Produit scalaire
Définition Définition ($\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$)
$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos(\widehat{BAC})$ ; $\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2$
- $\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
- Mêmes propriétés que dans le plan (symétrie, bilinéarité).
Expression analytique
Formules Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(x;y;z)$ et $\vec{v}(x';y';z')$
$\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'$ ; $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
- $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.
Vecteur normal et équation d'un plan
Définition Vecteur normal
- $\vec{n}\neq\vec{0}$ est normal au plan $(P)$ s'il est orthogonal à tous les vecteurs de $(P)$.
- $M\in(P)\iff\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$ ($A\in(P)$).
Propriété Équation cartésienne
$(P)$ de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ : $ax+by+cz+d=0$
- Réciproquement, $ax+by+cz+d=0$ (avec $(a;b;c)\neq(0;0;0)$) est un plan de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$.
Distance d'un point à un plan
Formules Formule
$d(A;(P))=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
Positions relatives
Propriété Deux plans de vecteurs normaux $\vec{n}$ et $\vec{n'}$
- $(P)\parallel(Q)\iff\vec{n}$ et $\vec{n'}$ colinéaires.
- $(P)\perp(Q)\iff\vec{n}\cdot\vec{n'}=0$.
Propriété Droite de vecteur directeur $\vec{u}$ et plan de vecteur normal $\vec{n}$
- $(D)\perp(P)\iff\vec{u}$ et $\vec{n}$ colinéaires.
- $(D)\parallel(P)\iff\vec{u}\cdot\vec{n}=0$.
Méthode Intersection droite-plan, projeté orthogonal
1. On écrit une représentation paramétrique de $(D)$ : $x=x_A+\alpha t$, $y=y_A+\beta t$, $z=z_A+\gamma t$.
2. On remplace dans l'équation de $(P)$ et on calcule $t$.
- Projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $(P)$ : intersection de $(P)$ et de la droite passant par $A$ dirigée par $\vec{n}$.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Oublier la valeur absolue dans la distance.
- Prendre un vecteur directeur au lieu d'un vecteur normal dans l'équation du plan.
À retenir À retenir
- $\vec{n}(a;b;c)$ normal ⇔ $ax+by+cz+d=0$.
- Orthogonalité ⇔ produit scalaire nul.
Astuce Conseil
- Pour trouver $d$ : on remplace les coordonnées d'un point du plan.