Définition — Équation cartésienne
Définition
Soit $\Omega$ un point et $R>0$. La sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que $\Omega M=R$ ; on la note $S(\Omega;R)$.
Propriété Dans un repère orthonormé, avec $\Omega(a;b;c)$
$M(x;y;z)\in S(\Omega;R)\iff(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$
Exemple
Sphère de centre $\Omega(2;-1;0)$ passant par $A(0;1;1)$ : $R=\Omega A=\sqrt{4+4+1}=3$.
$(S)$ : $(x-2)^2+(y+1)^2+z^2=9$
Sphère définie par un diamètre
Propriété
La sphère de diamètre $[AB]$ est l’ensemble des points $M$ tels que :
$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$
Son centre est le milieu $I$ de $[AB]$ et son rayon est $\dfrac{AB}{2}$.
Exemple
$A(1;0;2)$ et $B(3;2;0)$ : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(1-x)(3-x)+(-y)(2-y)+(2-z)(-z)=0$.
$(S)$ : $x^2+y^2+z^2-4x-2y-2z+3=0$
Centre $I(2;1;1)$, rayon $\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{12}}{2}=\sqrt{3}$.
Étude de l’ensemble $x^2+y^2+z^2+\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0$
Méthode
1. On regroupe les termes et on fait apparaître des carrés : $x^2-2ax=(x-a)^2-a^2$ ;
2. on obtient $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=k$ ;
3. si $k>0$ : sphère de centre $\Omega(a;b;c)$ et de rayon $\sqrt{k}$ ; si $k=0$ : le point $\{\Omega\}$ ; si $k<0$ : l’ensemble vide.
Exemple
$x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+5=0\iff(x-1)^2-1+(y+2)^2-4+(z-3)^2-9+5=0$.
$\iff(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=9$
Sphère de centre $\Omega(1;-2;3)$ et de rayon $R=3$
Intersection d’une sphère et d’un plan
Propriété $S(\Omega;R)$, plan $(P)$, $d=d\left(\Omega;(P)\right)$ et $H$ projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(P)$
- Si $d>R$ : $(P)$ et $(S)$ n’ont aucun point commun.
- Si $d=R$ : $(P)$ est tangent à $(S)$ au point $H$.
- Si $d<R$ : $(P)$ coupe $(S)$ suivant le cercle de centre $H$ et de rayon $r=\sqrt{R^2-d^2}$.
Exemple
$(S)$ : $\Omega(1;-2;3)$, $R=3$ et $(P)$ : $2x+y-2z=0$ : $d=\dfrac{|2-2-6|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{6}{3}=2<3$.
$(P)$ coupe $(S)$ suivant un cercle de rayon $r=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$.
Son centre $H$ : $x=1+2t$, $y=-2+t$, $z=3-2t$ dans $(P)$ : $9t-6=0$, $t=\dfrac{2}{3}$.
$H\left(\dfrac{7}{3};-\dfrac{4}{3};\dfrac{5}{3}\right)$ ; $r=\sqrt{5}$
Propriété Plan tangent
Le plan tangent à $S(\Omega;R)$ en un point $A$ de $(S)$ est le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{\Omega A}$ :
$M\in(P)\iff\overrightarrow{\Omega A}\cdot\overrightarrow{AM}=0$
Exemple
$\Omega(1;-2;3)$, $R=3$ et $A(3;-1;5)$ : $\overrightarrow{\Omega A}(2;1;2)$ et $\Omega A=3$, donc $A\in(S)$.
$2(x-3)+(y+1)+2(z-5)=0$
$(P)$ : $2x+y+2z-15=0$
Intersection d’une sphère et d’une droite
Méthode
On remplace la représentation paramétrique de $(D)$ dans l’équation de $(S)$ : on obtient une équation du second degré en $t$ ; selon qu’elle a $0$, $1$ ou $2$ solutions, $(D)$ et $(S)$ ont $0$, $1$ (droite tangente) ou $2$ points communs.
Exemple
$(S)$ : $x^2+y^2+z^2=9$ et $(D)$ : $x=t$, $y=t$, $z=1$ : $t^2+t^2+1=9\iff t^2=4\iff t=2$ ou $t=-2$.
$(D)\cap(S)=\left\{E(2;2;1);F(-2;-2;1)\right\}$
Erreur fréquente
- Lire le rayon de $(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=9$ comme $9$ : c’est $R=\sqrt{9}=3$.
- Lire le centre de $(x+2)^2+\ldots$ comme $(2;\ldots)$ : c’est $(-2;\ldots)$.
- Prendre le rayon $R$ de la sphère pour le rayon du cercle d’intersection : $r=\sqrt{R^2-d^2}$.
À retenir
- $(S)$ : $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ ; diamètre $[AB]$ : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
- $d=d\left(\Omega;(P)\right)$ : $d>R$ vide ; $d=R$ tangent ; $d<R$ cercle de rayon $r=\sqrt{R^2-d^2}$ ; plan tangent en $A$ : normal $\overrightarrow{\Omega A}$.