Niveau 1 — Je m'entraîne : applications directes du cours
Exercice 1 ★
Forme algébrique (§ I, III). On donne $z_1=2+3i$ et $z_2=1-i$.
Écrire sous forme algébrique : $z_1+z_2$, $z_1z_2$, $\overline{z_1}$, $\dfrac{z_1}{z_2}$ et $z_1^2$.
Exercice 2 ★
Représentation géométrique (§ II). Dans le plan complexe, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes $z_A=1+i$, $z_B=3+2i$ et $z_C=-1$.
1. Déterminer l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et celle du milieu $I$ de $[BC]$.
2. Calculer $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ ; en déduire que $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
Exercice 3 ★
Module (§ IV). Calculer le module de :
a) $1+i\sqrt{3}$ ; b) $3-4i$ ; c) $\dfrac{1+i}{1-i}$ ; d) $(1+i)^{10}$.
Exercice 4 ★
Argument — forme trigonométrique (§ V). Soit $z=1+i\sqrt{3}$ et $w=-1+i$.
1. Écrire $z$ et $w$ sous forme trigonométrique.
2. En déduire la forme trigonométrique de $zw$ et de $\dfrac{z}{w}$.
Exercice 5 ★
Notation exponentielle — Moivre et Euler (§ VI).
1. Écrire $1+i$ sous forme exponentielle, puis calculer $(1+i)^8$.
2. En développant $(\cos\theta+i\sin\theta)^2$ de deux façons, retrouver $\cos(2\theta)$ et $\sin(2\theta)$.
3. Linéariser $\cos^2\theta$ à l’aide des formules d’Euler.
Exercice 6 ★
Équations du second degré (§ VIII). Résoudre dans $\mathbb{C}$ :
a) $z^2-2z+5=0$ ; b) $z^2+z+1=0$ ; c) $z^2=-9$.
Exercice 7 ★
Écriture complexe des transformations (§ IX).
1. Donner l’écriture complexe de la translation de vecteur $\vec{u}(2;-1)$ et de l’homothétie de centre $\Omega(1)$ et de rapport $3$.
2. Soit $R$ la rotation de centre $\Omega(1)$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$. Déterminer l’image du point $A(1+i)$ par $R$.
3. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation d’écriture complexe $z'=iz+1+i$.
Niveau 2 — J'approfondis : je raisonne et je justifie
Exercice 8 ★★
Nature d’un triangle (§ VII). Soit $A$ et $B$ d’affixes $z_A=2$ et $z_B=1+i\sqrt{3}$.
1. Écrire $\dfrac{z_B}{z_A}$ sous forme exponentielle.
2. En déduire la nature du triangle $OAB$.
3. Déterminer l’affixe du point $C$ tel que $OACB$ soit un losange.
Exercice 9 ★★
Ensembles de points (§ VII). Soit $A(1)$ et $B(-i)$. Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que :
a) $|z-1|=|z+i|$ ; b) $|z-2i|=3$ ; c) $\dfrac{z-1}{z+i}\in\mathbb{R}$ (avec $z\neq-i$).
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 10 ★★★
Synthèse. 1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$.
2. On pose $a=\sqrt{3}+i$ et $b=\sqrt{3}-i$. Écrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle.
3. Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$, $A$ le point d’affixe $a$ et $C=R(A)$. Calculer l’affixe $c$ de $C$.
4. Montrer que le triangle $OAC$ est rectangle et isocèle en $O$.
5. Calculer $a^{12}$.
Corrections
Correction 1
💡 On calcule comme dans $\mathbb{R}$ avec $i^2=-1$ ; pour un quotient, on multiplie par le conjugué du dénominateur.
$z_1+z_2=3+2i$
$z_1z_2=(2+3i)(1-i)$
$=2-2i+3i-3i^2$
$=5+i$
$\overline{z_1}=2-3i$
$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{(2+3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$
$=\dfrac{2+2i+3i+3i^2}{1+1}$
$=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}i$
$z_1^2=4+12i+9i^2$
$=-5+12i$
$z_1z_2=5+i$ ; $\dfrac{z_1}{z_2}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}i$ ; $z_1^2=-5+12i$
Correction 2
1. $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$
$=2+i$
$z_I=\dfrac{z_B+z_C}{2}$
$=\dfrac{2+2i}{2}=1+i$
Donc $I=A$ : $A$ est le milieu de $[BC]$.
2. 💡 $A$, $B$ et $C$ sont alignés $\iff\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}$.
$\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{-2-i}{2+i}$
$=-1\in\mathbb{R}$
$A$, $B$ et $C$ sont alignés (et $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}$)
Correction 3
💡 $|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$ ; $|zz'|=|z||z'|$ ; $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$ ; $\left|z^n\right|=|z|^n$.
a) $\left|1+i\sqrt{3}\right|=\sqrt{1+3}$
$=2$
b) $|3-4i|=\sqrt{9+16}$
$=5$
c) $\left|\dfrac{1+i}{1-i}\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$=1$
d) $\left|(1+i)^{10}\right|=\left(\sqrt{2}\right)^{10}$
$=2^5=32$
Correction 4
💡 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ avec $r=|z|$, $\cos\theta=\dfrac{a}{r}$ et $\sin\theta=\dfrac{b}{r}$.
1. $z=2\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$
$w=\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)$
2. $|zw|=|z||w|=2\sqrt{2}$ et $\arg(zw)\equiv\arg z+\arg w\ [2\pi]$ : $\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{13\pi}{12}$.
