L’ensemble $\mathbb{C}$ — Forme algébrique
Définition
Il existe un ensemble $\mathbb{C}$, contenant $\mathbb{R}$, muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles de $\mathbb{R}$, et contenant un nombre $i$ tel que $i^2=-1$.
Tout $z\in\mathbb{C}$ s’écrit de façon unique $z=a+ib$ avec $a,b\in\mathbb{R}$ : c’est la forme algébrique de $z$.
$a=\operatorname{Re}(z)$ (partie réelle) ; $b=\operatorname{Im}(z)$ (partie imaginaire)
Propriété
- $z=z'\iff\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}(z')$ et $\operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}(z')$ ; $z=0\iff a=0$ et $b=0$.
- $z$ est réel $\iff\operatorname{Im}(z)=0$ ; $z$ est imaginaire pur $\iff\operatorname{Re}(z)=0$.
Exemple Calculs
$(2+3i)(1-i)=2-2i+3i-3i^2=5+i$
Pour un quotient, on multiplie par le conjugué du dénominateur :
$\dfrac{1+i}{2-i}=\dfrac{(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\dfrac{1+3i}{5}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}i$
Représentation géométrique
Définition
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$. Au nombre $z=a+ib$ on associe le point $M(a;b)$ et le vecteur $\overrightarrow{OM}$ :
- $M$ est l’image de $z$ ; $z$ est l’affixe de $M$ (et de $\overrightarrow{OM}$) : on note $M(z)$ ou $z_M$.
Propriété
- L’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_B-z_A$ ; celle du milieu $I$ de $[AB]$ est $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$.
- $A$, $B$, $C$ ($A\neq B$) sont alignés $\iff\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}$.
Conjugué d’un nombre complexe
Définition
Le conjugué de $z=a+ib$ est $\overline{z}=a-ib$ ; les points $M(z)$ et $M'(\overline{z})$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
Propriété
- $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$ ; $\overline{zz'}=\overline{z}\,\overline{z'}$ ; $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}$ ; $\overline{z^n}=\left(\overline{z}\right)^n$
- $z+\overline{z}=2\operatorname{Re}(z)$ ; $z-\overline{z}=2i\operatorname{Im}(z)$ ; $z\overline{z}=a^2+b^2$.
- $z\in\mathbb{R}\iff\overline{z}=z$ ; $z$ imaginaire pur $\iff\overline{z}=-z$.
Module d’un nombre complexe
Définition
Le module de $z=a+ib$ est le réel positif :
$|z|=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}$
Si $M(z)$ : $|z|=OM$ ; et pour deux points : $AB=|z_B-z_A|$.
Propriété
- $|zz'|=|z|\,|z'|$ ; $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$ ; $\left|z^n\right|=|z|^n$ ; $|\overline{z}|=|-z|=|z|$
- $|z+z'|\leq|z|+|z'|$ (inégalité triangulaire).
Exemple
$|3-4i|=\sqrt{9+16}=5$ ; $\left|\dfrac{1+i}{1-i\sqrt{3}}\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Argument — Forme trigonométrique
Définition
Soit $z\neq0$ d’image $M$. On appelle argument de $z$ toute mesure $\theta$ de l’angle orienté $\left(\vec{u};\overrightarrow{OM}\right)$ : on note $\arg z\equiv\theta\ [2\pi]$.
Avec $r=|z|$ : $a=r\cos\theta$ et $b=r\sin\theta$, d’où la forme trigonométrique :
$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=[r,\theta]$
Propriété Pour $z\neq0$, $z'\neq0$ et $n\in\mathbb{Z}$
- $\arg(zz')\equiv\arg z+\arg z'\ [2\pi]$ ; $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)\equiv\arg z-\arg z'\ [2\pi]$ ; $\arg\left(z^n\right)\equiv n\arg z\ [2\pi]$
- $\arg\overline{z}\equiv-\arg z\ [2\pi]$ ; $\arg(-z)\equiv\pi+\arg z\ [2\pi]$
- $z\in\mathbb{R}^*_+\iff\arg z\equiv0\ [2\pi]$ ; $z$ imaginaire pur ($z\neq0$) $\iff\arg z\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [\pi]$.
Méthode Écrire $z$ sous forme trigonométrique
1. On calcule $r=|z|$ ;
2. on factorise : $z=r\left(\dfrac{a}{r}+i\dfrac{b}{r}\right)$ ;
3. on reconnaît $\cos\theta=\dfrac{a}{r}$ et $\sin\theta=\dfrac{b}{r}$.
