Niveau 1 — Je m'entraîne : applications directes du cours
Exercice 1 ★
Équation d’une sphère (§ I).
1. Donner une équation de la sphère $(S)$ de centre $\Omega(1;-2;3)$ et de rayon $2$. Le point $A(1;0;3)$ appartient-il à $(S)$ ?
2. Donner une équation de la sphère $(S')$ de centre $\Omega'(2;1;0)$ passant par $B(4;1;1)$.
Exercice 2 ★
Sphère définie par un diamètre (§ II). Soit $A(1;2;-1)$ et $B(3;0;1)$.
1. Déterminer le centre et le rayon de la sphère $(S)$ de diamètre $[AB]$, puis son équation.
2. Retrouver cette équation à l’aide de $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
Exercice 3 ★
Étude d’un ensemble de points (§ III). Déterminer l’ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que :
a) $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+5=0$ ; b) $x^2+y^2+z^2+2x+2=0$ ; c) $x^2+y^2+z^2-2z+1=0$.
Exercice 4 ★
Sphère et plan (§ IV). Soit $(S):(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=9$.
Étudier l’intersection de $(S)$ avec chacun des plans :
$(P_1):2x-y+2z-1=0$ ; $(P_2):x+2y+2z=0$ ; $(P_3):z=10$.
Exercice 5 ★
Plan tangent (§ IV). Soit $(S):x^2+y^2+z^2=9$ et $A(1;2;2)$.
1. Vérifier que $A\in(S)$.
2. Déterminer une équation du plan $(T)$ tangent à $(S)$ en $A$.
Exercice 6 ★
Sphère et droite (§ V). Soit $(S):x^2+y^2+z^2=9$ et $(D)$ : $x=1+t$, $y=t$, $z=-t$ ($t\in\mathbb{R}$).
Déterminer $(S)\cap(D)$.
Niveau 2 — J'approfondis : je raisonne et je justifie
Exercice 7 ★★
Discussion selon un paramètre. Soit $(S):x^2+y^2+z^2=4$ et, pour $m\in\mathbb{R}$, le plan $(P_m):x+y+z-m=0$.
Discuter, selon $m$, la nature de $(S)\cap(P_m)$ et donner le rayon du cercle quand il existe.
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 8 ★★★
Synthèse. Soit $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y-4z=0$.
1. Déterminer le centre $\Omega$ et le rayon $R$ de $(S)$, et vérifier que $O\in(S)$.
2. Déterminer une équation du plan tangent à $(S)$ en $O$.
3. Soit $(D)$ : $x=t$, $y=t$, $z=0$ ($t\in\mathbb{R}$). Déterminer $(S)\cap(D)$.
4. Montrer que le plan $(xOy)$ d’équation $z=0$ coupe $(S)$ suivant un cercle $(\mathcal{C})$ dont on précisera le centre et le rayon ; vérifier que les points trouvés en 3. sont sur $(\mathcal{C})$.
Corrections
Correction 1
💡 $M\in(S)\iff\Omega M=R\iff(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$.
1. $(S):(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=4$
$(1-1)^2+(0+2)^2+(3-3)^2=4$ :
$A\in(S)$
2. $R^2=\Omega'B^2=(4-2)^2+(1-1)^2+(1-0)^2$
$=5$
$(S'):(x-2)^2+(y-1)^2+z^2=5$
Correction 2
1. Centre : milieu $I(2;1;0)$ ; $AB=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3}$, donc $R=\sqrt{3}$ :
$(S):(x-2)^2+(y-1)^2+z^2=3$, soit $x^2+y^2+z^2-4x-2y+2=0$
2. $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(1-x)(3-x)+(2-y)(-y)+(-1-z)(1-z)$
$=x^2-4x+3+y^2-2y+z^2-1$
$=x^2+y^2+z^2-4x-2y+2$
$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ donne la même équation ✔.
