Niveau 1 — Je m'entraîne : applications directes du cours
Exercice 1 ★
Propriétés algébriques (§ I, II). Simplifier :
$A=\dfrac{e^2\times e^{-3}}{e^{-1}}$ ; $B=\left(e^x\right)^2e^{-x}$ ; $C=\ln\left(e^3\right)+e^{\ln2}$ ; $D=\dfrac{e^x+e^{-x}}{e^{-x}}$.
Exercice 2 ★
Équations (§ III). Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
a) $e^{2x-1}=1$ ; b) $e^x=5$ ; c) $e^{2x}-3e^x+2=0$.
Exercice 3 ★
Inéquations (§ III). Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
a) $e^{3x}>e^{x+2}$ ; b) $e^x-2\leq0$ ; c) $e^{2x}-e^x>0$.
Exercice 4 ★
Limites (§ V). Calculer :
a) $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-x\right)$ ; b) $\lim\limits_{x\to-\infty}xe^x$ ; c) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^2}$ ; d) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}$ ; e) $\lim\limits_{x\to-\infty}(x+1)e^{-x}$.
Exercice 5 ★
Dérivée de $e^u$ — primitives de $u'e^u$ (§ IV, VI).
1. Calculer $f'(x)$ pour : a) $f(x)=e^{x^2-1}$ ; b) $f(x)=(x-1)e^x$.
2. Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de : a) $h(x)=xe^{x^2}$ ; b) $k(x)=e^{-2x+1}$ ; c) $m(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}$.
Exercice 6 ★
Fonction exponentielle de base $a$ (§ VIII). On rappelle que $a^x=e^{x\ln a}$ ($a>0$).
1. Résoudre : a) $2^x=8$ ; b) $3^x=5$.
2. Calculer la dérivée de $f(x)=2^x$.
3. Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}3^x$.
Niveau 2 — J'approfondis : je raisonne et je justifie
Exercice 7 ★★
Une inégalité fondamentale. Soit $\varphi(x)=e^x-x-1$ sur $\mathbb{R}$.
1. Étudier les variations de $\varphi$ (limites comprises).
2. En déduire que $(\forall x\in\mathbb{R})\ e^x\geq1+x$.
3. En déduire que $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\leq e$ pour tout entier $n\geq1$.
Exercice 8 ★★
Étude d’une fonction (§ VII). Soit $f(x)=xe^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.
1. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
2. Étudier les variations de $f$.
3. Montrer que $(C_f)$ admet un point d’inflexion que l’on précisera.
4. Donner une équation de la tangente à $(C_f)$ en $O$, puis tracer $(C_f)$.
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 9 ★★★
Synthèse. Soit $f(x)=x-1+\dfrac{2}{e^x+1}$ sur $\mathbb{R}$.
1. Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$.
2. Montrer que $(D_1):y=x-1$ est asymptote à $(C_f)$ en $+\infty$ et que $(D_2):y=x+1$ est asymptote en $-\infty$ ; étudier les positions relatives.
3. Montrer que $f'(x)=\dfrac{e^{2x}+1}{\left(e^x+1\right)^2}$ et dresser le tableau de variations de $f$.
4. Montrer que $f$ est impaire ; interpréter graphiquement.
5. Montrer que $f''(x)=\dfrac{2e^x\left(e^x-1\right)}{\left(e^x+1\right)^3}$ ; en déduire que $O$ est un point d’inflexion et donner la tangente en $O$.
6. Tracer $(D_1)$, $(D_2)$ et $(C_f)$.
Corrections
Correction 1
💡 $e^ae^b=e^{a+b}$ ; $\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$ ; $\left(e^a\right)^n=e^{na}$ ; $\ln\left(e^x\right)=x$ ; $e^{\ln x}=x$ ($x>0$).