Exemple
$z=1+i\sqrt{3}$ : $|z|=\sqrt{1+3}=2$ et $z=2\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$z=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=\left[2,\dfrac{\pi}{3}\right]$
Notation exponentielle — Moivre et Euler
Définition
Pour $\theta\in\mathbb{R}$, on note $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$. Tout $z\neq0$ de module $r$ et d’argument $\theta$ s’écrit :
$z=re^{i\theta}$
Exemples : $e^{i\pi}=-1$ ; $e^{i\frac{\pi}{2}}=i$ ; $\left|e^{i\theta}\right|=1$ ; $\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$.
Propriété
- $e^{i\theta}\times e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$ ; $\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}$
- Formule de Moivre : $\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$, soit $\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}$ ($n\in\mathbb{Z}$).
- Formules d’Euler : $\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.
Exemple Puissance
Calculer $(1+i)^8$ : $1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$, donc $(1+i)^8=\left(\sqrt{2}\right)^8e^{i2\pi}$.
$(1+i)^8=16$
Exemple Linéarisation
Avec Euler : $\cos^2\theta=\left(\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^2=\dfrac{e^{2i\theta}+2+e^{-2i\theta}}{4}$.
$\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$
Interprétation géométrique
Propriété Pour $A$, $B$, $C$ distincts d’affixes $z_A$, $z_B$, $z_C$
$\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)\ [2\pi]$ ; $\dfrac{AC}{AB}=\left|\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right|$
- $A$, $B$, $C$ alignés $\iff\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}$ ; $(AB)\perp(AC)\iff\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ est imaginaire pur.
- Si $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=e^{i\frac{\pi}{3}}$ : $ABC$ est équilatéral ; si $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=i$ : $ABC$ est rectangle isocèle en $A$.
Propriété Ensembles de points
- $|z-z_A|=R$ ($R>0$) : cercle de centre $A$ et de rayon $R$.
- $|z-z_A|=|z-z_B|$ : médiatrice du segment $[AB]$.
Exemple
$A(1)$, $B(2+i)$, $C(i)$ : $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{-1+i}{1+i}=\dfrac{(-1+i)(1-i)}{2}=\dfrac{2i}{2}=i$.
$ABC$ est rectangle isocèle en $A$
Équations du second degré à coefficients réels
Propriété
Soit $(E)$ : $az^2+bz+c=0$ avec $a,b,c\in\mathbb{R}$, $a\neq0$, et $\Delta=b^2-4ac$ :
- Si $\Delta=0$ : une solution réelle $z_0=-\dfrac{b}{2a}$.
- Si $\Delta>0$ : deux solutions réelles $z_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.
- Si $\Delta<0$ : deux solutions complexes conjuguées :
$z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ ; $z_2=\overline{z_1}=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$
>> Dans tous les cas : $z_1+z_2=-\dfrac{b}{a}$ et $z_1z_2=\dfrac{c}{a}$.
Exemple
$z^2-2z+4=0$ : $\Delta=4-16=-12<0$ et $\sqrt{-\Delta}=2\sqrt{3}$.
$S=\left\{1+i\sqrt{3};1-i\sqrt{3}\right\}$
Forme exponentielle : $1+i\sqrt{3}=2e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $1-i\sqrt{3}=2e^{-i\frac{\pi}{3}}$.
Écriture complexe des transformations
Propriété $M(z)$ a pour image $M'(z')$
- Translation de vecteur $\vec{w}(b)$ : $z'=z+b$.
- Homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k\in\mathbb{R}^*$ : $z'-\omega=k(z-\omega)$.
- Rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d’angle $\theta$ : $z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$.
Exemple
Rotation $R$ de centre $\Omega(1+i)$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$ : $z'-(1+i)=i\left(z-(1+i)\right)$, soit $z'=iz+2$.
Image de $A(3+i)$ : $z_{A'}=i(3+i)+2=1+3i$.
$R(A)=A'(1+3i)$
Réciproquement, $z'=-2z+3$ : homothétie de rapport $-2$ ; centre : $\omega=-2\omega+3\iff\omega=1$.
Erreur fréquente
- Écrire $\operatorname{Im}(a+ib)=ib$ : c’est faux, $\operatorname{Im}(a+ib)=b$ (réel).
- Donner un argument de $z=-2\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$ égal à $\theta$ : le module doit être positif ; $z=2e^{i(\theta+\pi)}$.
À retenir
- $i^2=-1$ ; $z\overline{z}=|z|^2$ ; $AB=|z_B-z_A|$ ; $z=re^{i\theta}$ avec $r=|z|$, $\theta\equiv\arg z$.
- $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\arg\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ ; $\Delta<0$ : $z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ ; rotation : $z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$.