Multiples et diviseurs
Définition Définition
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. On dit que **$b$ divise $a$** s'il existe $k\in\mathbb{N}$ tel que $a=k\times b$.
On note $b\mid a$ : $b$ est un diviseur de $a$ et $a$ est un multiple de $b$.
>> Exemple : $60=4\times15$, donc $4\mid60$ et $15\mid60$.
Propriété Propriétés
- $1$ divise tout entier naturel ; tout entier naturel divise $0$.
- Si $a\mid b$ et $b\mid c$, alors $a\mid c$.
- Si $d\mid a$ et $d\mid b$, alors $d\mid(a+b)$ et $d\mid(a-b)$ (avec $a\geq b$).
Parité
Formules Formules
$n$ pair $\Leftrightarrow n=2k$ ; $n$ impair $\Leftrightarrow n=2k+1$ ($k\in\mathbb{N}$)
- Le produit de deux entiers consécutifs $n(n+1)$ est toujours pair.
- $n$ et $n^2$ ont la même parité.
| + | pair | impair |
| pair | pair | impair |
| impair | impair | pair |
| × | pair | impair |
| pair | pair | pair |
| impair | pair | impair |
Critères de divisibilité
| Divisible par | si |
| 2 | le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 |
| 3 | la somme des chiffres est divisible par 3 |
| 4 | le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4 |
| 5 | le chiffre des unités est 0 ou 5 |
| 9 | la somme des chiffres est divisible par 9 |
| 10 | le chiffre des unités est 0 |
Nombres premiers
Définition Définition
Un entier naturel $p$ est premier s'il admet exactement deux diviseurs : $1$ et $p$.
>> Les premiers nombres premiers : $2$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ ; $11$ ; $13$ ; $17$ ; $19$ ; $23$ ; $29$ ; $31$ ; $37$ …
Méthode Méthode : reconnaître un nombre premier
On teste la division de $n$ par les nombres premiers $p$ tels que $p^2\leq n$. Si aucun ne divise $n$, alors $n$ est premier.
>> Exemple : $127$ ; on teste $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ ($11^2=121\leq127$) : aucun ne divise $127$, il est premier.
Décomposition en produit de facteurs premiers
Théorème Théorème
Tout entier naturel $n\geq2$ s'écrit de façon unique comme produit de nombres premiers.
Exemple Méthode : on divise par $2$, puis $3$, puis $5$, … jusqu'à obtenir $1$
~ladder 360
Formules Conséquences
Si $n=p^{\alpha}\times q^{\beta}\times r^{\gamma}$, le nombre de diviseurs de $n$ est $(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)$.
- $n$ est un carré parfait $\Leftrightarrow$ tous les exposants de sa décomposition sont pairs.
>> Exemple : $360=2^3\times3^2\times5$ a $(3+1)(2+1)(1+1)=24$ diviseurs.
PGCD et PPCM
Définition Définitions
- Le PGCD de $a$ et $b$ est le plus grand de leurs diviseurs communs.
- Le PPCM de $a$ et $b$ est le plus petit de leurs multiples communs non nuls.
Méthode Méthode avec les décompositions
- PGCD : produit des facteurs communs, chacun avec le plus petit exposant.
- PPCM : produit de tous les facteurs, chacun avec le plus grand exposant.
>> $84=2^2\times3\times7$ et $180=2^2\times3^2\times5$ : $\mathrm{PGCD}=2^2\times3=12$ et $\mathrm{PPCM}=2^2\times3^2\times5\times7=1260$.
Propriété Propriétés
[!] $\mathrm{PGCD}(a;b)\times\mathrm{PPCM}(a;b)=a\times b$
- $a$ et $b$ sont premiers entre eux si $\mathrm{PGCD}(a;b)=1$.
- Pour rendre $\dfrac{a}{b}$ irréductible, on divise $a$ et $b$ par leur PGCD.
À retenir À retenir
- $b\mid a\Leftrightarrow a=k\times b$ avec $k\in\mathbb{N}$.
- $n(n+1)$ est toujours pair.
- Premier : exactement deux diviseurs. Tester jusqu'à $p^2\leq n$.
- PGCD : communs, plus petit exposant. PPCM : tous, plus grand exposant.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- $1$ n'est pas un nombre premier ($1$ n'a qu'un seul diviseur).
- $9\mid n\Rightarrow3\mid n$, mais $3\mid n$ ne donne pas $9\mid n$.
- Ne pas confondre « $b$ divise $a$ » ($b\mid a$) et « $a$ divisé par $b$ » ($\dfrac{a}{b}$).
Astuce Astuce
Pour montrer qu'une expression est un multiple de $m$, on factorise pour faire apparaître $m$ : $5^{n+2}-5^n=5^n(25-1)=24\times5^n$.