Niveau 1 — Je m'entraîne : applications directes du cours
Exercice 1 ★
Définition et propriétés (§ II, III). L’espace est orienté et $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est une base orthonormée directe.
1. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\|\vec{u}\|=2$, $\|\vec{v}\|=3$ et l’angle $\theta$ entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ mesure $\dfrac{\pi}{6}$. Calculer $\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|$.
2. Calculer $\vec{i}\wedge\vec{j}$, $\vec{j}\wedge\vec{i}$, $\vec{k}\wedge\vec{i}$ et $\vec{i}\wedge\vec{i}$.
3. Simplifier $(\vec{u}+\vec{v})\wedge(\vec{u}-\vec{v})$.
Exercice 2 ★
Expression analytique (§ IV). Soit $\vec{u}(1;2;-1)$ et $\vec{v}(2;0;3)$.
1. Calculer $\vec{w}=\vec{u}\wedge\vec{v}$.
2. Vérifier que $\vec{w}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$.
Exercice 3 ★
Alignement et aire (§ V). Soit $A(1;0;1)$, $B(2;1;0)$ et $C(0;2;3)$.
1. Calculer $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ ; en déduire que $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
2. Calculer l’aire du triangle $ABC$.
Exercice 4 ★
Équation d’un plan (§ V). On reprend $A(1;0;1)$, $B(2;1;0)$ et $C(0;2;3)$.
Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$, puis vérifier que $B$ et $C$ lui appartiennent.
Exercice 5 ★
Distance d’un point à une droite (§ V). Soit $(D)$ la droite passant par $A(1;0;0)$ et dirigée par $\vec{u}(1;1;0)$, et le point $M(1;2;3)$.
Calculer $d(M;(D))$.
Niveau 2 — J'approfondis : je raisonne et je justifie
Exercice 6 ★★
Intersection de deux plans. Soit $(P):x+y+z-1=0$ et $(Q):x-y+2z=0$.
1. Montrer que $(P)$ et $(Q)$ sont sécants.
2. Justifier que leur droite d’intersection $(\Delta)$ est dirigée par $\vec{n}\wedge\vec{n'}$, puis donner une représentation paramétrique de $(\Delta)$.
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 7 ★★★
Synthèse. Soit $A(1;1;0)$, $B(0;2;1)$, $C(2;0;1)$ et $D(1;0;3)$.
1. Calculer $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ ; en déduire que $A$, $B$, $C$ définissent un plan et calculer l’aire du triangle $ABC$.
2. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
3. Calculer $d(D;(ABC))$, puis le volume du tétraèdre $ABCD$.
4. Déterminer une équation de la sphère de centre $D$ tangente au plan $(ABC)$.
Corrections
Correction 1
💡 $\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin\theta$ ; $\vec{v}\wedge\vec{u}=-\vec{u}\wedge\vec{v}$ ; $\vec{u}\wedge\vec{u}=\vec{0}$ ; le produit vectoriel est bilinéaire.
1. $\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|=2\times3\times\sin\dfrac{\pi}{6}$
$=6\times\dfrac{1}{2}=3$
2. $\vec{i}\wedge\vec{j}=\vec{k}$ ; $\vec{j}\wedge\vec{i}=-\vec{k}$ ; $\vec{k}\wedge\vec{i}=\vec{j}$ ; $\vec{i}\wedge\vec{i}=\vec{0}$
3. $(\vec{u}+\vec{v})\wedge(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}\wedge\vec{u}-\vec{u}\wedge\vec{v}+\vec{v}\wedge\vec{u}-\vec{v}\wedge\vec{v}$
$=\vec{0}-\vec{u}\wedge\vec{v}-\vec{u}\wedge\vec{v}-\vec{0}$
$=-2\,\vec{u}\wedge\vec{v}$
$(\vec{u}+\vec{v})\wedge(\vec{u}-\vec{v})=-2\,\vec{u}\wedge\vec{v}$
Correction 2
💡 Si $\vec{u}(x;y;z)$ et $\vec{v}(x';y';z')$ : $\vec{u}\wedge\vec{v}=(yz'-zy')\vec{i}-(xz'-zx')\vec{j}+(xy'-yx')\vec{k}$ (trois déterminants $2\times2$, **signe $-$** devant la composante en $\vec{j}$).