Correction 3
💡 On complète les carrés pour obtenir $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=k$ : $k>0$ : sphère de rayon $\sqrt{k}$ ; $k=0$ : un point ; $k<0$ : ensemble vide.
a) $(x-1)^2-1+(y+2)^2-4+(z-3)^2-9+5=0$
$\iff(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=9$
sphère de centre $\Omega(1;-2;3)$ et de rayon $3$
b) $(x+1)^2+y^2+z^2=-1<0$ :
ensemble vide
c) $x^2+y^2+(z-1)^2=0$ :
le seul point $(0;0;1)$
Correction 4
💡 On compare $d=d(\Omega;(P))$ et $R$ : $d>R$ : vide ; $d=R$ : plan tangent ; $d<R$ : cercle de rayon $r=\sqrt{R^2-d^2}$ dont le centre est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(P)$.
$\Omega(1;-2;3)$, $R=3$.
$(P_1)$ : $d=\dfrac{|2+2+6-1|}{\sqrt{4+1+4}}$
$=3=R$
$(P_1)$ est tangent à $(S)$ ; le point de contact est $H_1=\Omega+t\vec{n}_1$ avec $9+9t=0$, $t=-1$ :
$H_1(-1;-1;1)$
$(P_2)$ : $d=\dfrac{|1-4+6|}{3}$
$=1<3$
Intersection : cercle de rayon $r=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$ et de centre $H_2=\Omega+t\vec{n}_2$ avec $3+9t=0$ :
centre $H_2\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{8}{3};\dfrac{7}{3}\right)$, rayon $2\sqrt{2}$
$(P_3)$ : $d=|3-10|=7>3$ :
$(S)\cap(P_3)=\emptyset$
Correction 5
1. $1+4+4=9$ :
$A\in(S)$
2. 💡 Le plan tangent en $A$ est le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{\Omega A}$.
$\Omega=O$, $\overrightarrow{OA}(1;2;2)$ : $(T):x+2y+2z+d=0$ et $A\in(T)$ : $9+d=0$ :
$(T):x+2y+2z-9=0$
Correction 6
💡 On remplace la représentation paramétrique dans l’équation de $(S)$ : équation du second degré en $t$ (2, 1 ou 0 point).
$(1+t)^2+t^2+t^2=9\iff3t^2+2t-8=0$
$\Delta=4+96=100$ : $t=\dfrac{-2+10}{6}=\dfrac{4}{3}$ ou $t=\dfrac{-2-10}{6}=-2$.
$(S)\cap(D)=\left\{E\left(\dfrac{7}{3};\dfrac{4}{3};-\dfrac{4}{3}\right);F(-1;-2;2)\right\}$
Correction 7
$d(O;(P_m))=\dfrac{|m|}{\sqrt{3}}$
- $|m|>2\sqrt{3}$ : $d>2$ : $(S)\cap(P_m)=\emptyset$ ;
- $|m|=2\sqrt{3}$ : $d=2$ : $(P_m)$ est tangent à $(S)$ ;
- $|m|<2\sqrt{3}$ : $d<2$ : cercle de rayon $r=\sqrt{4-\dfrac{m^2}{3}}$.
pour $m=0$, $(P_0)$ passe par $O$ : grand cercle de rayon $2$
Correction 8
1. $(x-1)^2-1+(y-2)^2-4+(z-2)^2-4=0$
$\iff(x-1)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=9$
$\Omega(1;2;2)$ et $R=3$ ; les coordonnées de $O$ vérifient l’équation ($0=0$) :
$O\in(S)$
2. $\overrightarrow{\Omega O}(-1;-2;-2)$ est normal au plan tangent, qui passe par $O$ :
$x+2y+2z=0$
3. $t^2+t^2-2t-4t=0$
$\iff2t(t-3)=0$
$t=0$ ou $t=3$ : $(S)\cap(D)=\{O;E(3;3;0)\}$
4. $d(\Omega;(xOy))=|z_\Omega|=2<3$ : l’intersection est un cercle de rayon $r=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$ et de centre le projeté $H(1;2;0)$ de $\Omega$.
$(\mathcal{C})$ : centre $H(1;2;0)$, rayon $\sqrt{5}$
$HO^2=1+4=5$ et $HE^2=4+1=5$ (et $z=0$) : $O$ et $E$ sont sur $(\mathcal{C})$ ✔.