Forme algébrique
Définition L'ensemble $\mathbb{C}$
- $i^2=-1$ ; tout $z\in\mathbb{C}$ s'écrit de façon unique $z=a+ib$ avec $a$, $b$ réels.
$a=\operatorname{Re}(z)$ ; $b=\operatorname{Im}(z)$
- $z$ réel $\iff b=0$ ; $z$ imaginaire pur $\iff a=0$.
- $M(a;b)$ est l'image de $z$ ; $z$ est l'affixe de $M$ et de $\overrightarrow{OM}$ ; $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$.
Conjugué et module
Formules Conjugué : $\overline{z}=a-ib$
- $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$ ; $\overline{zz'}=\overline{z}\,\overline{z'}$ ; $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}$.
- $z+\overline{z}=2a$ ; $z-\overline{z}=2ib$ ; $z\overline{z}=a^2+b^2$.
- $z$ réel $\iff\overline{z}=z$ ; $z$ imaginaire pur $\iff\overline{z}=-z$.
Formules Module
$|z|=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}$
- $|zz'|=|z||z'|$ ; $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$ ; $|z^n|=|z|^n$.
- $AB=|z_B-z_A|$.
Argument et formes trigonométrique et exponentielle
Définition Pour $z\neq0$ : $r=|z|$ et $\theta=\arg(z)$
$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=[r,\theta]=re^{i\theta}$
- $\cos\theta=\dfrac{a}{r}$ et $\sin\theta=\dfrac{b}{r}$.
Formules Règles de calcul
- $\arg(zz')\equiv\arg z+\arg z'\ [2\pi]$ ; $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)\equiv\arg z-\arg z'\ [2\pi]$.
- $\arg(z^n)\equiv n\arg z\ [2\pi]$ ; $\arg\overline{z}\equiv-\arg z\ [2\pi]$.
- $re^{i\theta}\times r'e^{i\theta'}=rr'e^{i(\theta+\theta')}$.
- Moivre : $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$.
- Euler : $\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ ; $\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.
Interprétation géométrique
Propriété Angles et distances
$\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)\ [2\pi]$ ; $\dfrac{AC}{AB}=\left|\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right|$
- $A$, $B$, $C$ alignés $\iff\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}$.
- $(AB)\perp(AC)\iff\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ imaginaire pur.
- $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=i$ ⇒ $ABC$ rectangle isocèle en $A$.
Équation $az^2+bz+c=0$ ($a$, $b$, $c$ réels)
Formules Selon $\Delta=b^2-4ac$
- $\Delta>0$ : deux solutions réelles ; $\Delta=0$ : une solution $-\dfrac{b}{2a}$.
- $\Delta<0$ : deux solutions complexes conjuguées :
$z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ ; $z_2=\overline{z_1}=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$
Écriture complexe des transformations
Formules $M(z)$ a pour image $M'(z')$
- Translation de vecteur $\vec{u}(b)$ : $z'=z+b$.
- Homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k$ : $z'-\omega=k(z-\omega)$.
- Rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$ : $z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Donner un argument avec un module négatif : dans $[r,\theta]$, $r>0$.
- Oublier « modulo $2\pi$ » pour les arguments.
- Confondre $\overline{z}$ et $-z$.
À retenir À retenir
- $z\overline{z}=|z|^2$ ; pour diviser : multiplier par le conjugué du dénominateur.
- Produit : on multiplie les modules et on ajoute les arguments.
Astuce Conseil
- Pour une forme trigonométrique : calculer $r$, puis $\cos\theta$ et $\sin\theta$, puis reconnaître l'angle.