Produit scalaire dans l’espace
Définition
Soient $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$. Les points $A$, $B$, $C$ sont dans un même plan $(P)$ ; le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est celui calculé dans $(P)$ :
$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\left(\widehat{BAC}\right)$ ; $\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2$
Propriété
- Il est symétrique et bilinéaire : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$ ; $\vec{u}\cdot\left(\vec{v}+\lambda\vec{w}\right)=\vec{u}\cdot\vec{v}+\lambda\,\vec{u}\cdot\vec{w}$.
- $\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ (orthogonalité).
Expression analytique
Propriété Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$
Pour $\vec{u}(x;y;z)$ et $\vec{v}(x';y';z')$ :
$\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'$ ; $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
- Distance : $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.
Exemple
$\vec{u}(1;2;-1)$ et $\vec{v}(3;-1;1)$ : $\vec{u}\cdot\vec{v}=3-2-1=0$.
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
$\|\vec{u}\|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$.
Vecteur normal — Équation cartésienne d’un plan
Définition
Un vecteur $\vec{n}\neq\vec{0}$ est normal au plan $(P)$ s’il est orthogonal à tous les vecteurs de $(P)$ (il suffit : à deux vecteurs non colinéaires de $(P)$).
Le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$.
Propriété
- Tout plan de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ a une équation de la forme :
$ax+by+cz+d=0$
- Réciproquement, si $(a;b;c)\neq(0;0;0)$, cette équation définit un plan de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$.
Exemple
Plan $(P)$ passant par $A(1;0;2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2;-1;3)$ : $M(x;y;z)\in(P)\iff\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$.
$2(x-1)-(y-0)+3(z-2)=0$
$(P)$ : $2x-y+3z-8=0$
Distance d’un point à un plan
Propriété
La distance du point $A(x_A;y_A;z_A)$ au plan $(P)$ : $ax+by+cz+d=0$ est :
$d\left(A;(P)\right)=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
>> C’est la distance $AH$, où $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(P)$.
Exemple
$B(1;1;1)$ et $(P)$ : $2x-y+3z-8=0$ : $d\left(B;(P)\right)=\dfrac{|2-1+3-8|}{\sqrt{4+1+9}}$.
$d\left(B;(P)\right)=\dfrac{4}{\sqrt{14}}$
Positions relatives
Propriété Deux plans $(P)$ et $(Q)$ de vecteurs normaux $\vec{n}$ et $\vec{n'}$
- $(P)\parallel(Q)\iff\vec{n}$ et $\vec{n'}$ sont colinéaires ;
- $(P)\perp(Q)\iff\vec{n}\cdot\vec{n'}=0$.
Propriété Une droite $(D)$ de vecteur directeur $\vec{u}$ et un plan $(P)$ de vecteur normal $\vec{n}$
- $(D)\perp(P)\iff\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires ;
- $(D)\parallel(P)\iff\vec{u}\cdot\vec{n}=0$ ; sinon $(D)$ coupe $(P)$ en un point.
Méthode Intersection d’une droite et d’un plan
1. On écrit une représentation paramétrique de $(D)$ ;
2. on remplace $x$, $y$, $z$ dans l’équation de $(P)$ et on résout en $t$ ;
3. on reporte la valeur de $t$ dans la représentation paramétrique.
Exemple Projeté orthogonal
Projeté orthogonal $H$ de $A(1;1;1)$ sur $(P)$ : $x+y+z-6=0$. La droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{n}(1;1;1)$ :
$x=1+t$ ; $y=1+t$ ; $z=1+t$ ($t\in\mathbb{R}$)
$(1+t)+(1+t)+(1+t)-6=0\iff3t-3=0\iff t=1$.
$H(2;2;2)$
Vérification : $AH=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$ et $d\left(A;(P)\right)=\dfrac{|1+1+1-6|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.
Erreur fréquente
- Lire le vecteur normal dans $2x-y+3z-8=0$ comme $(2;-1;-8)$ : c’est $(2;-1;3)$ (on ne prend pas $d$).
- Oublier la valeur absolue dans la formule de la distance.
- Confondre : $(D)\parallel(P)$ si $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$, mais $(D)\perp(P)$ si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.
À retenir
- $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'$ ; $\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ ; $\vec{n}(a;b;c)$ normal $\iff(P)$ : $ax+by+cz+d=0$.
- $d\left(A;(P)\right)=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ ; $(P)\perp(Q)\iff\vec{n}\cdot\vec{n'}=0$.