Niveau 1 — Je m'entraîne : applications directes du cours
Exercice 1 ★
Définition (§ I). Montrer que $F(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$ est une primitive de $f(x)=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$ sur $]-1;+\infty[$.
Exercice 2 ★
Ensemble des primitives (§ II). Soit $f(x)=3x^2-4x+1$ sur $\mathbb{R}$.
1. Déterminer toutes les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$.
2. Déterminer la primitive $F$ de $f$ qui vérifie $F(1)=2$.
Exercice 3 ★
Primitives usuelles (§ IV). Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $I$ :
a) $f(x)=x^4-\dfrac{1}{x^2}$, $I=]0;+\infty[$ ; b) $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$, $I=]0;+\infty[$ ;
c) $f(x)=\cos x-2\sin x$, $I=\mathbb{R}$ ; d) $f(x)=1+\tan^2x$, $I=\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$.
Exercice 4 ★
Opérations sur les primitives (§ V). Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ :
a) $f(x)=2x(x^2+1)^3$ ; b) $f(x)=\dfrac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ ; c) $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}$ ; d) $f(x)=\cos x\sin^2x$ ; e) $f(x)=\cos(3x)$.
Exercice 5 ★
Application (§ VI) : mouvement vertical. Un objet est lancé verticalement vers le haut ; à l’instant $t$ (en s), son accélération est $a(t)=-10$ (en m/s²). On sait que $v'=a$, $x'=v$, $v(0)=20$ et $x(0)=0$.
1. Déterminer la vitesse $v(t)$.
2. Déterminer la position $x(t)$.
3. À quel instant l’objet atteint-il sa hauteur maximale ? Quelle est cette hauteur ?
Niveau 2 — J'approfondis : je raisonne et je justifie
Exercice 6 ★★
Deux primitives. Soit $f(x)=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$ sur $I=]-1;+\infty[$.
1. Vérifier que $f(x)=1-\dfrac{1}{(x+1)^2}$.
2. En déduire une primitive $G$ de $f$ sur $I$.
3. On sait que $F(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$ est aussi une primitive de $f$ sur $I$. Calculer $G(x)-F(x)$ et commenter.
Exercice 7 ★★
Identification. Soit $f(x)=\dfrac{3x+4}{2\sqrt{x+1}}$ sur $I=]-1;+\infty[$.
Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $F(x)=(ax+b)\sqrt{x+1}$ soit une primitive de $f$ sur $I$.
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 8 ★★★
Synthèse. Soit $f(x)=\dfrac{x^3+3x^2+3x+2}{(x+1)^2}$ sur $I=]-1;+\infty[$.
1. Montrer que $f(x)=x+1+\dfrac{1}{(x+1)^2}$.
2. Déterminer les primitives de $f$ sur $I$, puis la primitive $F$ telle que $F(0)=0$.
3. Montrer que $\cos^2x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$ et en déduire une primitive de $g(x)=\cos^2x$ sur $\mathbb{R}$.
4. Déterminer une primitive de $h(x)=\sin x\cos x$ sur $\mathbb{R}$ de deux façons, puis comparer les résultats.
Corrections
Correction 1
💡 $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'=f$.
Dérivabilité : $F$ est dérivable sur $]-1;+\infty[$ car c’est une fonction rationnelle définie sur cet intervalle. Pour tout $x\in]-1;+\infty[$ :
$F'(x)=\dfrac{2x(x+1)-x^2\times1}{(x+1)^2}$
$=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$
$=f(x)$
$F$ est une primitive de $f$ sur $]-1;+\infty[$
Correction 2
💡 Si $F_0$ est une primitive de $f$ sur $I$, les primitives de $f$ sont les fonctions $F_0+c$ ($c\in\mathbb{R}$) ; une condition $F(x_0)=y_0$ fixe une seule primitive.
1. Une primitive de $x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ; par linéarité :
$F(x)=x^3-2x^2+x+c$, avec $c\in\mathbb{R}$
2. $F(1)=2\iff1-2+1+c=2$
$\iff c=2$
$F(x)=x^3-2x^2+x+2$
Correction 3
💡 On utilise le tableau des primitives usuelles : $x^n\mapsto\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ($n\neq-1$), $\dfrac{1}{x^2}\mapsto-\dfrac{1}{x}$, $\dfrac{1}{\sqrt{x}}\mapsto2\sqrt{x}$, $\cos x\mapsto\sin x$, $\sin x\mapsto-\cos x$, $1+\tan^2x\mapsto\tan x$.
a) $x^4\mapsto\dfrac{x^5}{5}$ et $-\dfrac{1}{x^2}\mapsto\dfrac{1}{x}$ :
$F(x)=\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{1}{x}$
b) $(2\sqrt{x})'=\dfrac{2}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ :
$F(x)=2\sqrt{x}$
c) $\cos x\mapsto\sin x$ et $-2\sin x\mapsto2\cos x$ :
$F(x)=\sin x+2\cos x$
d) $(\tan x)'=1+\tan^2x$ :
$F(x)=\tan x$
Correction 4
💡 On reconnaît une forme : $u'u^n\mapsto\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac{u'}{u^2}\mapsto-\dfrac{1}{u}$ ; $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\mapsto2\sqrt{u}$ ; $\cos(ax+b)\mapsto\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)$.
