خطاطة ذهنية «Calcul vectoriel dans le plan» لتلاميذ الجذع المشترك العلمي (خيار فرنسية) بالفرنسية والعربية: Vecteurs du plan. Carte mentale Calcul vectoriel dans le plan — Tronc commun scientifique (BIOF).
À retenir : alignement et parallélisme $\Leftrightarrow$ colinéarité
Vecteur $\overrightarrow{AB}$
- Direction : la droite $(AB)$
- Sens : de $A$ vers $B$
- Norme : la longueur $AB$
$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ ; $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$
Égalité
[!] $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow ABDC$ parallélogramme
- Attention : $ABDC$, pas $ABCD$
Relation de Chasles
[!] $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
- La fin de l'un = le début de l'autre
Parallélogramme
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$
- $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$
Produit par un réel
- Même direction que $\vec{u}$
- $k>0$ : même sens ; $k<0$ : sens contraire
- Norme : $|k|\times\|\vec{u}\|$
Colinéarité
- $\vec{v}=k\vec{u}$ : colinéaires
$A,B,C$ alignés $\Leftrightarrow\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ colinéaires
- $(AB)\parallel(CD)$ : $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ colinéaires
Milieu $I$ de $[AB]$
- $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$
- $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
[!] $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$
Méthode
- Choisir une base : $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$
- Tout exprimer avec Chasles
- Comparer les coefficients
أحفظ : الاستقامية والتوازي $\Leftrightarrow$ استقامية المتجهات
المتجهة $\overrightarrow{AB}$
- الاتجاه : المستقيم $(AB)$
- المنحى : من $A$ نحو $B$
- المنظم : الطول $AB$
$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ ; $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$
التساوي
[!] $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow ABDC$ متوازي أضلاع
- انتبه : $ABDC$، وليس $ABCD$
علاقة شال
[!] $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
- نهاية الأولى = بداية الثانية
متوازي الأضلاع
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$
- $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$
الضرب في عدد حقيقي
- نفس اتجاه $\vec{u}$
- $k>0$ : نفس المنحى ؛ $k<0$ : منحى معاكس
- المنظم : $|k|\times\|\vec{u}\|$
الاستقامية
- $\vec{v}=k\vec{u}$ : مستقيميتان
$A,B,C$ مستقيمية $\Leftrightarrow\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ مستقيميتان
- $(AB)\parallel(CD)$ : $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ مستقيميتان
المنتصف $I$ لـ $[AB]$
- $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$
- $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
[!] $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$
الطريقة
- نختار أساساً : $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$
- نعبّر عن كل شيء بعلاقة شال
- نقارن المعاملات