Fonction logarithme népérien
Définition Définition
- $\ln$ est la primitive de $x\mapsto\dfrac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$ qui s'annule en $1$.
$(\forall x>0)\ \ln'(x)=\dfrac{1}{x}$ et $\ln1=0$
- $\ln e=1$ avec $e\approx2{,}718$.
Propriétés algébriques
Formules Pour $a>0$, $b>0$ et $r\in\mathbb{Q}$
- $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ ; $\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b$ ; $\ln\dfrac{1}{a}=-\ln a$.
- $\ln(a^r)=r\ln a$ ; $\ln\sqrt{a}=\dfrac{1}{2}\ln a$.
Équations et inéquations
Propriété Pour $a>0$ et $b>0$
$\ln a=\ln b\iff a=b$ ; $\ln a<\ln b\iff a<b$
- $\ln x=r\iff x=e^r$ ; $\ln x>0\iff x>1$ ; $\ln x<0\iff0<x<1$.
Méthode Résoudre une équation avec $\ln$
1. On détermine l'ensemble de validité (les expressions sous $\ln$ sont strictement positives).
2. On regroupe en $\ln A=\ln B$ (ou $\ln A<\ln B$), puis $A=B$ (ou $A<B$).
3. On garde les solutions qui appartiennent à l'ensemble de validité.
Limites
Formules Limites à connaître
$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty$
- $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$ ; $\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0$.
- $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^n}=0$ ; $\lim\limits_{x\to0^+}x^n\ln x=0$ ($n\in\mathbb{N}^*$).
- $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x-1}=1$ ; $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$.
Étude et représentation graphique
Propriété Variations et courbe
- $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ ; l'axe des ordonnées est asymptote verticale.
- Branche parabolique de direction l'axe des abscisses ; tangente en $A(1;0)$ : $y=x-1$.
- $(C)$ est concave et au-dessous de sa tangente : $(\forall x>0)\ \ln x\leq x-1$.
Dérivée de $\ln u$
Formules $u$ dérivable et ne s'annulant pas sur $I$
- Si $u>0$ sur $I$ : $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ ; en général : $(\ln|u|)'=\dfrac{u'}{u}$.
Une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ sur $I$ est $\ln|u|$
- Exemple : une primitive de $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ sur $]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}[$ est $-\ln(\cos x)$.
Logarithme de base $a$
Définition Définition ($a>0$, $a\neq1$)
$\log_a(x)=\dfrac{\ln x}{\ln a}$
- $\log_a(a)=1$ ; $\log_a(a^r)=r$ ; mêmes propriétés algébriques que $\ln$.
- Logarithme décimal : $\log x=\log_{10}x$ ; $\log10^n=n$.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Oublier l'ensemble de validité avant de résoudre.
- Écrire $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$ : c'est faux.
- Dériver $\ln u$ en $\dfrac{1}{u}$ en oubliant $u'$.
À retenir À retenir
- $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ ; $\ln$ strictement croissante.
- $\dfrac{\ln x}{x}\to0$ en $+\infty$ ; $x\ln x\to0$ en $0^+$.
Astuce Conseil
- Pour le signe de $\ln u$ : on compare $u$ à $1$.