a) $u=x^2+1$, $u'=2x$ : $f=u'u^3$ :
$F(x)=\dfrac{(x^2+1)^4}{4}$
b) $u=x^2+x+1>0$ ($\Delta=-3<0$), $u'=2x+1$ : $f=\dfrac{u'}{u^2}$ :
$F(x)=-\dfrac{1}{x^2+x+1}$
c) $u=x^2+3>0$, $u'=2x$ : $f=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ :
$F(x)=\dfrac{1}{2}\times2\sqrt{x^2+3}=\sqrt{x^2+3}$
d) $u=\sin x$, $u'=\cos x$ : $f=u'u^2$ :
$F(x)=\dfrac{\sin^3x}{3}$
e) $a=3$ :
$F(x)=\dfrac{1}{3}\sin(3x)$
Correction 5
💡 $v$ est la primitive de $a$ qui vérifie $v(0)=20$ ; $x$ est la primitive de $v$ qui vérifie $x(0)=0$.
1. $v(t)=-10t+c$ et $v(0)=20$ donne $c=20$ :
$v(t)=-10t+20$
2. $x(t)=-5t^2+20t+k$ et $x(0)=0$ donne $k=0$ :
$x(t)=-5t^2+20t$
3. La hauteur est maximale quand $x'(t)=v(t)=0$ ($v$ passe du positif au négatif) :
$v(t)=0\iff-10t+20=0$
$\iff t=2$
hauteur maximale à $t=2$ s : $x(2)=-20+40=20$ m
Correction 6
1. $1-\dfrac{1}{(x+1)^2}=\dfrac{(x+1)^2-1}{(x+1)^2}$
$=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$
$=f(x)$
2. $1\mapsto x$ et $-\dfrac{1}{(x+1)^2}\mapsto\dfrac{1}{x+1}$ (forme $\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u=x+1$) :
$G(x)=x+\dfrac{1}{x+1}$
3. $G(x)-F(x)=\dfrac{x(x+1)+1-x^2}{x+1}$
$=\dfrac{x+1}{x+1}$
$=1$
$G-F$ est constante : deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante
Correction 7
💡 On dérive $F$, puis on identifie avec $f$ (mêmes coefficients).
Dérivabilité : $F$ est dérivable sur $I$ car c’est un produit de fonctions dérivables ($x+1>0$). Pour tout $x\inI$ :
$F'(x)=a\sqrt{x+1}+\dfrac{ax+b}{2\sqrt{x+1}}$
$=\dfrac{2a(x+1)+ax+b}{2\sqrt{x+1}}$
$=\dfrac{3ax+2a+b}{2\sqrt{x+1}}$
$F'=f$ pour tout $x\in I$ équivaut à $3ax+2a+b=3x+4$ : $3a=3$ et $2a+b=4$, donc $a=1$ et $b=2$.
$F(x)=(x+2)\sqrt{x+1}$
Correction 8
1. $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$, donc :
$f(x)=\dfrac{(x+1)^3+1}{(x+1)^2}$
$=x+1+\dfrac{1}{(x+1)^2}$
2. $x+1\mapsto\dfrac{(x+1)^2}{2}$ (forme $u'u$) et $\dfrac{1}{(x+1)^2}\mapsto-\dfrac{1}{x+1}$ :
$F(x)=\dfrac{(x+1)^2}{2}-\dfrac{1}{x+1}+c$, avec $c\in\mathbb{R}$.
$F(0)=0\iff\dfrac{1}{2}-1+c=0$
$\iff c=\dfrac{1}{2}$
$F(x)=\dfrac{(x+1)^2}{2}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2}$
3. Duplication : $\cos(2x)=2\cos^2x-1$, donc $\cos^2x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$ (linéarisation).
$\dfrac{1}{2}\mapsto\dfrac{x}{2}$ et $\dfrac{\cos(2x)}{2}\mapsto\dfrac{\sin(2x)}{4}$ :
$G(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin(2x)}{4}$
4. Première façon : $h=u'u$ avec $u=\sin x$ : $H_1(x)=\dfrac{\sin^2x}{2}$.
Deuxième façon : $h(x)=\dfrac{\sin(2x)}{2}$ : $H_2(x)=-\dfrac{\cos(2x)}{4}$.
$H_1(x)-H_2(x)=\dfrac{2\sin^2x+\cos(2x)}{4}$
$=\dfrac{2\sin^2x+1-2\sin^2x}{4}$
$=\dfrac{1}{4}$
les deux primitives diffèrent de la constante $\dfrac{1}{4}$ : les deux résultats sont justes