$A=e^{2-3+1}$
$=e^0=1$
$B=e^{2x}e^{-x}$
$=e^x$
$C=3+2$
$=5$
$D=e^{x-(-x)}+e^{-x-(-x)}$
$=e^{2x}+1$
$A=1$ ; $B=e^x$ ; $C=5$ ; $D=e^{2x}+1$
Correction 2
💡 $e^a=e^b\iff a=b$ ; $e^x=k\iff x=\ln k$ ($k>0$) ; changement de variable $X=e^x>0$.
a) $e^{2x-1}=1\iff e^{2x-1}=e^0$
$\iff2x-1=0$
$\iff x=\dfrac{1}{2}$
$S=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}$
b) $5>0$ : $e^x=5\iff x=\ln5$ :
$S=\{\ln5\}$
c) On pose $X=e^x>0$ : $X^2-3X+2=0\iff(X-1)(X-2)=0$.
$e^x=1\iff x=0$ et $e^x=2\iff x=\ln2$ :
$S=\{0;\ln2\}$
Correction 3
💡 $\exp$ est strictement croissante : $e^a<e^b\iff a<b$ ; et $e^x>0$ pour tout $x$.
a) $e^{3x}>e^{x+2}\iff3x>x+2$
$\iff x>1$
$S=]1;+\infty[$
b) $e^x\leq2\iff x\leq\ln2$ :
$S=]-\infty;\ln2]$
c) $e^{2x}-e^x=e^x\left(e^x-1\right)$ et $e^x>0$ :
$e^x-1>0\iff e^x>e^0$
$\iff x>0$
$S=]0;+\infty[$
Correction 4
💡 Limites usuelles : $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}x^ne^x=0$ ; $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}e^x=0$.
a) Forme « $+\infty-\infty$ » : on factorise par $x$ :
$e^x-x=x\left(\dfrac{e^x}{x}-1\right)$
$\dfrac{e^x}{x}\to+\infty$ :
$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-x\right)=+\infty$
b) Limite usuelle ($n=1$) :
$\lim\limits_{x\to-\infty}xe^x=0$
c) Limite usuelle ($n=2$) :
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^2}=+\infty$
d) On pose $X=2x$ ($X\to0$) :
$\dfrac{e^{2x}-1}{x}=2\times\dfrac{e^X-1}{X}$
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}=2\times1=2$
e) Pas de forme indéterminée : $x+1\to-\infty$ et $e^{-x}\to+\infty$ :
$\lim\limits_{x\to-\infty}(x+1)e^{-x}=-\infty$
Correction 5
💡 $\left(e^u\right)'=u'e^u$ ; une primitive de $u'e^u$ est $e^u$ ; une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ ($u>0$) est $\ln u$.
1. a) $u=x^2-1$, $u'=2x$ :
$f'(x)=2xe^{x^2-1}$
b) Produit : $f'(x)=1\times e^x+(x-1)e^x$ :
$f'(x)=xe^x$
2. a) $h=\dfrac{1}{2}\times2xe^{x^2}=\dfrac{1}{2}u'e^u$ avec $u=x^2$ :
$H(x)=\dfrac{1}{2}e^{x^2}$
b) $u=-2x+1$, $u'=-2$ : $k=-\dfrac{1}{2}u'e^u$ :
$K(x)=-\dfrac{1}{2}e^{-2x+1}$
c) $m=\dfrac{u'}{u}$ avec $u=e^x+1>0$ :
$M(x)=\ln\left(e^x+1\right)$
Correction 6
1. a) $2^x=8\iff e^{x\ln2}=e^{3\ln2}$
$\iff x=3$
b) $3^x=5\iff x\ln3=\ln5$
$\iff x=\dfrac{\ln5}{\ln3}$
2. $f(x)=e^{x\ln2}$, donc $f'(x)=\ln2\times e^{x\ln2}$ :
$f'(x)=2^x\ln2$
3. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=e^{-x\ln2}$ avec $-\ln2<0$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=0$.
$3^x=e^{x\ln3}$ avec $\ln3>0$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}3^x=+\infty$.
en $+\infty$ : $a^x\to+\infty$ si $a>1$ et $a^x\to0$ si $0<a<1$
Correction 7
1. Dérivabilité : $\varphi$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car c’est une somme de fonctions dérivables. Pour tout $x\in\mathbb{R}$ :
$\varphi'(x)=e^x-1$
$\varphi'(x)>0\iff e^x>1\iff x>0$ ; $\varphi(0)=1-0-1=0$.
