Vecteurs et égalité
Définition Définition
Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ ($A\neq B$) est caractérisé par :
- sa direction : celle de la droite $(AB)$ ;
- son sens : de $A$ vers $B$ ;
- sa norme (longueur) : $AB$, notée $\|\overrightarrow{AB}\|$.
>> $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$ est le vecteur nul ; $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ est le vecteur opposé.
Propriété Égalité de deux vecteurs
[!] $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati)
Attention : c'est le parallélogramme $ABDC$, et non $ABCD$.
Somme de vecteurs
Théorème Relation de Chasles
[!] $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ pour tous points $A$, $B$, $C$.
>> La fin du premier vecteur est le début du second.
Propriété Règle du parallélogramme
$ABCD$ parallélogramme $\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$
>> Différence : $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}+\left(-\overrightarrow{v}\right)$ ; en particulier $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$.
Produit d'un vecteur par un réel
Définition Définition
Soit $\vec{u}\neq\vec{0}$ et $k\in\mathbb{R}^*$. Le vecteur $k\vec{u}$ a :
- la même direction que $\vec{u}$ ;
- le même sens si $k>0$, le sens contraire si $k<0$ ;
- la norme $|k|\times\|\vec{u}\|$.
Formules Règles de calcul
$k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$ ; $(k+k')\vec{u}=k\vec{u}+k'\vec{u}$ ; $k(k'\vec{u})=(kk')\vec{u}$
- $k\vec{u}=\vec{0}\Leftrightarrow k=0$ ou $\vec{u}=\vec{0}$.
Colinéarité et alignement
Définition Définition
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$ (ou $\vec{u}=\vec{0}$).
Propriété Applications
[!] $A$, $B$, $C$ alignés $\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires
$(AB)\parallel(CD)\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires
Méthode Méthode : démontrer un alignement
- On exprime $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{EG}$ avec deux vecteurs de base (par exemple $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$) grâce à Chasles.
- On compare les coefficients pour trouver $k$ tel que $\overrightarrow{EG}=k\overrightarrow{EF}$.
Milieu d'un segment
Propriété Caractérisations du milieu $I$ de $[AB]$
$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$
[!] Pour tout point $M$ : $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$
À retenir À retenir
- $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow ABDC$ parallélogramme.
- Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
- Alignement et parallélisme se démontrent par la colinéarité.
- $I$ milieu de $[AB]$ : $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$ n'est pas « $\overrightarrow{AD}$ » : Chasles exige que la fin de l'un soit le début de l'autre.
- $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ donne le parallélogramme $ABDC$, pas $ABCD$.
- $\|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\|$ n'est pas égal à $AB+BC$ en général.
Astuce Astuce
Pour simplifier, on remplace $-\overrightarrow{XY}$ par $\overrightarrow{YX}$ puis on réordonne les vecteurs pour les enchaîner.