Définition et ensemble des primitives
Définition Primitive
- $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et :
$(\forall x\in I)\ F'(x)=f(x)$
- Pour vérifier qu'une fonction est une primitive, on la dérive.
Propriété Toutes les primitives
- Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, les primitives de $f$ sont les fonctions $x\mapsto F(x)+c$ ($c\in\mathbb{R}$).
Il existe une unique primitive $G$ de $f$ telle que $G(x_0)=y_0$
Théorème Existence
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$
Primitives usuelles
Formules Tableau ($c\in\mathbb{R}$)
| $f(x)$ | $F(x)$ | Intervalle |
| $a$ | $ax+c$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n\in\mathbb{N}$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{x^2}$ | $-\dfrac{1}{x}+c$ | $]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}+c$ | $]0;+\infty[$ |
| $x^r$ ($r\in\mathbb{Q}^*-\{-1\}$) | $\dfrac{x^{r+1}}{r+1}+c$ | $]0;+\infty[$ |
| $\cos x$ | $\sin x+c$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sin x$ | $-\cos x+c$ | $\mathbb{R}$ |
| $1+\tan^2x$ | $\tan x+c$ | $]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}[$ |
Formes à reconnaître
Formules $u$ dérivable sur $I$
| Fonction | Primitive |
| $u'u^n$ ($n\in\mathbb{N}$) | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ |
| $\dfrac{u'}{u^2}$ ($u\neq0$) | $-\dfrac{1}{u}$ |
| $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ ($u>0$) | $2\sqrt{u}$ |
| $u'u^r$ ($u>0$, $r\neq-1$) | $\dfrac{u^{r+1}}{r+1}$ |
| $u'\times(v'\circ u)$ | $v\circ u$ |
- Une primitive de $f+g$ est $F+G$ ; une primitive de $kf$ est $kF$.
Méthode Chercher une primitive
1. On reconnaît une forme du tableau.
2. On fait apparaître $u'$ en ajustant la constante.
- Exemple : $x(x^2+1)^3=\dfrac{1}{2}\times2x(x^2+1)^3$ ⇒ $F(x)=\dfrac{(x^2+1)^4}{8}$.
Applications
Méthode Linéarisation et décomposition
- Linéariser : $\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$ ⇒ $F(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}\sin2x$.
- Décomposer une fraction : $\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}=1-\dfrac{1}{(x+1)^2}$ ⇒ $F(x)=x+\dfrac{1}{x+1}$.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Oublier la constante $c$, ou la condition initiale.
- Ne pas ajuster le coefficient pour faire apparaître $u'$.
- Écrire une primitive de $u'u^r$ avec $r=-1$ : le cas $\dfrac{u'}{u}$ relève du logarithme.
À retenir À retenir
- On vérifie toujours une primitive en la dérivant.
- Continue sur un intervalle ⇒ admet des primitives.
Astuce Conseil
- Avant de chercher : écrire $f$ sous une des formes $u'u^n$, $\dfrac{u'}{u^2}$, $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$.