درس «Géométrie dans l'espace : produit vectoriel» لتلاميذ الثانية باك علوم فيزيائية بالفرنسية والعربية: Orientation de l’espace - Définition - Propriétés - Expression analytique - Aires - Équation d’un plan - Distance d’un point à une droite. Cours Géométrie dans l'espace : produit vectoriel — 2ème…
Orientation de l’espace
Définition
Un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ est direct si un observateur (bonhomme d’Ampère) placé sur l’axe $(O;\vec{k})$, les pieds en $O$, regardant dans la direction de $\vec{i}$, a $\vec{j}$ à sa gauche.
>> Règle de la main droite : pouce $\vec{i}$, index $\vec{j}$, majeur $\vec{k}$. Dans la suite, le repère est orthonormé direct.
Définition du produit vectoriel
Définition
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l’espace. Le produit vectoriel $\vec{u}\wedge\vec{v}$ est le vecteur défini par :
- si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires : $\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}$ ;
- sinon, $\vec{w}=\vec{u}\wedge\vec{v}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$, la base $(\vec{u};\vec{v};\vec{w})$ est directe, et :
$\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\sin\theta$ ; $\theta=\widehat{\left(\vec{u};\vec{v}\right)}\in[0;\pi]$
Propriétés
Propriété
- Antisymétrie : $\vec{v}\wedge\vec{u}=-\vec{u}\wedge\vec{v}$ ; en particulier $\vec{u}\wedge\vec{u}=\vec{0}$.
- Bilinéarité : $\vec{u}\wedge\left(\vec{v}+\lambda\vec{w}\right)=\vec{u}\wedge\vec{v}+\lambda\,\vec{u}\wedge\vec{w}$.
- $\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}\iff\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
- $\vec{i}\wedge\vec{j}=\vec{k}$ ; $\vec{j}\wedge\vec{k}=\vec{i}$ ; $\vec{k}\wedge\vec{i}=\vec{j}$
Expression analytique
Propriété Pour $\vec{u}(x;y;z)$ et $\vec{v}(x';y';z')$
$\vec{u}\wedge\vec{v}=\begin{vmatrix}y&y'\\z&z'\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}x&x'\\z&z'\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}\vec{k}$
soit $\vec{u}\wedge\vec{v}\left(yz'-zy';\ zx'-xz';\ xy'-yx'\right)$.
Exemple
$\vec{u}(1;2;-1)$ et $\vec{v}(2;0;1)$ :
$\vec{u}\wedge\vec{v}=(2\times1-(-1)\times0)\vec{i}-(1\times1-(-1)\times2)\vec{j}+(1\times0-2\times2)\vec{k}$
$\vec{u}\wedge\vec{v}(2;-3;-4)$
Vérification : $\vec{u}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v})=2-6+4=0$ et $\vec{v}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v})=4+0-4=0$.
Applications
Propriété Alignement — Aires
- $A$, $B$, $C$ sont alignés $\iff\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec{0}$.
- Aire du parallélogramme $ABDC$ : $\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|$ ; aire du triangle $ABC$ :
$\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|$
Propriété Plan défini par trois points
Si $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$ :
$M\in(ABC)\iff\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AM}=0$
Exemple
$A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;3)$ : $\overrightarrow{AB}(-1;2;0)$, $\overrightarrow{AC}(-1;0;3)$.
$\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}(6;3;2)\neq\vec{0}$ : les points ne sont pas alignés.
$6(x-1)+3y+2z=0$
$(ABC)$ : $6x+3y+2z-6=0$
Aire : $\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\sqrt{36+9+4}=\dfrac{7}{2}$.
Propriété Distance d’un point à une droite
Si $(D)$ passe par $A$ et est dirigée par $\vec{u}$ :
$d\left(M;(D)\right)=\dfrac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$
Exemple
$M(1;1;1)$ et $(D)$ passant par $O$, dirigée par $\vec{i}(1;0;0)$ : $\overrightarrow{OM}\wedge\vec{i}(0;1;-1)$.
$d\left(M;(D)\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$
Propriété Intersection de deux plans
Si $(P)$ et $(Q)$, de vecteurs normaux $\vec{n}$ et $\vec{n'}$, ne sont pas parallèles, ils se coupent suivant une droite dirigée par $\vec{n}\wedge\vec{n'}$.
Erreur fréquente
- Oublier le signe $-$ devant la deuxième composante : c’est $zx'-xz'$.
- Écrire $\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{v}\wedge\vec{u}$ : c’est faux, $\vec{v}\wedge\vec{u}=-\vec{u}\wedge\vec{v}$.
- Oublier le facteur $\dfrac{1}{2}$ pour l’aire d’un triangle.
À retenir
- $\vec{u}\wedge\vec{v}\left(yz'-zy';\ zx'-xz';\ xy'-yx'\right)$ ; $\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}\iff$ colinéaires ; $\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin\theta$.
- $\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|$ ; normal à $(ABC)$ : $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ ; $d\left(M;(D)\right)=\dfrac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$.
توجيه الفضاء
تعريف
نقول إن معلماً متعامداً ممنظماً $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ مباشر إذا كان ملاحظ (رجل أمبير) واقفاً على المحور $(O;\vec{k})$، قدماه في $O$، ينظر في اتجاه $\vec{i}$، يجد $\vec{j}$ على يساره.
