Niveau 1 — Je m'entraîne : applications directes du cours
Exercice 1 ★
Produit scalaire — expression analytique (§ I, II). L’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On donne $\vec{u}(1;-2;2)$, $\vec{v}(3;0;-1)$ et $\vec{w}(2;1;0)$.
1. Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$, $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$.
2. Calculer $\cos\theta$ où $\theta$ est l’angle des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
3. Montrer que $\vec{u}$ et $\vec{w}$ sont orthogonaux.
Exercice 2 ★
Équation d’un plan (§ III). Soit $A(1;0;2)$, $\vec{n}(2;-1;3)$ et $B(4;3;1)$.
1. Déterminer une équation cartésienne du plan $(P)$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$.
2. Le point $B$ appartient-il à $(P)$ ?
Exercice 3 ★
Plan défini par trois points (§ III). Soit $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$ et $C(0;0;3)$.
1. Montrer que $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
2. Déterminer un vecteur $\vec{n}(a;b;c)$ normal au plan $(ABC)$, puis une équation cartésienne de $(ABC)$.
Exercice 4 ★
Distance d’un point à un plan (§ IV). Calculer la distance du point $\Omega(1;2;-1)$ au plan $(P):2x-y+2z+4=0$.
Exercice 5 ★
Positions relatives (§ V). Soit $(P):x+y-z+1=0$, $(Q):2x+2y-2z+5=0$, $(R):x-y+3=0$ et la droite $(D)$ : $x=1+t$, $y=2-t$, $z=3+2t$ ($t\in\mathbb{R}$).
1. Étudier la position relative de $(P)$ et $(Q)$, puis de $(P)$ et $(R)$.
2. Montrer que $(D)$ coupe $(P)$ et déterminer le point d’intersection.
Exercice 6 ★
Projeté orthogonal (§ IV, V). Soit $(P):2x-y+2z-1=0$ et $A(1;1;1)$.
1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par $A$ et orthogonale à $(P)$.
2. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $(P)$.
3. Calculer $AH$ et comparer avec $d(A;(P))$.
Niveau 2 — J'approfondis : je raisonne et je justifie
Exercice 7 ★★
Plan médiateur. Soit $A(1;2;3)$ et $B(3;0;1)$.
Déterminer une équation du plan médiateur de $[AB]$ de deux façons : a) avec le milieu $I$ et le vecteur normal $\overrightarrow{AB}$ ; b) avec l’égalité $MA^2=MB^2$.
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 8 ★★★
Synthèse. Soit $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;1)$ et $D(1;1;1)$.
1. Montrer que $\vec{n}(1;1;1)$ est normal au plan $(ABC)$ et en déduire une équation de $(ABC)$.
2. Calculer $d(D;(ABC))$.
3. Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $D$ sur $(ABC)$ ; montrer que $H$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.
4. Montrer que $ABC$ est équilatéral et calculer son aire.
5. En déduire le volume du tétraèdre $ABCD$.
Corrections
Correction 1
💡 $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'$ ; $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ; $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$ ; $\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
1. $\vec{u}\cdot\vec{v}=1\times3+(-2)\times0+2\times(-1)$
$=1$
$\|\vec{u}\|=\sqrt{1+4+4}=3$ ; $\|\vec{v}\|=\sqrt{9+0+1}=\sqrt{10}$
2. $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$
$=\dfrac{1}{3\sqrt{10}}$
3. $\vec{u}\cdot\vec{w}=2-2+0$
$=0$
$\vec{u}\perp\vec{w}$
Correction 2
💡 $\vec{n}(a;b;c)$ normal à $(P)$ : $(P):ax+by+cz+d=0$ ; on trouve $d$ en écrivant que $A\in(P)$.
1. $(P):2x-y+3z+d=0$ et $A\in(P)$ :
$2\times1-0+3\times2+d=0$
$\iff d=-8$
$(P):2x-y+3z-8=0$
2. $2\times4-3+3\times1-8=0$ :
$B\in(P)$
Correction 3
1. $\overrightarrow{AB}(-1;2;0)$ et $\overrightarrow{AC}(-1;0;3)$ : leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles ($2\neq0$) :
$A$, $B$, $C$ non alignés
2. 💡 $\vec{n}$ est normal au plan $\iff\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0$.
$-a+2b=0$ et $-a+3c=0$ ; avec $a=6$ : $b=3$ et $c=2$, donc $\vec{n}(6;3;2)$.
