خطاطة ذهنية «Arithmétique dans ℕ» لتلاميذ الجذع المشترك العلمي (خيار فرنسية) بالفرنسية والعربية: ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}. Carte mentale Arithmétique dans ℕ — Tronc commun scientifique (BIOF).
À retenir : $\mathrm{PGCD}(a;b)\times\mathrm{PPCM}(a;b)=a\times b$
Divisibilité
- $b\mid a\Leftrightarrow a=k\times b$, $k\in\mathbb{N}$
- $1$ divise tout entier
- $d\mid a$ et $d\mid b\Rightarrow d\mid a+b$
$D(12)=\{1;2;3;4;6;12\}$
Parité
- $n$ pair : $n=2k$
- $n$ impair : $n=2k+1$
[!] $n(n+1)$ est toujours pair
Critères de divisibilité
| 2 | unités 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 |
| 3 et 9 | somme des chiffres |
| 4 | deux derniers chiffres |
| 5 | unités 0 ou 5 |
Nombres premiers
- Exactement deux diviseurs : $1$ et $p$
- $2$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ ; $11$ ; $13$ ; …
- Tester les $p$ tels que $p^2\leq n$
[!] $0$ et $1$ ne sont pas premiers
Décomposition
~ladder 84
$84=2^2\times3\times7$
Diviseurs et carrés
- $n=p^{\alpha}q^{\beta}$ : $(\alpha+1)(\beta+1)$ diviseurs
- Carré parfait : exposants pairs
$2025=3^4\times5^2=45^2$
PGCD
- Facteurs communs
- Plus petit exposant
- $\mathrm{PGCD}=1$ : premiers entre eux
PPCM
- Tous les facteurs
- Plus grand exposant
$\mathrm{PPCM}(18;24)=72$
أحفظ : $\mathrm{PGCD}(a;b)\times\mathrm{PPCM}(a;b)=a\times b$
القسمة
- $b\mid a\Leftrightarrow a=k\times b$، $k\in\mathbb{N}$
- $1$ يقسم كل عدد صحيح
- $d\mid a$ و $d\mid b\Rightarrow d\mid a+b$
$D(12)=\{1;2;3;4;6;12\}$
الزوجية
- $n$ زوجي : $n=2k$
- $n$ فردي : $n=2k+1$
[!] $n(n+1)$ زوجي دائماً
معايير القسمة
| 2 | الوحدات 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 |
| 3 و 9 | مجموع الأرقام |
| 4 | الرقمان الأخيران |
| 5 | الوحدات 0 أو 5 |
الأعداد الأولية
- قاسمان بالضبط : $1$ و $p$
- $2$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ ; $11$ ; $13$ ; …
- نختبر $p$ بحيث $p^2\leq n$
[!] $0$ و $1$ ليسا أوليين
التفكيك
~ladder 84
$84=2^2\times3\times7$
القواسم والمربعات
- $n=p^{\alpha}q^{\beta}$ : $(\alpha+1)(\beta+1)$ قاسماً
- مربع كامل : الأسس زوجية
$2025=3^4\times5^2=45^2$
PGCD
- العوامل المشتركة
- أصغر أس
- $\mathrm{PGCD}=1$ : أوليان فيما بينهما
PPCM
$\mathrm{PPCM}(18;24)=72$