>> قاعدة اليد اليمنى : الإبهام $\vec{i}$، والسبابة $\vec{j}$، والوسطى $\vec{k}$. فيما يلي، المعلم متعامد ممنظم مباشر.
تعريف الجداء المتجهي
تعريف
لتكن $\vec{u}$ و $\vec{v}$ متجهتين من الفضاء. الجداء المتجهي $\vec{u}\wedge\vec{v}$ هو المتجهة المعرفة بما يلي :
- إذا كانت $\vec{u}$ و $\vec{v}$ مستقيميتين : $\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}$ ؛
- وإلا، فإن $\vec{w}=\vec{u}\wedge\vec{v}$ عمودية على $\vec{u}$ وعلى $\vec{v}$، والأساس $(\vec{u};\vec{v};\vec{w})$ مباشر، و :
$\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\sin\theta$ ; $\theta=\widehat{\left(\vec{u};\vec{v}\right)}\in[0;\pi]$
الخاصيات
خاصية
- ضد التماثل : $\vec{v}\wedge\vec{u}=-\vec{u}\wedge\vec{v}$ ؛ وخاصة $\vec{u}\wedge\vec{u}=\vec{0}$.
- ثنائية الخطية : $\vec{u}\wedge\left(\vec{v}+\lambda\vec{w}\right)=\vec{u}\wedge\vec{v}+\lambda\,\vec{u}\wedge\vec{w}$.
- $\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}\iff\vec{u}$ و $\vec{v}$ مستقيميتان.
- $\vec{i}\wedge\vec{j}=\vec{k}$ ; $\vec{j}\wedge\vec{k}=\vec{i}$ ; $\vec{k}\wedge\vec{i}=\vec{j}$
الصيغة التحليلية
خاصية من أجل $\vec{u}(x;y;z)$ و $\vec{v}(x';y';z')$
$\vec{u}\wedge\vec{v}=\begin{vmatrix}y&y'\\z&z'\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}x&x'\\z&z'\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}\vec{k}$
أي $\vec{u}\wedge\vec{v}\left(yz'-zy';\ zx'-xz';\ xy'-yx'\right)$.
مثال
$\vec{u}(1;2;-1)$ و $\vec{v}(2;0;1)$ :
$\vec{u}\wedge\vec{v}=(2\times1-(-1)\times0)\vec{i}-(1\times1-(-1)\times2)\vec{j}+(1\times0-2\times2)\vec{k}$
$\vec{u}\wedge\vec{v}(2;-3;-4)$
تحقق : $\vec{u}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v})=2-6+4=0$ و $\vec{v}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v})=4+0-4=0$.
تطبيقات
خاصية الاستقامية — المساحات
- $A$ و $B$ و $C$ مستقيمية $\iff\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec{0}$.
- مساحة متوازي الأضلاع $ABDC$ : $\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|$ ؛ مساحة المثلث $ABC$ :
$\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|$
خاصية مستوى محدد بثلاث نقط
إذا كانت $A$ و $B$ و $C$ غير مستقيمية، فإن $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ منظمية على المستوى $(ABC)$ :
$M\in(ABC)\iff\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AM}=0$
مثال
$A(1;0;0)$ و $B(0;2;0)$ و $C(0;0;3)$ : $\overrightarrow{AB}(-1;2;0)$ و $\overrightarrow{AC}(-1;0;3)$.
$\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}(6;3;2)\neq\vec{0}$ : النقط غير مستقيمية.
$6(x-1)+3y+2z=0$
$(ABC)$ : $6x+3y+2z-6=0$
المساحة : $\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\sqrt{36+9+4}=\dfrac{7}{2}$.
خاصية مسافة نقطة عن مستقيم
إذا كان $(D)$ يمر من $A$ وموجهاً بـ $\vec{u}$ :
$d\left(M;(D)\right)=\dfrac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$
مثال
$M(1;1;1)$ و $(D)$ المار من $O$ والموجه بـ $\vec{i}(1;0;0)$ : $\overrightarrow{OM}\wedge\vec{i}(0;1;-1)$.
$d\left(M;(D)\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$
خاصية تقاطع مستويين
إذا كان $(P)$ و $(Q)$، اللذان منظميتاهما $\vec{n}$ و $\vec{n'}$، غير متوازيين، فإنهما يتقاطعان وفق مستقيم موجه بـ $\vec{n}\wedge\vec{n'}$.
خطأ شائع
- نسيان الإشارة $-$ أمام المركبة الثانية : إنها $zx'-xz'$.
- كتابة $\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{v}\wedge\vec{u}$ : هذا خطأ، $\vec{v}\wedge\vec{u}=-\vec{u}\wedge\vec{v}$.
- نسيان العامل $\dfrac{1}{2}$ في مساحة مثلث.
للحفظ
- $\vec{u}\wedge\vec{v}\left(yz'-zy';\ zx'-xz';\ xy'-yx'\right)$ ؛ $\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}\iff$ مستقيميتان ؛ $\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin\theta$.
- $\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|$ ؛ منظمية على $(ABC)$ : $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ ؛ $d\left(M;(D)\right)=\dfrac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$.