ملخص «Géométrie dans l'espace : la sphère» لتلاميذ الثانية باك علوم فيزيائية بالفرنسية والعربية: Équation - Sphère de diamètre [AB] - Étude d'un ensemble de points - Sphère et plan - Plan tangent - Sphère et droite. Résumé Géométrie dans l'espace : la sphère — 2ème année Bac sciences physiques.
Définition et équation
Définition Sphère $S(\Omega;R)$
- Ensemble des points $M$ tels que $\Omega M=R$ ($R>0$).
$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ avec $\Omega(a;b;c)$
Propriété Sphère de diamètre $[AB]$
$M\in(S)\iff\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$
- Centre : milieu de $[AB]$ ; rayon : $\dfrac{AB}{2}$.
Étude de $x^2+y^2+z^2+\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0$
Méthode Méthode
1. On complète les carrés : $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=k$.
2. $k>0$ : sphère de centre $\Omega(a;b;c)$ et de rayon $\sqrt{k}$.
3. $k=0$ : le point $\Omega$ ; $k<0$ : ensemble vide.
Sphère et plan
Propriété Selon $d=d(\Omega;(P))$
- $d>R$ : $(P)\cap(S)=\varnothing$.
- $d=R$ : $(P)$ est tangent à $(S)$ en $H$.
$d<R$ : l'intersection est le cercle de centre $H$ et de rayon $r=\sqrt{R^2-d^2}$
- $H$ : projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(P)$.
Propriété Plan tangent en $A\in(S)$
$M\in(P)\iff\overrightarrow{\Omega A}\cdot\overrightarrow{AM}=0$
- $\overrightarrow{\Omega A}$ est un vecteur normal du plan tangent.
Sphère et droite
Méthode Méthode
- On remplace la représentation paramétrique de $(D)$ dans l'équation de $(S)$.
- Équation du second degré en $t$ : deux solutions (deux points), une (tangente) ou aucune.
- On peut aussi comparer $d(\Omega;(D))$ à $R$.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Oublier de vérifier le signe de $k$ avant de conclure à une sphère.
- Confondre le rayon $R$ de la sphère et le rayon $r$ du cercle d'intersection.
À retenir À retenir
- $d<R$ : cercle de rayon $\sqrt{R^2-d^2}$ ; $d=R$ : plan tangent.
Astuce Conseil
- Toujours calculer $d(\Omega;(P))$ avec la formule de la distance avant de conclure.
التعريف والمعادلة
تعريف الفلكة $S(\Omega;R)$
- مجموعة النقط $M$ بحيث $\Omega M=R$ ($R>0$).
$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ مع $\Omega(a;b;c)$
خاصية الفلكة التي أحد أقطارها $[AB]$
$M\in(S)\iff\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$
- المركز : منتصف $[AB]$ ؛ الشعاع : $\dfrac{AB}{2}$.
دراسة $x^2+y^2+z^2+\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0$
طريقة الطريقة
1. نكمل المربعات : $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=k$.
2. $k>0$ : فلكة مركزها $\Omega(a;b;c)$ وشعاعها $\sqrt{k}$.
3. $k=0$ : النقطة $\Omega$ ؛ $k<0$ : المجموعة الفارغة.
الفلكة والمستوى
خاصية حسب $d=d(\Omega;(P))$
- $d>R$ : $(P)\cap(S)=\varnothing$.
- $d=R$ : $(P)$ مماس للفلكة $(S)$ في $H$.
$d<R$ : التقاطع دائرة مركزها $H$ وشعاعها $r=\sqrt{R^2-d^2}$
- $H$ : المسقط العمودي لـ $\Omega$ على $(P)$.
خاصية المستوى المماس في $A\in(S)$
$M\in(P)\iff\overrightarrow{\Omega A}\cdot\overrightarrow{AM}=0$
- $\overrightarrow{\Omega A}$ متجهة منظمية على المستوى المماس.
الفلكة والمستقيم
طريقة الطريقة
- نعوّض التمثيل البارامتري لـ $(D)$ في معادلة $(S)$.
- معادلة من الدرجة الثانية في $t$ : حلان (نقطتان)، حل واحد (مماس) أو لا حل.
- يمكن أيضاً مقارنة $d(\Omega;(D))$ مع $R$.
خطأ شائع أخطاء شائعة
- نسيان التحقق من إشارة $k$ قبل استنتاج أنها فلكة.
- الخلط بين شعاع الفلكة $R$ وشعاع دائرة التقاطع $r$.
للحفظ أحفظ
- $d<R$ : دائرة شعاعها $\sqrt{R^2-d^2}$ ؛ $d=R$ : مستوى مماس.
نصيحة نصيحة
- احسب دائماً $d(\Omega;(P))$ بصيغة المسافة قبل الاستنتاج.