Niveau 1 — Je m'entraîne : applications directes du cours
Exercice 1 ★
Égalités dans un parallélogramme. $ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$. Compléter par un point ou par $\vec{0}$ :
1. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{D\ldots}$ ; 2. $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{O\ldots}$ ; 3. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A\ldots}$ ; 4. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\ldots$ ; 5. $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D\ldots}$
Exercice 2 ★
Relation de Chasles. $A$, $B$, $C$, $D$ et $M$ sont des points du plan. Simplifier :
1. $\vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}$
2. $\vec{v}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$
3. $\vec{w}=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{AB}$
Exercice 3 ★
Construction de points. $A$, $B$, $C$ sont trois points non alignés. Construire les points $D$, $E$ et $F$ tels que :
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ ; $\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ ; $\overrightarrow{BF}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
Exercice 4 ★
Milieu d'un segment. $I$ est le milieu de $[AB]$.
1. Montrer que pour tout point $M$ : $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.
2. Application : $ABC$ est un triangle et $J$ le milieu de $[BC]$. Exprimer $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ en fonction de $\overrightarrow{AJ}$.
Exercice 5 ★
Colinéarité. $A$, $B$, $C$ sont trois points non alignés. On pose $\vec{u}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$, $\vec{v}=-4\overrightarrow{AB}+6\overrightarrow{AC}$ et $\vec{w}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.
1. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires ?
2. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ sont-ils colinéaires ?
Niveau 2 — J'approfondis : je raisonne et je justifie
Exercice 6 ★★
Caractériser un parallélogramme. $A$, $B$, $C$, $D$ sont quatre points tels que $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.
1. Montrer que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. En déduire la nature du quadrilatère $ABCD$.
2. Application : $EFG$ est un triangle et $H$ le point tel que $\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EG}$. Montrer que $[EH]$ et $[FG]$ ont le même milieu.
Exercice 7 ★★
Droite des tiers. $ABC$ est un triangle. $M$ et $N$ sont les points tels que $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
1. Faire une figure.
2. Exprimer $\overrightarrow{MN}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$.
3. Que peut-on en déduire pour les droites $(MN)$ et $(BC)$ ? Comparer les longueurs $MN$ et $BC$.
Exercice 8 ★★
Points définis par une relation. $ABC$ est un triangle. $E$ et $F$ sont les points tels que $2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}=\vec{0}$ et $\overrightarrow{FB}-3\overrightarrow{FC}=\vec{0}$.
1. Montrer que $\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.
2. Montrer que $\overrightarrow{BF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}$.
3. Construire $E$ et $F$.
Exercice 9 ★★
Alignement dans un parallélogramme. $ABCD$ est un parallélogramme. $E$ et $F$ sont les points tels que $\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AD}$.
1. Faire une figure.
2. Exprimer $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.
3. En déduire que $C$ est le milieu de $[EF]$.
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 10 ★★★
Exercice de synthèse 1. $ABC$ est un triangle et $I$ le milieu de $[AC]$. $E$ et $F$ sont les points tels que $\overrightarrow{BE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{AB}$.
1. Faire une figure.
2. Exprimer $\overrightarrow{FI}$ et $\overrightarrow{AE}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
3. En déduire $\overrightarrow{FE}$ puis montrer que $\overrightarrow{FE}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{FI}$. Conclure.
4. Soit $K$ le milieu de $[FE]$. Montrer que $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Que peut-on dire des droites $(AK)$ et $(BC)$ ?
Exercice 11 ★★★
Exercice de synthèse 2. $ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$. $M$ et $N$ sont les points tels que $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CD}$.
1. Faire une figure.
2. Exprimer $\overrightarrow{MB}$ et $\overrightarrow{DN}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.
3. En déduire la nature du quadrilatère $MBND$, puis que $(DM)\parallel(BN)$.
4. Montrer que $O$ est le milieu de $[MN]$.
Exercice 12 ★★★
Exercice de synthèse 3. $ABC$ est un triangle et $I$ le milieu de $[AB]$. $M$ est le point tel que $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\vec{0}$.
1. Montrer que $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
2. Montrer que $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.
3. En déduire que $M$ est le milieu de $[IC]$.
4. Construire le point $M$.
Corrections
Correction 1
💡 Rappels : $ABCD$ parallélogramme $\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ; ses diagonales ont le même milieu $O$ ; règle du parallélogramme : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.
1. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (côtés opposés, même sens).
2. $O$ est le milieu de $[AC]$ : $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$.
3. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (règle du parallélogramme).
4. $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OC}$ sont opposés : $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$.
[!] 5. $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$ (règle du parallélogramme à partir du sommet $D$).
Correction 2
💡 Chasles : $\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}$ (la fin de l'un est le début de l'autre). Et $-\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{YX}$.
1. On réordonne pour enchaîner : $\vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$.
2. $-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}$, donc $\vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$.
3. $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BA}$, donc $\vec{w}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}$.
[!] $\vec{u}=\vec{0}$ ; $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$ ; $\vec{w}=2\overrightarrow{BA}$
Correction 3
💡 Pour construire $\overrightarrow{AX}=\vec{u}+\vec{v}$ : on trace $\vec{u}$ à partir de $A$, puis $\vec{v}$ à partir de l'extrémité (Chasles), ou on complète le parallélogramme.
$D$ : $ABDC$ est un parallélogramme (règle du parallélogramme).
$E$ : on part de $A$, on avance de $2\overrightarrow{AB}$ (jusqu'au symétrique de $A$ par rapport à $B$), puis on recule de $\overrightarrow{AC}$.
