سلسلة تمارين مصححة Arithmétique dans ℕ — الجذع المشترك العلمي (خيار فرنسية)

Correction 1

1. 💡 Méthode : on cherche les produits $a\times b=60$ en essayant $a=1,2,3,\ldots$ jusqu'à ce que $a\geq b$.

$60=1\times60=2\times30=3\times20=4\times15=5\times12=6\times10$.

Diviseurs de $60$ : $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $10$, $12$, $15$, $20$, $30$, $60$.

2. $7\times7=49$ et $7\times8=56$ : on part de $56$ et on ajoute $7$ à chaque fois.

$56$, $63$, $70$, $77$, $84$, $91$, $98$

3. a) Vrai : $111=3\times37$. b) Vrai : $0=5\times0$. c) Vrai : $n=1\times n$ pour tout $n$.

Correction 2

💡 Rappel des critères : par $2$ si le chiffre des unités est pair ; par $5$ s'il est $0$ ou $5$ ; par $3$ (ou $9$) si la somme des chiffres est divisible par $3$ (ou $9$).

1. Le chiffre des unités $x$ doit être pair : $x\in\{0;2;4;6;8\}$.

2. $x\in\{0;5\}$.

3. La somme des chiffres est $2+3+4+x=9+x$ ; elle est divisible par $3$ si $x$ l'est : $x\in\{0;3;6;9\}$.

4. $9+x$ divisible par $9$ avec $0\leq x\leq9$ : $9+x=9$ ou $18$, donc $x\in\{0;9\}$.

5. 💡 $6=2\times3$ avec $2$ et $3$ premiers entre eux : divisible par $6$ $\Leftrightarrow$ divisible par $2$ et par $3$.

[!] $x\in\{0;2;4;6;8\}\cap\{0;3;6;9\}=\{0;6\}$

Correction 3

💡 Un entier est pair s'il s'écrit $2k$, impair s'il s'écrit $2k+1$, avec $k\in\mathbb{N}$.

$A=2n+6=2(n+3)$ : $A$ est pair.

$B=4n+3=4n+2+1=2(2n+1)+1$ : $B$ est impair.

💡 Le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair (l'un des deux est pair).

$C=n^2+n=n(n+1)$ : produit de deux entiers consécutifs, donc $C$ est pair.

$(n+3)(n+4)$ est pair (entiers consécutifs) : $(n+3)(n+4)=2k$, donc $D=2k+5=2(k+2)+1$.

[!] $A$ et $C$ sont pairs ; $B$ et $D$ sont impairs.

Correction 4

1. 💡 Pour savoir si $n$ est premier, on teste la division par les nombres premiers $p$ tels que $p^2\leq n$.

$51=3\times17$ ; $91=7\times13$ ; $119=7\times17$ : ils ne sont pas premiers.

$53$ : on teste $2$, $3$, $5$, $7$ ($7^2=49\leq53$) ; aucun ne divise $53$ : premier. De même $97$ (tests $2$, $3$, $5$, $7$).

$127$ : on teste $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ ($11^2=121\leq127$) : $127=7\times18+1=11\times11+6$ ; aucun ne divise : premier.

Premiers : $53$, $97$ et $127$.

2. Un nombre pair $n\geq4$ est divisible par $1$, par $2$ et par lui-même : il a au moins trois diviseurs, il n'est pas premier.

[!] $2$ est le seul nombre premier pair.

Correction 5

💡 On divise successivement par les nombres premiers $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, … en commençant par le plus petit, jusqu'à obtenir $1$.

~ladder 84

~ladder 180

~ladder 1001

~ladder 2025

[!] $84=2^2\times3\times7$ ; $180=2^2\times3^2\times5$ ; $1001=7\times11\times13$ ; $2025=3^4\times5^2$

Correction 6

1. $a=2^2\times3\times7$ et $b=2^2\times3^2\times5$.

💡 PGCD : facteurs communs avec le plus petit exposant. PPCM : tous les facteurs avec le plus grand exposant.

Facteurs communs : $2$ ($2^2$ et $2^2$, on garde $2^2$) et $3$ ($3$ et $3^2$, on garde $3$).

$\mathrm{PGCD}(a;b)=2^2\times3=12$ et $\mathrm{PPCM}(a;b)=2^2\times3^2\times5\times7=1260$

2. $12\times1260=15120$ et $84\times180=15120$ : l'égalité est vérifiée.

3. 💡 On divise numérateur et dénominateur par le PGCD.

[!] $\dfrac{84}{180}=\dfrac{84\div12}{180\div12}=\dfrac{7}{15}$

Correction 7

💡 Un entier est un carré parfait si et seulement si tous les exposants de sa décomposition sont pairs.

1. $2025=3^4\times5^2$ : exposants $4$ et $2$ pairs. $2025=\left(3^2\times5\right)^2=45^2$.

$\sqrt{2025}=45$

2. On décompose $540$ :

~ladder 540

$540=2^2\times3^3\times5$ : les exposants de $3$ et de $5$ sont impairs ; on multiplie par $3\times5=15$.

$k=15$ : $540\times15=2^2\times3^4\times5^2=(2\times9\times5)^2=90^2$

3. 💡 $\sqrt{a^2\times b}=a\sqrt{b}$ : on sort les carrés de la racine.

[!] $\sqrt{540}=\sqrt{2^2\times3^2\times15}=2\times3\sqrt{15}=6\sqrt{15}$

Correction 8

💡 Si $n=p^{\alpha}\times q^{\beta}\times r^{\gamma}$, le nombre de diviseurs de $n$ est $(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)$ : chaque diviseur choisit un exposant de $0$ à $\alpha$ pour $p$, de $0$ à $\beta$ pour $q$, …

1. On décompose :

~ladder 360

$360=2^3\times3^2\times5$ : nombre de diviseurs $=(3+1)(2+1)(1+1)=4\times3\times2$.