$zw=2\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{13\pi}{12}+i\sin\dfrac{13\pi}{12}\right)$
$\left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ et $\arg\dfrac{z}{w}\equiv\arg z-\arg w\ [2\pi]$ : $\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{5\pi}{12}$.
$\dfrac{z}{w}=\sqrt{2}\left(\cos\left(-\dfrac{5\pi}{12}\right)+i\sin\left(-\dfrac{5\pi}{12}\right)\right)$
Correction 5
1. $1+i=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$
$(1+i)^8=\left(\sqrt{2}\right)^8e^{i\frac{8\pi}{4}}$
$=16e^{2i\pi}$
$=16$
2. Moivre : $(\cos\theta+i\sin\theta)^2=\cos(2\theta)+i\sin(2\theta)$.
Développement : $(\cos\theta+i\sin\theta)^2=\cos^2\theta-\sin^2\theta+2i\sin\theta\cos\theta$.
On identifie parties réelles et parties imaginaires :
$\cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta$ et $\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta$
3. Euler : $\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$, donc :
$\cos^2\theta=\dfrac{e^{2i\theta}+2+e^{-2i\theta}}{4}$
$=\dfrac{2\cos(2\theta)+2}{4}$
$\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}$
Correction 6
💡 $az^2+bz+c=0$ ($a$, $b$, $c$ réels) avec $\Delta<0$ : deux solutions conjuguées $z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
a) $\Delta=4-20=-16=(4i)^2$ : $z=\dfrac{2\pm4i}{2}$ :
$S=\{1-2i;1+2i\}$
b) $\Delta=1-4=-3$ : $z=\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$ :
$S=\left\{-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i;-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right\}$
c) $z^2=(3i)^2\iff z=3i$ ou $z=-3i$ :
$S=\{-3i;3i\}$
Correction 7
💡 Translation : $z'=z+b$ ; homothétie : $z'-\omega=k(z-\omega)$ ; rotation : $z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$.
1. Translation : $z'=z+2-i$ ; homothétie : $z'-1=3(z-1)$, soit $z'=3z-2$.
2. $R$ : $z'-1=e^{i\frac{\pi}{2}}(z-1)=i(z-1)$, donc :
$z_{A'}=1+i\left(z_A-1\right)$
$=1+i\times i$
$=0$
$A'=R(A)=O$
3. $z'=e^{i\frac{\pi}{2}}z+1+i$ : c’est une rotation d’angle $\dfrac{\pi}{2}$ ; son centre $\omega$ vérifie $\omega=i\omega+1+i$ :
$\omega(1-i)=1+i\iff\omega=\dfrac{1+i}{1-i}$
$=\dfrac{(1+i)^2}{2}$
$=i$
rotation de centre $\Omega(i)$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$
Correction 8
1. $\dfrac{z_B}{z_A}=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}$
$=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$=e^{i\frac{\pi}{3}}$
2. 💡 $\left|\dfrac{z_B}{z_A}\right|=\dfrac{OB}{OA}$ et $\arg\dfrac{z_B}{z_A}\equiv\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)\ [2\pi]$.
$\dfrac{OB}{OA}=1$ et $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)\equiv\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]$ : triangle isocèle en $O$ avec un angle de $\dfrac{\pi}{3}$ :
$OAB$ est équilatéral
3. $OACB$ est un parallélogramme $\iff\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ ; comme $OA=OB$, c’est un losange :
$z_C=z_A+z_B=3+i\sqrt{3}$
Correction 9
💡 $|z-z_A|=AM$ ; $\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\in\mathbb{R}$ signifie que $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{BM}$ sont colinéaires.
a) $|z-1|=|z-(-i)|\iff AM=BM$ :
la médiatrice du segment $[AB]$
(Avec $z=x+iy$ : $(x-1)^2+y^2=x^2+(y+1)^2\iff y=-x$ : c’est la droite $y=-x$.)
b) Avec $\Omega(2i)$ : $|z-2i|=3\iff\Omega M=3$ :
le cercle de centre $\Omega(2i)$ et de rayon $3$
c) $\dfrac{z-1}{z+i}=\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\in\mathbb{R}$ : $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{BM}$ colinéaires, avec $M\neq B$ :
la droite $(AB)$ privée du point $B$
Correction 10
1. $\Delta=12-16=-4=(2i)^2$ :
$z=\dfrac{2\sqrt{3}\pm2i}{2}$
$S=\{\sqrt{3}-i;\sqrt{3}+i\}$
2. $a=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)$
$=2e^{i\frac{\pi}{6}}$
$b=\overline{a}$ :
$a=2e^{i\frac{\pi}{6}}$ et $b=2e^{-i\frac{\pi}{6}}$
3. $c=e^{i\frac{\pi}{2}}a$
$=ia$
$=i\sqrt{3}+i^2$
$=-1+i\sqrt{3}$
$c=-1+i\sqrt{3}=2e^{i\frac{2\pi}{3}}$
4. $\dfrac{c}{a}=i=e^{i\frac{\pi}{2}}$ : $\dfrac{OC}{OA}=|i|=1$ et $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ :
$OAC$ est rectangle et isocèle en $O$
5. $a^{12}=2^{12}e^{i\frac{12\pi}{6}}$
$=4096e^{2i\pi}$
$=4096$