سلسلة تمارين مصححة Fonctions logarithmes — الثانية باك علوم فيزيائية

Correction 1

💡 $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ ; $\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b$ ; $\ln\left(a^r\right)=r\ln a$ ; $\ln e=1$ ; $\ln1=0$.

$A=3\ln2-2\ln2-2\ln2$

$=-\ln2$

$B=\dfrac{1}{2}\ln e+3\ln e$

$=\dfrac{1}{2}+3=\dfrac{7}{2}$

$C=\ln\left[\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)\right]$

$=\ln(2-1)=\ln1=0$

$D=-2\ln e$

$=-2$

$A=-\ln2$ ; $B=\dfrac{7}{2}$ ; $C=0$ ; $D=-2$

Correction 2

💡 On détermine d’abord le domaine ; puis $\ln a=\ln b\iff a=b$ ($a>0$, $b>0$) ; on vérifie que les solutions appartiennent au domaine.

a) Domaine : $2x-1>0\iff x>\dfrac{1}{2}$.

$\ln(2x-1)=0\iff2x-1=1$

$\iff x=1$

$1>\dfrac{1}{2}$ :

$S=\{1\}$

b) Domaine : $x+1>0$ et $x-1>0$, soit $x>1$.

$\ln(x+1)+\ln(x-1)=\ln3\iff\ln\left((x+1)(x-1)\right)=\ln3$

$\iff x^2-1=3$

$\iff x^2=4$

$x=2$ ou $x=-2$ ; seul $2$ vérifie $x>1$ :

$S=\{2\}$

c) Domaine : $]0;+\infty[$. On pose $t=\ln x$ :

$t^2-3t+2=0\iff(t-1)(t-2)=0\iff t=1$ ou $t=2$.

$\ln x=1\iff x=e$ et $\ln x=2\iff x=e^2$ :

$S=\{e;e^2\}$

Correction 3

💡 $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ : $\ln a<\ln b\iff a<b$ ($a>0$, $b>0$). On n’oublie pas le domaine.

a) Domaine : $3-x>0\iff x<3$.

$\ln(3-x)\leq0\iff\ln(3-x)\leq\ln1$

$\iff3-x\leq1$

$\iff x\geq2$

Avec $x<3$ :

$S=[2;3[$

b) Domaine : $x>0$ et $x-2>0$, soit $x>2$.

$\ln\left(x(x-2)\right)>\ln3\iff x^2-2x-3>0$

$\iff(x-3)(x+1)>0$

Sur $]2;+\infty[$ : $x+1>0$, donc il faut $x-3>0$ :

$S=]3;+\infty[$

Correction 4

💡 Limites usuelles : $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$ ; $\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0$ ; $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$ ; $\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty$.

a) Forme « $+\infty-\infty$ » : on factorise par $x$ :

$x-\ln x=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)$

$\dfrac{\ln x}{x}\to0$, la parenthèse tend vers $1$ :

$\lim\limits_{x\to+\infty}(x-\ln x)=+\infty$

b) $x^2\ln x=x\times(x\ln x)$ et $x\ln x\to0$ :

$\lim\limits_{x\to0^+}x^2\ln x=0$

c) $\dfrac{\ln x}{x^2}=\dfrac{\ln x}{x}\times\dfrac{1}{x}$, produit de deux limites nulles :

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0$

d) On pose $X=2x$ ($X\to0$) :

$\dfrac{\ln(1+2x)}{x}=2\times\dfrac{\ln(1+X)}{X}$

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+2x)}{x}=2\times1=2$

e) Pas de forme indéterminée : $\ln x\to-\infty$ et $\dfrac{1}{x}\to+\infty$ :

$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\ln x}{x}=-\infty$

Correction 5

💡 Si $u$ est dérivable et $u>0$ : $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ ; une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ est $\ln|u|$.

1. a) $u=x^2+1>0$ :

$f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$

b) $u=\ln x>0$ sur $]1;+\infty[$, $u'=\dfrac{1}{x}$ :

$g'(x)=\dfrac{1}{x\ln x}$

2. a) $h=\dfrac{u'}{u}$ avec $u=x^2+1>0$ :

$H(x)=\ln(x^2+1)$

b) $u=x-2>0$ sur $]2;+\infty[$ :

$K(x)=\ln(x-2)$

c) $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\dfrac{(\cos x)'}{\cos x}$ et $\cos x>0$ sur cet intervalle :

$x\mapsto-\ln(\cos x)$

Correction 6

1. $\log1000=\dfrac{\ln10^3}{\ln10}=3$ ; $\log0{,}01=\dfrac{\ln10^{-2}}{\ln10}=-2$ ; $\log_232=\dfrac{\ln2^5}{\ln2}=5$

2. $\log_2x=5\iff\dfrac{\ln x}{\ln2}=5$

$\iff\ln x=5\ln2=\ln32$

$\iff x=32$

$S=\{32\}$

3. 💡 Un entier $N\geq1$ s’écrit avec $k$ chiffres si $10^{k-1}\leq N<10^k$, c’est-à-dire $k-1\leq\log N<k$.

