Fonction logarithme népérien
Définition
La fonction $x\mapsto\dfrac{1}{x}$ est continue sur $]0;+\infty[$ ; elle y admet donc des primitives. La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la primitive de $x\mapsto\dfrac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$ qui s’annule en $1$ :
$(\forall x>0)\ \ln'(x)=\dfrac{1}{x}$ et $\ln1=0$
Propriété Conséquences
- $\ln$ est définie, continue et dérivable sur $]0;+\infty[$ ; elle est strictement croissante car $\dfrac{1}{x}>0$.
- $\ln x<0$ si $0<x<1$ ; $\ln x=0$ si $x=1$ ; $\ln x>0$ si $x>1$.
- Le nombre $e\approx2{,}718$ est l’unique réel tel que $\ln e=1$.
Propriétés algébriques
Propriété Pour $a>0$, $b>0$ et $r\in\mathbb{Q}$
- $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ ; $\ln\dfrac{1}{a}=-\ln a$ ; $\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b$
- $\ln\left(a^r\right)=r\ln a$ ; $\ln\sqrt{a}=\dfrac{1}{2}\ln a$ ; $\ln\left(e^r\right)=r$
Exemple
$\ln8-\ln2=\ln4=2\ln2$
$\ln\dfrac{\sqrt{e}}{e^3}=\dfrac{1}{2}-3=-\dfrac{5}{2}$
Équations et inéquations
Propriété
Pour $a>0$ et $b>0$ : $\ln a=\ln b\iff a=b$ et $\ln a<\ln b\iff a<b$.
Méthode Résoudre une équation avec $\ln$
1. On détermine le domaine de validité (expressions sous $\ln$ strictement positives) ;
2. on se ramène à $\ln A=\ln B$ (propriétés algébriques) ;
3. on résout $A=B$ et on garde les solutions du domaine.
Exemple Équation
$\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln3$ : domaine $x-1>0$ et $x+1>0$, soit $x>1$.
$\ln\left((x-1)(x+1)\right)=\ln3\iff x^2-1=3$
$\iff x=2$ ou $x=-2$ ; seul $2>1$.
$S=\{2\}$
Exemple Inéquation
$\ln(2x-1)\leq0$ : domaine $x>\dfrac{1}{2}$ ; $\ln(2x-1)\leq\ln1\iff2x-1\leq1\iff x\leq1$.
$S=\left]\dfrac{1}{2};1\right]$
Limites
Propriété Limites fondamentales
$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty$
Propriété Limites usuelles
- $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$ ; $\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0$
- $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^n}=0$ et $\lim\limits_{x\to0^+}x^n\ln x=0$ ($n\in\mathbb{N}^*$)
- $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x-1}=1$ ; $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$
>> « Les puissances de $x$ l’emportent sur $\ln x$ ».
Exemple
$\lim\limits_{x\to+\infty}(x-\ln x)$ : « $+\infty-\infty$ » ; $x-\ln x=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)$ et $\dfrac{\ln x}{x}\to0$.
$\lim\limits_{x\to+\infty}(x-\ln x)=+\infty$
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+3x)}{x}$ : on pose $X=3x\to0$ : $\dfrac{\ln(1+3x)}{x}=3\times\dfrac{\ln(1+X)}{X}$.
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+3x)}{x}=3$
Étude et représentation graphique
Propriété
- Tableau : $\ln$ croît de $-\infty$ (en $0^+$) à $+\infty$, avec $\ln1=0$ et $\ln e=1$.
- L’axe des ordonnées est asymptote verticale ; en $+\infty$, $\dfrac{\ln x}{x}\to0$ : branche parabolique de direction l’axe des abscisses.
- Tangente en $A(1;0)$ : $y=x-1$ ; la courbe est concave ($\ln''(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0$), donc $\ln x\leq x-1$.
Dérivée de $\ln u$ — Primitives de $\dfrac{u'}{u}$
Propriété
- Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$ : $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$.
- Si $u$ est dérivable et ne s’annule pas sur $I$ : $\left(\ln|u|\right)'=\dfrac{u'}{u}$.
Une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ sur $I$ est $\ln|u|$
Exemple
$f(x)=\ln(x^2+1)$ : $x^2+1>0$, dérivable sur $\mathbb{R}$ :
$f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$
Une primitive de $g(x)=\dfrac{x}{x^2-4}$ sur $]2;+\infty[$ : $g=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{u'}{u}$ avec $u=x^2-4>0$.
$G(x)=\dfrac{1}{2}\ln(x^2-4)$
Une primitive de $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ sur $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ : forme $-\dfrac{u'}{u}$ avec $u=\cos x>0$.
$-\ln(\cos x)$
Application Étude d’une fonction
Étudier les variations de $f(x)=x-\ln x$ sur $]0;+\infty[$.
Réponse
Dérivabilité : somme de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$ ; $f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}$.
$f'(x)=0\iff x=1$ ; $f'<0$ sur $]0;1[$, $f'>0$ sur $]1;+\infty[$ ; $f(1)=1$.
$f$ admet un minimum $1$ en $1$ : $(\forall x>0)\ \ln x\leq x-1$
Logarithme de base $a$
Définition
Soit $a>0$ et $a\neq1$. La fonction **logarithme de base $a$** est définie sur $]0;+\infty[$ par :
$\log_a(x)=\dfrac{\ln x}{\ln a}$
Elle a les mêmes propriétés algébriques que $\ln$, avec $\log_a(a)=1$ ; $\left(\log_a\right)'(x)=\dfrac{1}{x\ln a}$.
- Si $a>1$ : $\log_a$ est strictement croissante ; si $0<a<1$ : strictement décroissante.
Propriété Logarithme décimal
$\log=\log_{10}$ : $\log10=1$ et, pour $n\in\mathbb{Z}$, $\log\left(10^n\right)=n$ ; pour $x>0$ : $10^r=x\iff r=\log x$.
Exemple
Résoudre $10^x=5$ : $x=\log5\approx0{,}699$ ; $\log_2(8)=\dfrac{\ln8}{\ln2}=\dfrac{3\ln2}{\ln2}=3$.
Erreur fréquente
- Écrire $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$ : c’est faux (c’est $\ln(ab)$).
- Oublier le domaine de validité avant de résoudre une équation avec $\ln$.
À retenir
- $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$, $\ln1=0$, $\ln e=1$ ; $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ ; $\ln a^r=r\ln a$.
- $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$, $\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0$, $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$ ; $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$.