À retenir Capacité attendue
Utiliser la parité et la décomposition en facteurs premiers pour résoudre quelques problèmes simples axés sur les nombres.
Nombres pairs et nombres impairs
Remarque Notation
- L’ensemble des entiers naturels est noté $\mathbb{N}$ : $\mathbb{N}=\{0;1;2;3;4;\ldots\}$.
- L’ensemble des entiers naturels non nuls est noté $\mathbb{N}^*$ : $\mathbb{N}^*=\{1;2;3;4;\ldots\}$.
Définition
- Un entier naturel $a$ est pair s’il existe un naturel $k$ tel que $a=2k$.
- Un entier naturel $a$ est impair s’il existe un naturel $k$ tel que $a=2k+1$ (ou $a=2k-1$).
Exemple
- Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $4n+6$ est pair car $4n+6=2(2n+3)$.
- Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $6n+9$ est impair car $6n+9=2(3n+4)+1$.
Propriété Règles de parité
| $+$ | pair | impair |
| pair | pair | impair |
| impair | impair | pair |
- Un produit est impair si et seulement si tous ses facteurs sont impairs.
- $n$ et $n^2$ ont la même parité ; $n(n+1)$ est toujours pair (deux entiers consécutifs).
Application Application
Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $n^2+3n+4$ est pair.
$n^2+3n+4=n(n+1)+2(n+2)$
$n(n+1)$ et $2(n+2)$ sont pairs, donc leur somme est paire
Remarque Teste-toi
Multiples et diviseurs
Multiples d’un naturel
Définition
Le naturel $a$ est multiple du naturel $b$ s’il existe un naturel $k$ tel que $a=b\times k$.
Propriété
- Si $a$ et $b$ sont multiples de $c$, alors $a+b$ est multiple de $c$.
- Si $a$ et $b$ sont multiples de $c$ et $a>b$, alors $a-b$ est multiple de $c$.
- Si $a$ est multiple de $b$ et $b$ multiple de $c$, alors $a$ est multiple de $c$.
Remarque
Le nombre $0$ est un multiple de tous les entiers naturels.
Diviseurs d’un naturel
Définition
Le naturel $a$ est un diviseur du naturel $b$ s’il existe un naturel $k$ tel que $b=a\times k$ ; on note $a\mid b$.
Propriété
- Si $c$ divise $a$ et $b$, alors $c$ divise $a+b$ (et $a-b$ si $a>b$).
- Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $c$, alors $a$ divise $c$.
Remarque
Le nombre $1$ est un diviseur de tous les entiers naturels.
Exemple
Les diviseurs de $18$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $6$ ; $9$ ; $18$. Les multiples de $7$ : $0$ ; $7$ ; $14$ ; $21$ ; $\ldots$
Critères de divisibilité
Propriété
| Un naturel est divisible par | si |
| $2$ | son chiffre des unités est pair |
| $3$ | la somme de ses chiffres est divisible par $3$ |
| $4$ | le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par $4$ |
| $5$ | son chiffre des unités est $0$ ou $5$ |
| $9$ | la somme de ses chiffres est divisible par $9$ |
| $10$ | son chiffre des unités est $0$ |
Exemple
$4\,716$ : $4+7+1+6=18$ est divisible par $3$ et par $9$ ; $16$ est divisible par $4$.
$4\,716$ est divisible par $2$, $3$, $4$ et $9$, mais pas par $5$ ni par $10$
Remarque Teste-toi
Division euclidienne
Définition
Soient $a\in\mathbb{N}$ et $b\in\mathbb{N}^*$. Il existe deux naturels uniques $q$ et $r$ tels que :
$a=b\times q+r$ et $0\leq r<b$
$q$ est le quotient euclidien et $r$ le reste de la division de $a$ par $b$.
Exemple
$157=12\times13+1$ avec $1<12$ : le quotient de $157$ par $12$ est $13$ et le reste est $1$.
$b$ divise $a$ si et seulement si le reste $r$ est nul
Remarque À toi de calculer
Nombres premiers
Définition
Un naturel est premier s’il a exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même.
Remarque
- $0$ et $1$ ne sont pas premiers ; $2$ est le seul nombre premier pair.
- Les nombres premiers inférieurs à $100$ :
$2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47;53;59;61;67;71;73;79;83;89;97$
Méthode Reconnaître un nombre premier
Pour examiner si un nombre $n$ est premier, il suffit de vérifier qu’il n’est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à $\sqrt{n}$.
Exemple
$127$ : $\sqrt{127}\approx11{,}3$ ; on teste $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ : aucun ne divise $127$.
$127$ est premier ; en revanche $91=7\times13$ n’est pas premier
Décomposition en produit de facteurs premiers
Propriété
Pour décomposer un naturel en facteurs premiers, on le divise successivement par les nombres premiers $2$, $3$, $5$, $7$, $\ldots$
| $n$ | diviseur premier |
| $882$ | $2$ |
| $441$ | $3$ |
| $147$ | $3$ |
| $49$ | $7$ |
| $7$ | $7$ |
| $1$ | |
$882=2\times3^2\times7^2$
Propriété Nombre de diviseurs
Si $n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times\cdots\times p_k^{a_k}$, alors $n$ a $(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$ diviseurs.
Exemple : $600=2^3\times3\times5^2$ a $(3+1)\times(1+1)\times(2+1)=24$ diviseurs.
Remarque Teste-toi
PGCD et PPCM
Plus grand commun diviseur (PGCD)
Méthode Trois méthodes
- Listes des diviseurs : on écrit les diviseurs de chaque nombre ; le plus grand diviseur commun est le PGCD.
- Décompositions : produit des facteurs communs aux deux décompositions, chacun avec le plus petit exposant.
- Algorithme d’Euclide : on divise $a$ par $b$, puis $b$ par le reste, puis ce reste par le nouveau reste, $\ldots$ Le dernier reste non nul est le PGCD.
Exemple
Décompositions : $24=2^3\times3$ et $36=2^2\times3^2$, donc $\operatorname{PGCD}(24;36)=2^2\times3=12$.
Euclide : $36=24\times1+12$ ; $24=12\times2+0$ : le dernier reste non nul est $12$.
Remarque
Les diviseurs communs à $a$ et $b$ sont les diviseurs de leur PGCD ; le PGCD est aussi noté $a\wedge b$.
Plus petit commun multiple (PPCM)
Méthode Deux méthodes
- Listes des multiples : on écrit le début des listes des multiples ; le plus petit multiple commun non nul est le PPCM.
- Décompositions : produit de tous les facteurs figurant dans l’une ou l’autre décomposition, chacun avec le plus grand exposant.
Exemple
$24=2^3\times3$ et $36=2^2\times3^2$ : $\operatorname{PPCM}(24;36)=2^3\times3^2=72$.
Remarque
- Les multiples communs à $a$ et $b$ sont les multiples de leur PPCM, noté aussi $a\vee b$.
- On a toujours $(a\wedge b)\times(a\vee b)=a\times b$ ; ici $12\times72=864=24\times36$.
Application Application
Deux phares s’allument ensemble à minuit ; l’un s’allume toutes les $24$ secondes, l’autre toutes les $36$ secondes. Quand s’allumeront-ils de nouveau ensemble ?
Après $\operatorname{PPCM}(24;36)=72$ secondes