Limites : en $-\infty$, $e^x\to0$ et $-x-1\to+\infty$ ; en $+\infty$, $\varphi(x)=x\left(\dfrac{e^x}{x}-1-\dfrac{1}{x}\right)\to+\infty$.
2. $0$ est le minimum de $\varphi$ : $\varphi(x)\geq0$ :
$(\forall x\in\mathbb{R})\ e^x\geq1+x$
3. Avec $x=\dfrac{1}{n}$ : $e^{\frac{1}{n}}\geq1+\dfrac{1}{n}>0$ ; la fonction $t\mapsto t^n$ est croissante sur $[0;+\infty[$ :
$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\leq\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^n=e$
Correction 8
1. En $-\infty$ : $x\to-\infty$ et $e^{-x}\to+\infty$ : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.
En $+\infty$ : $f(x)=\dfrac{x}{e^x}=\dfrac{1}{\frac{e^x}{x}}\to0$ : l’axe des abscisses est asymptote en $+\infty$.
2. Dérivabilité : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car c’est un produit de fonctions dérivables. Pour tout $x\in\mathbb{R}$ :
$f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}$
$=(1-x)e^{-x}$
$e^{-x}>0$ : $f'(x)$ a le signe de $1-x$ ; $f(1)=e^{-1}=\dfrac{1}{e}$.
3. $f''(x)=-e^{-x}-(1-x)e^{-x}$
$=(x-2)e^{-x}$
$f''$ s’annule en $2$ en changeant de signe ; $f(2)=2e^{-2}$ :
$I\left(2;\dfrac{2}{e^2}\right)$ est un point d’inflexion de $(C_f)$
4. $f(0)=0$ et $f'(0)=1$ :
$(T):y=x$
Correction 9
1. En $+\infty$ : $e^x+1\to+\infty$, donc $\dfrac{2}{e^x+1}\to0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
En $-\infty$ : $e^x\to0$, donc $\dfrac{2}{e^x+1}\to2$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.
2. $f(x)-(x-1)=\dfrac{2}{e^x+1}$ tend vers $0$ en $+\infty$ et elle est positive :
$(D_1)$ est asymptote en $+\infty$ et $(C_f)$ est au-dessus de $(D_1)$
$f(x)-(x+1)=\dfrac{2}{e^x+1}-2$
$=\dfrac{-2e^x}{e^x+1}$
Cette différence tend vers $0$ en $-\infty$ et elle est négative :
$(D_2)$ est asymptote en $-\infty$ et $(C_f)$ est au-dessous de $(D_2)$
3. Dérivabilité : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car c’est une somme et un quotient de fonctions dérivables ($e^x+1\neq0$). Pour tout $x\in\mathbb{R}$ :
$f'(x)=1-\dfrac{2e^x}{\left(e^x+1\right)^2}$
$=\dfrac{e^{2x}+2e^x+1-2e^x}{\left(e^x+1\right)^2}$
$=\dfrac{e^{2x}+1}{\left(e^x+1\right)^2}>0$
4. $f(-x)=-x-1+\dfrac{2}{e^{-x}+1}$
$=-x-1+\dfrac{2e^x}{1+e^x}$
$f(x)+f(-x)=-2+\dfrac{2+2e^x}{e^x+1}$
$=0$
$f$ est impaire : $O$ est un centre de symétrie de $(C_f)$
5. On dérive $f'(x)=1-2e^x\left(e^x+1\right)^{-2}$ :
$f''(x)=-2e^x\left(e^x+1\right)^{-2}+4e^{2x}\left(e^x+1\right)^{-3}$
$=\dfrac{-2e^x\left(e^x+1\right)+4e^{2x}}{\left(e^x+1\right)^3}$
$=\dfrac{2e^x\left(e^x-1\right)}{\left(e^x+1\right)^3}$
$f''(x)$ a le signe de $e^x-1$ : négatif sur $]-\infty;0[$, positif sur $]0;+\infty[$ ; et $f(0)=-1+1=0$ :
$O$ est un point d’inflexion ; $f'(0)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ : $(T):y=\dfrac{1}{2}x$
6. Courbe :