Définition
Définition Produit vectoriel $\vec{u}\wedge\vec{v}$ (espace orienté)
- Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires : $\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}$.
- Sinon $\vec{u}\wedge\vec{v}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$, la base $(\vec{u};\vec{v};\vec{u}\wedge\vec{v})$ est directe et :
$\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\sin\theta$ avec $\theta\in[0;\pi]$
Propriétés
Propriété Règles de calcul
- $\vec{v}\wedge\vec{u}=-\vec{u}\wedge\vec{v}$ (antisymétrie) ; $\vec{u}\wedge\vec{u}=\vec{0}$.
- $(\alpha\vec{u})\wedge\vec{v}=\alpha(\vec{u}\wedge\vec{v})$ ; $\vec{u}\wedge(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\wedge\vec{v}+\vec{u}\wedge\vec{w}$.
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires $\iff\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}$
Expression analytique
Formules Repère orthonormé direct, $\vec{u}(x;y;z)$ et $\vec{v}(x';y';z')$
$\vec{u}\wedge\vec{v}=\begin{vmatrix}y&y'\\z&z'\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}x&x'\\z&z'\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}\vec{k}$
- $\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}=ad-bc$.
Applications
Formules Alignement, aires
- $A$, $B$, $C$ alignés $\iff\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec{0}$.
$\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|$
Propriété Plan $(ABC)$
- $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$M\in(ABC)\iff(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AM}=0$
Formules Distance d'un point à une droite
$d(M;(D))=\dfrac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$ avec $A\in(D)$ et $\vec{u}$ directeur
- Intersection de deux plans sécants : droite dirigée par $\vec{n}\wedge\vec{n'}$.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Oublier le signe $-$ devant la deuxième composante.
- Oublier le facteur $\dfrac{1}{2}$ dans l'aire d'un triangle.
À retenir À retenir
- $\vec{u}\wedge\vec{v}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$.
- Normal à $(ABC)$ : $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$.
Astuce Conseil
- Vérifier le résultat : $(\vec{u}\wedge\vec{v})\cdot\vec{u}=0$ et $(\vec{u}\wedge\vec{v})\cdot\vec{v}=0$.