi l’expérience marche ? (Thalès avec deux vecteurs colinéaires)
Le sol est $(D)$ et les rayons du soleil donnent la direction $(\Delta)$ : l’ombre d’un point est son projeté sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$.
Le palmier $[OA]$ et la personne $[PT]$ sont verticaux, donc parallèles : $\overrightarrow{OA}=\dfrac{H}{h}\overrightarrow{PT}$ (vecteurs colinéaires, points non alignés).
$O$ et $P$ sont sur $(D)$ (invariants), $A$ et $T$ se projettent en $A'$ et $T'$. La projection conserve le coefficient de colinéarité :
$\overrightarrow{OA'}=\dfrac{H}{h}\overrightarrow{PT'}$ donc $\dfrac{S}{s}=\dfrac{H}{h}$ et $H=S\times\dfrac{h}{s}$
Avec « Superposer », la personne est placée en $O$ : $O$, $T$, $A$ sont alignés et on retrouve le théorème de Thalès : $\dfrac{OA'}{OT'}=\dfrac{OA}{OT}$.
Remarque Défi à la maison
Plante un bâton bien vertical au soleil, mesure sa hauteur $h$ et son ombre $s$, puis l’ombre $S$ d’un arbre ou d’un poteau, au même moment.
Écris tes mesures : le site calcule la hauteur $H=S\times\dfrac{h}{s}$.
Exemple
Dans un triangle $ABC$, $M\in[AB]$ avec $AM=2$, $AB=5$ ; la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $(AC)$ en $N$. Sachant que $AC=7{,}5$, calculer $AN$.
Remarque Teste-toi
Le théorème de Thalès réciproque
Théorème Réciproque
Soient $A$, $B$, $C$ trois points alignés tels que $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}$, et $A'$, $B'$ les projetés de $A$ et $B$ sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$.
Si $C'$ est le point de $(D)$ tel que $\overrightarrow{A'C'}=\lambda\overrightarrow{A'B'}$, alors :
$C'$ est le projeté de $C$ sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$
Méthode Montrer que deux droites sont parallèles
Dans un triangle $ABC$ : si $M\in(AB)$, $N\in(AC)$ et $\overrightarrow{AN}=\lambda\overrightarrow{AC}$ avec $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}$ (même coefficient), alors $(MN)\parallel(BC)$.
Exemple
$AB=6$, $AM=4$, $AC=9$, $AN=6$ avec $M\in[AB]$ et $N\in[AC]$ : $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{AN}{AC}$.
D’après la réciproque de Thalès : $(MN)\parallel(BC)$
Remarque Teste-toi
Remarque Jeu : où est le projeté ?
Pour chaque point $M$, clique sur $(D)$ là où tu penses que se trouve son projeté $M'$ parallèlement à $(\Delta)$.
À retenir
- $p(M)=M'$ : $M'\in(D)$ et $(MM')\parallel(\Delta)$ ; si $(D)\perp(\Delta)$ : projection orthogonale.
- La projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité.
- Thalès : $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{A'C'}=\lambda\overrightarrow{A'B'}$ ; la réciproque permet de montrer un parallélisme.