Notion de vecteur
Définition
Soient $A$ et $B$ deux points distincts. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est défini par :
- sa direction : celle de la droite $(AB)$ ;
- son sens : de $A$ vers $B$ ;
- sa norme (longueur) : $AB$, notée $\|\overrightarrow{AB}\|$.
Le vecteur $\overrightarrow{AA}$ est le vecteur nul, noté $\vec{0}$.
Propriété Égalité de deux vecteurs
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff ABCD$ est un parallélogramme
Somme de deux vecteurs
Propriété Relation de Chasles
Pour tous points $A$, $B$ et $C$ du plan :
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
Propriété Règle du parallélogramme
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\iff ABCD$ est un parallélogramme
Définition Vecteurs opposés
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont opposés s’ils ont la même direction, la même norme et des sens contraires ; on écrit $\vec{u}=-\vec{v}$.
$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$
Définition Vecteur opposé
L’opposé de $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ est le vecteur $-\vec{u}=\overrightarrow{BA}$ ; on a $\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}$.
La différence : $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$.
Exemple
Simplifier $\vec{w}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AD}$.
$\vec{w}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}$
$\vec{w}=\vec{0}$
Produit d’un vecteur par un réel
Définition
Soient $\vec{u}$ un vecteur non nul et $k$ un réel non nul. Le vecteur $k\vec{u}$ a :
- la même direction que $\vec{u}$ ;
- le même sens que $\vec{u}$ si $k>0$, le sens contraire si $k<0$ ;
- pour norme $\|k\vec{u}\|=|k|\times\|\vec{u}\|$.
Par convention : $0\vec{u}=\vec{0}$ et $k\vec{0}=\vec{0}$.
Propriété
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et tous réels $a$, $b$ :
$a(\vec{u}+\vec{v})=a\vec{u}+a\vec{v}$ ; $(a+b)\vec{u}=a\vec{u}+b\vec{u}$ ; $a(b\vec{u})=(ab)\vec{u}$
$k\vec{u}=\vec{0}\iff k=0$ ou $\vec{u}=\vec{0}$
Exemple
Réduire $\vec{w}=2\left(\vec{u}-3\vec{v}\right)-3\left(\vec{u}-2\vec{v}\right)$.
$\vec{w}=2\vec{u}-6\vec{v}-3\vec{u}+6\vec{v}$
$\vec{w}=-\vec{u}$
Colinéarité de deux vecteurs
Définition
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$ (ou $\vec{u}=k\vec{v}$).
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Propriété Applications
- $A$, $B$ et $C$ sont alignés $\iff\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
- $(AB)\parallel(CD)\iff\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
Exemple
Soit $ABC$ un triangle, $M$ et $N$ tels que $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Montrer que $(MN)\parallel(BC)$.
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires : $(MN)\parallel(BC)$
Milieu d’un segment
Propriété
$I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si l’une des relations équivalentes suivantes est vérifiée :
$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}$ ; $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ ; $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$
Pour tout point $M$ du plan :
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$
Application Application
Soit $ABC$ un triangle, $I$ le milieu de $[BC]$ et $G$ le point tel que $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. Montrer que $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}$.
$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}$, donc $\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GI}=\vec{0}$
$\overrightarrow{GA}+2\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AI}\right)=\vec{0}\iff3\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AI}$
$\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}$ : $G$ est le centre de gravité du triangle
À retenir
- $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff ABCD$ parallélogramme ; Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
- $k\vec{u}$ : même direction, sens selon le signe de $k$, norme $|k|\times\|\vec{u}\|$.
- Colinéarité : $\vec{v}=k\vec{u}$ ⇒ alignement et parallélisme ; milieu : $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.