$360$ a $24$ diviseurs.

2. $6=6$ ou $6=3\times2$ : soit $n=p^5$ (le plus petit est $2^5=32$), soit $n=p^2\times q$ (le plus petit est $2^2\times3=12$).

[!] Le plus petit est $12$ (ses diviseurs : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$).

Correction 9

💡 Méthode : on met en facteur la plus petite puissance, en utilisant $a^{n+k}=a^n\times a^k$.

1. $3^{n+2}-3^n=3^n\times9-3^n=3^n(9-1)=8\times3^n$ : multiple de $8$.

2. $5^{n+1}+5^n=5^n\times5+5^n=5^n(5+1)=6\times5^n$ : multiple de $6$.

3. $2^{n+3}+2^{n+1}=2^{n+1}\times2^2+2^{n+1}=2^{n+1}(4+1)=5\times2^{n+1}=5\times2\times2^n=10\times2^n$.

[!] $2^{n+3}+2^{n+1}=10\times2^n$ : multiple de $10$.

Correction 10

💡 Méthode : on écrit l'équation sous la forme produit = nombre, puis chaque facteur est un diviseur de ce nombre.

1. $x+1\geq1$ et $y-2\geq1$ sont des diviseurs de $6$ : $(x+1;y-2)\in\{(1;6);(2;3);(3;2);(6;1)\}$.

$(x;y)\in\{(0;8);(1;5);(2;4);(5;3)\}$

2. $x^2-y^2=(x-y)(x+y)=21$ avec $0\leq x-y\leq x+y$. Diviseurs de $21$ : $1$, $3$, $7$, $21$.

$x-y=1$ et $x+y=21$ : en additionnant $2x=22$, donc $x=11$ et $y=10$.

$x-y=3$ et $x+y=7$ : $2x=10$, donc $x=5$ et $y=2$.

[!] $(x;y)\in\{(11;10);(5;2)\}$

Correction 11

💡 Méthode : on fait apparaître le dénominateur au numérateur : $2n+7=2(n+1)+5$.

$\dfrac{2n+7}{n+1}=\dfrac{2(n+1)+5}{n+1}=2+\dfrac{5}{n+1}$.

C'est un entier si et seulement si $n+1$ divise $5$ : $n+1\in\{1;5\}$.

[!] $n=0$ (quotient $7$) ou $n=4$ (quotient $3$).

Correction 12

1. 💡 Le nombre de bouquets doit diviser $252$ et $180$ (bouquets identiques, toutes les fleurs utilisées) et être le plus grand possible : c'est le PGCD.

~ladder 252

~ladder 180

a) $252=2^2\times3^2\times7$ et $180=2^2\times3^2\times5$ : $\mathrm{PGCD}=2^2\times3^2=36$.

$36$ bouquets

b) $252\div36=7$ roses et $180\div36=5$ tulipes par bouquet.

2. 💡 Les instants communs sont les multiples communs de $18$ et $24$ ; le premier est le PPCM.

$18=2\times3^2$ et $24=2^3\times3$ : $\mathrm{PPCM}=2^3\times3^2=72$.

[!] Ils clignotent de nouveau ensemble $72$ secondes après minuit, soit à $0$ h $1$ min $12$ s.

Correction 13

1. $a-3b=3n+7-3(n+2)=3n+7-3n-6=1$.

2. 💡 Un diviseur commun de $a$ et $b$ divise aussi toute combinaison $a-3b$.

Si $d$ divise $a$ et $b$, alors $d$ divise $a-3b=1$, donc $d=1$ : $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

💡 Si $\mathrm{PGCD}(a;b)=1$, alors $\mathrm{PPCM}(a;b)=a\times b$ (car $\mathrm{PGCD}\times\mathrm{PPCM}=a\times b$).

$\mathrm{PGCD}(a;b)=1$ et $\mathrm{PPCM}(a;b)=(3n+7)(n+2)$

3. $n=5$ : $a=22=2\times11$ et $b=7$ ; aucun facteur commun, $\mathrm{PGCD}=1$ et $\mathrm{PPCM}=154=22\times7$ ✓.

4. 💡 On raisonne selon la parité de $n$ (deux cas).

Si $n$ est pair, $n=2k$ : $b=2k+2=2(k+1)$ est pair, donc $a\times b$ est pair.

Si $n$ est impair, $n=2k+1$ : $a=6k+3+7=6k+10=2(3k+5)$ est pair, donc $a\times b$ est pair.

[!] Dans tous les cas, $a\times b$ est pair.

Correction 14

1. 💡 Nombre de diviseurs de $p^{\alpha}q^{\beta}$ : $(\alpha+1)(\beta+1)$.

$a=2^n\times3^2$ a $(n+1)(2+1)=3(n+1)$ diviseurs.

2. $3(n+1)=15$ donne $n+1=5$, donc $n=4$.

$n=4$ et $a=2^4\times3^2=144$

3. $360=2^3\times3^2\times5$ (voir le tableau de l'exercice 8) et $144=2^4\times3^2$.

$\mathrm{PGCD}(144;360)=2^3\times3^2=72$ et $\mathrm{PPCM}(144;360)=2^4\times3^2\times5=720$

4. 💡 Carré parfait $\Leftrightarrow$ tous les exposants sont pairs. L'exposant de $3$ est $2$ (pair) ; il faut donc que $n$ soit pair.

Si $n=2k$ : $a=2^{2k}\times3^2=\left(2^k\times3\right)^2$.

[!] $a$ est un carré parfait si et seulement si $n$ est pair ; alors $\sqrt{a}=3\times2^{n/2}$.