$\log\left(2^{100}\right)=100\log2\approx30{,}1$

$30\leq\log\left(2^{100}\right)<31$ :

$2^{100}$ s’écrit avec $31$ chiffres

Correction 7

1. En $0^+$ : $-\ln x\to+\infty$ : $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty$.

En $+\infty$ : $f(x)=x\left(1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{\ln x}{x}\right)$ et la parenthèse tend vers $1$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

2. Dérivabilité : $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ car c’est une somme de fonctions dérivables. Pour tout $x\in]0;+\infty[$ :

$f'(x)=1-\dfrac{1}{x}$

$=\dfrac{x-1}{x}$

Sur $]0;+\infty[$, $f'(x)$ a le signe de $x-1$ ; $f(1)=0$.

3. $0$ est le minimum de $f$ : $f(x)\geq0$, soit $x-1-\ln x\geq0$ :

$(\forall x>0)\ \ln x\leq x-1$

Pour $x>-1$, on applique à $1+x>0$ : $\ln(1+x)\leq(1+x)-1$ :

$\ln(1+x)\leq x$

Correction 8

1. En $0^+$ : $\ln x\to-\infty$ et $\dfrac{1}{x}\to+\infty$ : $\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=-\infty$ : l’axe des ordonnées est asymptote verticale.

En $+\infty$ : limite usuelle $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$ : l’axe des abscisses est asymptote horizontale.

2. Dérivabilité : $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ car c’est un quotient de fonctions dérivables. Pour tout $x\in]0;+\infty[$ :

$g'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln x}{x^2}$

$=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$

$g'(x)=0\iff\ln x=1$

$\iff x=e$

$g'(x)>0$ sur $]0;e[$ et $g'(x)<0$ sur $]e;+\infty[$ ; $g(e)=\dfrac{1}{e}$.

3. $\dfrac{1}{e}$ est le maximum de $g$ : $\dfrac{\ln x}{x}\leq\dfrac{1}{e}$, donc (car $x>0$) :

$\ln x\leq\dfrac{x}{e}$

Le maximum n’est atteint qu’en $e$ ; pour $x=\pi\neq e$ l’inégalité est stricte : $\ln\pi<\dfrac{\pi}{e}$ :

$e\ln\pi<\pi$

Correction 9

1. Dérivabilité : $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ car c’est une somme de fonctions dérivables. Pour tout $x\in]0;+\infty[$ :

$g'(x)=2x+\dfrac{1}{x}>0$

$g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et $g(1)=1-1+0=0$.

2. $g$ strictement croissante et $g(1)=0$ : $g(x)<0$ sur $]0;1[$ et $g(x)>0$ sur $]1;+\infty[$.

3. En $0^+$ : $\dfrac{\ln x}{x}\to-\infty$ (pas de forme indéterminée), donc $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ : la droite $x=0$ est asymptote verticale.

En $+\infty$ : $\dfrac{\ln x}{x}\to0$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

4. Dérivabilité : $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ car c’est une somme de fonctions dérivables. Pour tout $x\in]0;+\infty[$ :

$f'(x)=1-\dfrac{1-\ln x}{x^2}$

$=\dfrac{x^2-1+\ln x}{x^2}$

$=\dfrac{g(x)}{x^2}$

$x^2>0$ : $f'(x)$ a le signe de $g(x)$ ; $f(1)=1-0=1$.

5. $f(x)-x=-\dfrac{\ln x}{x}$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$ :

$(\Delta):y=x$ est asymptote oblique à $(C_f)$ en $+\infty$

$-\dfrac{\ln x}{x}>0$ sur $]0;1[$ : $(C_f)$ au-dessus de $(\Delta)$ ; $-\dfrac{\ln x}{x}<0$ sur $]1;+\infty[$ : $(C_f)$ au-dessous ; ils se coupent en $A(1;1)$.

6. Courbe :