$(ABC):6x+3y+2z+d=0$ et $A\in(ABC)$ : $6+d=0$, $d=-6$ :
$(ABC):6x+3y+2z-6=0$
Correction 4
💡 $d(A;(P))=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
$d(\Omega;(P))=\dfrac{|2\times1-2+2\times(-1)+4|}{\sqrt{4+1+4}}$
$=\dfrac{2}{3}$
$d(\Omega;(P))=\dfrac{2}{3}$
Correction 5
💡 On compare les vecteurs normaux (colinéaires : plans parallèles ; produit scalaire nul : plans perpendiculaires) ; pour une droite, on remplace sa représentation paramétrique dans l’équation du plan.
1. $\vec{n}_P(1;1;-1)$, $\vec{n}_Q(2;2;-2)=2\vec{n}_P$ : colinéaires ; et $(Q):x+y-z+\dfrac{5}{2}=0$ avec $\dfrac{5}{2}\neq1$ :
$(P)$ et $(Q)$ sont strictement parallèles
$\vec{n}_R(1;-1;0)$ : $\vec{n}_P\cdot\vec{n}_R=1-1+0=0$ :
$(P)\perp(R)$
2. $\vec{u}(1;-1;2)$ dirige $(D)$ et $\vec{u}\cdot\vec{n}_P=1-1-2=-2\neq0$ : $(D)$ coupe $(P)$. On remplace :
$(1+t)+(2-t)-(3+2t)+1=0\iff1-2t=0$
$\iff t=\dfrac{1}{2}$
$(D)\cap(P)=\left\{E\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};4\right)\right\}$
Correction 6
1. $(\Delta)\perp(P)$ : $\vec{n}(2;-1;2)$ dirige $(\Delta)$ :
$(\Delta)$ : $x=1+2t$, $y=1-t$, $z=1+2t$ ($t\in\mathbb{R}$)
2. $H=(\Delta)\cap(P)$ ; on remplace :
$2(1+2t)-(1-t)+2(1+2t)-1=0\iff2+9t=0$
$\iff t=-\dfrac{2}{9}$
$H\left(\dfrac{5}{9};\dfrac{11}{9};\dfrac{5}{9}\right)$
3. $AH=|t|\times\|\vec{n}\|$
$=\dfrac{2}{9}\times3=\dfrac{2}{3}$
Et $d(A;(P))=\dfrac{|2-1+2-1|}{3}=\dfrac{2}{3}$ :
$AH=d(A;(P))=\dfrac{2}{3}$
Correction 7
a) $I(2;1;2)$ et $\overrightarrow{AB}(2;-2;-2)=2(1;-1;-1)$ : le plan est $x-y-z+d=0$ avec $I$ dedans :
$2-1-2+d=0$
$\iff d=1$
$x-y-z+1=0$
b) $M(x;y;z)$ : $MA^2=MB^2$ :
$(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=(x-3)^2+y^2+(z-1)^2$
$\iff-2x-4y-6z+14=-6x-2z+10$
$\iff4x-4y-4z+4=0$
$\iff x-y-z+1=0$
On retrouve la même équation ✔.
Correction 8
1. $\overrightarrow{AB}(-1;1;0)$, $\overrightarrow{AC}(-1;0;1)$ (non colinéaires) : $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=-1+1=0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=-1+1=0$.
$(ABC):x+y+z+d=0$ et $A\in(ABC)$ : $d=-1$ :
$(ABC):x+y+z-1=0$
2. $d(D;(ABC))=\dfrac{|1+1+1-1|}{\sqrt{3}}$
$=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
3. Droite passant par $D$, dirigée par $\vec{n}$ : $x=y=z=1+t$ ; dans $(ABC)$ : $3(1+t)-1=0$, $t=-\dfrac{2}{3}$ :
$H\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$, et le centre de gravité de $ABC$ est $G\left(\dfrac{1+0+0}{3};\dfrac{0+1+0}{3};\dfrac{0+0+1}{3}\right)$ :
$H=G$
4. $AB=BC=CA=\sqrt{2}$ : $ABC$ est équilatéral de côté $a=\sqrt{2}$ :
$\mathcal{S}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$
$=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
5. $V=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{S}\times d(D;(ABC))$
$=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
$V=\dfrac{1}{3}$ (unité de volume)