Définition
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que :
$(\forall x\in I)\ F'(x)=f(x)$
Exemple
$F(x)=x^3-2x$ est une primitive de $f(x)=3x^2-2$ sur $\mathbb{R}$, car $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $F'(x)=3x^2-2=f(x)$.
Pour vérifier qu’une fonction est une primitive, on la dérive
Ensemble des primitives
Propriété
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions $x\mapsto F(x)+c$, où $c\in\mathbb{R}$.
Leurs courbes se déduisent les unes des autres par des translations verticales.
Propriété Primitive prenant une valeur donnée
Pour $x_0\in I$ et $y_0\in\mathbb{R}$, il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0)=y_0$.
Exemple
Déterminer la primitive $F$ de $f(x)=2x+1$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(1)=5$.
$F(x)=x^2+x+c$ et $F(1)=2+c=5$, donc $c=3$.
$F(x)=x^2+x+3$
Existence des primitives
Théorème
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$
Primitives des fonctions usuelles
Formules
| $f(x)$ | Une primitive $F(x)$ | Intervalle |
| $a$ (constante) | $ax$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n\in\mathbb{N}$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{x^2}$ | $-\dfrac{1}{x}$ | $]0;+\infty[$ ou $]-\infty;0[$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ | $]0;+\infty[$ |
| $x^r$ ($r\in\mathbb{Q}-\{-1\}$) | $\dfrac{x^{r+1}}{r+1}$ | $]0;+\infty[$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ | $\mathbb{R}$ |
| $1+\tan^2x$ | $\tan x$ | $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ |
| $\cos(ax+b)$ ($a\neq0$) | $\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sin(ax+b)$ ($a\neq0$) | $-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)$ | $\mathbb{R}$ |
Opérations sur les primitives
Propriété
Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$ sur $I$, et $\alpha\in\mathbb{R}$ : $F+G$ est une primitive de $f+g$ et $\alpha F$ une primitive de $\alpha f$.
Formules Formes à reconnaître ($u$ dérivable sur $I$)
| Fonction | Une primitive | Condition |
| $u'u^n$ ($n\in\mathbb{N}$) | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ | — |
| $\dfrac{u'}{u^2}$ | $-\dfrac{1}{u}$ | $u\neq0$ sur $I$ |
| $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ | $2\sqrt{u}$ | $u>0$ sur $I$ |
| $u'u^r$ ($r\in\mathbb{Q}-\{-1\}$) | $\dfrac{u^{r+1}}{r+1}$ | $u>0$ sur $I$ |
| $u'\times v'\circ u$ | $v\circ u$ | — |
Méthode Chercher une primitive
1. On reconnaît une forme du tableau (souvent à une constante multiplicative près) ;
2. on ajuste la constante (on multiplie et on divise par le même nombre) ;
3. on vérifie en dérivant.
Exemple
$f(x)=x(x^2+1)^3$ : $u=x^2+1$, $u'=2x$, donc $f=\dfrac{1}{2}u'u^3$.
$F(x)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{(x^2+1)^4}{4}=\dfrac{(x^2+1)^4}{8}$
$g(x)=\dfrac{2x}{(x^2+3)^2}$ : forme $\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u=x^2+3>0$.
$G(x)=-\dfrac{1}{x^2+3}$
$h(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ : $h=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ avec $u=x^2+1>0$.
$H(x)=\sqrt{x^2+1}$
$k(x)=\sin x\cos^2x$ : $u=\cos x$, $u'=-\sin x$, donc $k=-u'u^2$.
$K(x)=-\dfrac{\cos^3x}{3}$
Applications
Application Linéarisation
Déterminer une primitive de $f(x)=\cos^2x$ sur $\mathbb{R}$.
Réponse
On linéarise : $\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos2x$.
$F(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}\sin2x$
Application Décomposition
Soit $f(x)=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$ sur $]-1;+\infty[$. Vérifier que $f(x)=1-\dfrac{1}{(x+1)^2}$ puis déterminer la primitive $F$ de $f$ telle que $F(0)=0$.
Réponse
$1-\dfrac{1}{(x+1)^2}=\dfrac{(x+1)^2-1}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$ ✔
$F(x)=x+\dfrac{1}{x+1}+c$ et $F(0)=1+c=0$, donc $c=-1$.
$F(x)=x+\dfrac{1}{x+1}-1$
Erreur fréquente
- Oublier la constante $c$ : une fonction admet une infinité de primitives.
- Écrire « une primitive de $u^n$ est $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ » sans le facteur $u'$.
À retenir
- $F$ primitive de $f$ $\iff$ $F'=f$ ; les primitives sont $F+c$ ; une seule vérifie $F(x_0)=y_0$.
- Reconnaître $u'u^n$, $\dfrac{u'}{u^2}$, $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ ; vérifier toujours en dérivant.