Fonction exponentielle népérienne
Définition
La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et $\ln\left(]0;+\infty[\right)=\mathbb{R}$ : elle admet une fonction réciproque définie sur $\mathbb{R}$, appelée fonction exponentielle népérienne, notée $\exp$.
On note $\exp(x)=e^x$ ; pour $x\in\mathbb{R}$ et $y>0$ :
$e^x=y\iff x=\ln y$
Propriété Conséquences
- $(\forall x\in\mathbb{R})\ e^x>0$ ; $e^0=1$ ; $e^1=e$.
- $(\forall x\in\mathbb{R})\ \ln\left(e^x\right)=x$ et $(\forall x>0)\ e^{\ln x}=x$.
- Les courbes de $\exp$ et de $\ln$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$ (repère orthonormé).
Propriétés algébriques
Propriété Pour $a$, $b$ réels et $r\in\mathbb{Q}$
- $e^{a+b}=e^a\times e^b$ ; $e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}$ ; $e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}$ ; $\left(e^a\right)^r=e^{ra}$
Exemple
$\dfrac{e^{2x+1}}{e^{x-1}}=e^{(2x+1)-(x-1)}=e^{x+2}$
$e^{2\ln3}=e^{\ln9}=9$ ; $e^{-\ln2}=\dfrac{1}{2}$
Équations et inéquations
Propriété
Pour $a$ et $b$ réels : $e^a=e^b\iff a=b$ et $e^a<e^b\iff a<b$.
Pour $k>0$ : $e^x=k\iff x=\ln k$ ; pour $k\leq0$, l’équation $e^x=k$ n’a pas de solution.
Exemple Équation
$e^{2x}-3e^x+2=0$ : on pose $X=e^x>0$ : $X^2-3X+2=0\iff X=1$ ou $X=2$.
$e^x=1\iff x=0$ ; $e^x=2\iff x=\ln2$.
$S=\{0;\ln2\}$
Exemple Inéquation
$e^{1-2x}\geq e$ : $e^{1-2x}\geq e^1\iff1-2x\geq1\iff x\leq0$.
$S=]-\infty;0]$
Dérivée et représentation graphique
Propriété
- $\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(\forall x\in\mathbb{R})\ \left(e^x\right)'=e^x$ ; comme $e^x>0$, $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
- La courbe est convexe ($\left(e^x\right)''=e^x>0$) ; tangente en $A(0;1)$ : $y=x+1$, donc $(\forall x\in\mathbb{R})\ e^x\geq x+1$.
- En $-\infty$ : l’axe des abscisses est asymptote horizontale ; en $+\infty$ : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
Limites
Propriété Limites fondamentales
$\lim\limits_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}e^x=0$
Propriété Limites usuelles
- $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}xe^x=0$
- $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}x^ne^x=0$ ($n\in\mathbb{N}^*$)
- $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$
>> « $e^x$ l’emporte sur les puissances de $x$ ».
Exemple
$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-x\right)$ : le calcul direct donne « $+\infty-\infty$ ».
Comment lever une FI : on factorise par $x$ : $e^x-x=x\left(\dfrac{e^x}{x}-1\right)$ et $\dfrac{e^x}{x}\to+\infty$.
$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-x\right)=+\infty$
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}$ : le calcul direct donne « $\dfrac{0}{0}$ » ; on pose $X=2x\to0$ : $\dfrac{e^{2x}-1}{x}=2\times\dfrac{e^X-1}{X}$.
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}=2$
Dérivée de $e^u$ — Primitives de $u'e^u$
Propriété
- Si $u$ est dérivable sur $I$, alors $x\mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et $\left(e^u\right)'=u'e^u$.
Une primitive de $u'e^u$ sur $I$ est $e^u$
Exemple
$f(x)=e^{x^2-3x}$ : Dérivabilité : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car $x\mapsto x^2-3x$ l’est :
$f'(x)=(2x-3)e^{x^2-3x}$
Une primitive de $g(x)=xe^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$ : $g=\dfrac{1}{2}u'e^u$ avec $u(x)=x^2$.
$G(x)=\dfrac{1}{2}e^{x^2}$
Étude d’une fonction
Application
Soit $f(x)=(x-1)e^x$ sur $\mathbb{R}$. Calculer les limites de $f$, étudier ses variations et tracer $C_f$.
Réponse
Limites : en $+\infty$, calcul direct : $(x-1)\to+\infty$ et $e^x\to+\infty$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
En $-\infty$ : le calcul direct donne « $-\infty\times0$ » ; on développe : $f(x)=xe^x-e^x$ et $xe^x\to0$, $e^x\to0$, donc $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$ (asymptote $y=0$).
Dérivabilité : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car c’est le produit de deux fonctions dérivables : $f'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x$.
$f'(x)=0\iff x=0$ (car $e^x>0$) ; $f'(x)$ a le signe de $x$ ; $f(0)=-1$.
$f$ admet un minimum $-1$ en $0$ ; $C_f$ coupe l’axe des abscisses en $B(1;0)$
Fonction exponentielle de base $a$
Définition
Soit $a>0$ et $a\neq1$. La fonction **exponentielle de base $a$** est définie sur $\mathbb{R}$ par :
$a^x=e^{x\ln a}$
C’est la réciproque de $\log_a$ : $a^x=y\iff x=\log_a(y)$ ($y>0$). Elle a les mêmes propriétés algébriques que $\exp$.
Propriété
- $x\mapsto a^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\left(a^x\right)'=(\ln a)\,a^x$.
- Si $a>1$ : strictement croissante ; si $0<a<1$ : strictement décroissante.
Exemple
Résoudre $2^x=10$ : $e^{x\ln2}=10\iff x\ln2=\ln10$.
$x=\dfrac{\ln10}{\ln2}\approx3{,}32$
Erreur fréquente
- Écrire $e^{a+b}=e^a+e^b$ : c’est faux (c’est $e^a\times e^b$).
- Oublier que $e^x>0$ : l’équation $e^x=-2$ n’a pas de solution.
- Dériver $e^{u}$ en $e^{u}$ : on oublie le facteur $u'$.
À retenir
- $e^x=y\iff x=\ln y$ ; $e^{a+b}=e^ae^b$ ; $\left(e^x\right)'=e^x$ ; $\left(e^u\right)'=u'e^u$.
- $\lim\limits_{x\to-\infty}e^x=0$, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$, $\lim\limits_{x\to-\infty}xe^x=0$, $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$ ; $a^x=e^{x\ln a}$.