$F$ : on part de $B$, dans le sens contraire de $\overrightarrow{BC}$, sur une longueur $\dfrac{1}{2}BC$ ($F$ est sur $(BC)$, $B$ entre $F$ et $C$).
[!] Voir la figure : $ABDC$ parallélogramme, $E$ et $F$ construits par Chasles.
Correction 4
1. 💡 On introduit $I$ dans chaque vecteur avec Chasles, et on utilise $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ ($I$ milieu).
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)=2\overrightarrow{MI}+\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)=2\overrightarrow{MI}$.
2. On applique la question 1 au segment $[BC]$ de milieu $J$, avec $M=A$.
[!] $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AJ}$
Correction 5
💡 $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$. Avec $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ non colinéaires, on compare les coefficients.
1. $-4=k\times2$ donne $k=-2$, et $6=-2\times(-3)$ ✓. Donc $\vec{v}=-2\vec{u}$.
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
2. $\vec{w}=k\vec{u}$ exigerait $1=2k$ et $1=-3k$, soit $k=\dfrac{1}{2}$ et $k=-\dfrac{1}{3}$ : impossible.
[!] $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires.
Correction 6
1. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$ (Chasles).
💡 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ $\Leftrightarrow$ $ADCB$ est un parallélogramme, c'est-à-dire $ABCD$ est un parallélogramme.
$ABCD$ est un parallélogramme.
2. D'après la question 1 (avec $E$, $F$, $H$, $G$ à la place de $A$, $B$, $C$, $D$), $EFHG$ est un parallélogramme.
💡 Les diagonales d'un parallélogramme ont le même milieu.
[!] Les diagonales $[EH]$ et $[FG]$ de $EFHG$ ont le même milieu.
Correction 7
1. $M$ au tiers de $[AB]$ et $N$ au tiers de $[AC]$, à partir de $A$.
2. 💡 On passe par $A$ : $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$.
$\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.
3. 💡 Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
[!] $\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ : $(MN)\parallel(BC)$ et $MN=\dfrac{1}{3}BC$.
Correction 8
💡 Méthode : on choisit un point connu (ici $A$, puis $B$) et on l'introduit dans chaque vecteur avec Chasles, puis on isole le vecteur cherché.
1. $2\overrightarrow{EA}+\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}\right)=\vec{0}$, donc $3\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}$, soit $3\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$
2. $\overrightarrow{FB}-3\left(\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BC}\right)=\vec{0}$, donc $-2\overrightarrow{FB}-3\overrightarrow{BC}=\vec{0}$, soit $2\overrightarrow{BF}=3\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{BF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}$
3. $E$ est au tiers de $[AB]$ à partir de $A$ ; $F$ est sur la demi-droite $[BC)$, au-delà de $C$, avec $BF=\dfrac{3}{2}BC$, c'est-à-dire $CF=\dfrac{1}{2}BC$.
[!] Voir la figure.
Correction 9
1. $B$ est le milieu de $[AE]$ et $D$ le milieu de $[AF]$.
2. 💡 Règle du parallélogramme : $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Puis $\overrightarrow{CX}=\overrightarrow{AX}-\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$.
$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.
3. 💡 $C$ est le milieu de $[EF]$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CF}=\vec{0}$.
$\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CF}=\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)+\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=\vec{0}$.
[!] $C$ est le milieu de $[EF]$ (en particulier $E$, $C$, $F$ sont alignés).
Correction 10
1. $I$ milieu de $[AC]$ ; $E$ aux deux tiers de $[BC]$ à partir de $B$ ; $F$ symétrique de $B$ par rapport à $A$.
2. 💡 On exprime tout avec l'origine $A$ et les deux vecteurs de base $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{FI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.
3. $\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.
On met $\dfrac{4}{3}$ en facteur : $\overrightarrow{FE}=\dfrac{4}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{FI}$.
$\overrightarrow{FE}$ et $\overrightarrow{FI}$ sont colinéaires : $F$, $I$ et $E$ sont alignés.
4. $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AE}\right)=\dfrac{1}{2}\left(-\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.
[!] $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ : $(AK)\parallel(BC)$.
Correction 11
1. $M$ au tiers de $[AB]$ à partir de $A$ ; $N$ au tiers de $[CD]$ à partir de $C$.
2. $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.
💡 Dans le parallélogramme : $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$, donc $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.
3. $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{DN}$ : $MBND$ est un parallélogramme. Ses côtés opposés $(DM)$ et $(NB)$ sont parallèles.
$MBND$ est un parallélogramme et $(DM)\parallel(BN)$.
4. 💡 Les diagonales d'un parallélogramme ont le même milieu.
Les diagonales $[BD]$ et $[MN]$ de $MBND$ ont le même milieu ; or le milieu de $[BD]$ est $O$ (centre de $ABCD$).
[!] $O$ est le milieu de $[MN]$.
Correction 12
1. 💡 On introduit $A$ dans chaque vecteur (Chasles) : $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AC}=\vec{0}$, donc $4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\vec{0}$.
D'où $4\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$, soit $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
2. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)=2\overrightarrow{MI}$ car $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$.
3. La relation devient $2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}=\vec{0}$, soit $\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$.
$M$ est le milieu de $[IC]$.
4. On place $I$ milieu de $[AB]$, puis $M$ milieu de $[IC]$. (Vérification : $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ ✓.)
[!] $M$ est le milieu de la médiane $[CI]$.