1. $\vec{w}=(2\times3-(-1)\times0)\vec{i}-(1\times3-(-1)\times2)\vec{j}+(1\times0-2\times2)\vec{k}$
$=6\vec{i}-5\vec{j}-4\vec{k}$
$\vec{w}(6;-5;-4)$
2. $\vec{w}\cdot\vec{u}=6-10+4=0$ ; $\vec{w}\cdot\vec{v}=12+0-12=0$ ✔
Correction 3
💡 $A$, $B$, $C$ alignés $\iff\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec{0}$ ; aire du triangle : $\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|$.
1. $\overrightarrow{AB}(1;1;-1)$ et $\overrightarrow{AC}(-1;2;2)$ :
$\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(2+2)\vec{i}-(2-1)\vec{j}+(2+1)\vec{k}$
$=4\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}$
Ce vecteur n’est pas nul :
$A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés
2. $\mathcal{S}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|$
$=\dfrac{1}{2}\sqrt{16+1+9}$
$=\dfrac{\sqrt{26}}{2}$
$\mathcal{S}_{ABC}=\dfrac{\sqrt{26}}{2}$
Correction 4
💡 $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ est normal au plan $(ABC)$ : $M\in(ABC)\iff\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$.
$\vec{n}(4;-1;3)$ : $(ABC):4x-y+3z+d=0$ et $A\in(ABC)$ : $4+3+d=0$, $d=-7$ :
$(ABC):4x-y+3z-7=0$
$B$ : $8-1+0-7=0$ ✔ ; $C$ : $0-2+9-7=0$ ✔.
Correction 5
💡 $d(M;(D))=\dfrac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$, où $A\in(D)$ et $\vec{u}$ dirige $(D)$.
$\overrightarrow{AM}(0;2;3)$ :
$\overrightarrow{AM}\wedge\vec{u}=(2\times0-3\times1)\vec{i}-(0\times0-3\times1)\vec{j}+(0\times1-2\times1)\vec{k}$
$=-3\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}$
$d(M;(D))=\dfrac{\sqrt{9+9+4}}{\sqrt{1+1+0}}$
$=\dfrac{\sqrt{22}}{\sqrt{2}}=\sqrt{11}$
$d(M;(D))=\sqrt{11}$
Correction 6
1. $\vec{n}(1;1;1)$ et $\vec{n'}(1;-1;2)$ ne sont pas colinéaires :
$(P)$ et $(Q)$ sont sécants
2. $(\Delta)$ est contenue dans les deux plans : sa direction est orthogonale à $\vec{n}$ et à $\vec{n'}$, donc colinéaire à $\vec{n}\wedge\vec{n'}$.
$\vec{n}\wedge\vec{n'}=(2+1)\vec{i}-(2-1)\vec{j}+(-1-1)\vec{k}$
$=3\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k}$
Un point de $(\Delta)$ : avec $z=0$ : $x+y=1$ et $x-y=0$, donc $E\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)$.
$(\Delta)$ : $x=\dfrac{1}{2}+3t$, $y=\dfrac{1}{2}-t$, $z=-2t$ ($t\in\mathbb{R}$)
Correction 7
1. $\overrightarrow{AB}(-1;1;1)$ et $\overrightarrow{AC}(1;-1;1)$ :
$\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(1+1)\vec{i}-(-1-1)\vec{j}+(1-1)\vec{k}$
$=2\vec{i}+2\vec{j}$
Ce vecteur n’est pas nul : $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés et définissent un plan.
$\mathcal{S}=\dfrac{1}{2}\sqrt{4+4+0}$
$=\sqrt{2}$
2. $\vec{n}(1;1;0)$ est normal à $(ABC)$ : $x+y+d=0$ et $A\in(ABC)$ : $d=-2$ :
$(ABC):x+y-2=0$
3. $d(D;(ABC))=\dfrac{|1+0-2|}{\sqrt{1+1+0}}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$V=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{S}\times d(D;(ABC))$
$=\dfrac{1}{3}\times\sqrt{2}\times\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{3}$
$V=\dfrac{1}{3}$ (unité de volume)
4. Sphère tangente au plan : son rayon est $R=d(D;(ABC))=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, donc $R^2=\dfrac{1}{2}$ :
$(x-1)^2+y^2+(z-3)^2=\dfrac{1}{2}$