Fonction exponentielle népérienne
Définition Définition
- $\exp$ est la fonction réciproque de $\ln$ ; $\exp(x)=e^x$ est définie sur $\mathbb{R}$ et $e^x>0$.
$e^x=y\iff x=\ln y$ (avec $y>0$)
- $e^0=1$ ; $e^1=e$ ; $\ln(e^x)=x$ ; $e^{\ln y}=y$ ($y>0$).
Propriétés algébriques
Formules Pour $a$, $b$ réels et $r\in\mathbb{Q}$
- $e^{a+b}=e^ae^b$ ; $e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}$ ; $e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}$ ; $(e^a)^r=e^{ra}$.
Équations et inéquations
Propriété Pour $a$, $b$ réels
$e^a=e^b\iff a=b$ ; $e^a<e^b\iff a<b$
- $e^x=k$ ($k>0$) $\iff x=\ln k$ ; si $k\leq0$ : pas de solution.
- On pose souvent $X=e^x$ (avec $X>0$) pour se ramener au second degré.
Dérivée et courbe
Propriété Variations
- $(e^x)'=e^x$ : $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ; courbe convexe.
- La courbe de $\exp$ est symétrique de celle de $\ln$ par rapport à $y=x$.
- Asymptote horizontale $y=0$ en $-\infty$ ; tangente en $(0;1)$ : $y=x+1$ ; $e^x\geq x+1$.
Limites
Formules Limites à connaître
$\lim\limits_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}e^x=0$
- $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}xe^x=0$.
- $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}x^ne^x=0$ ($n\in\mathbb{N}^*$).
- $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$.
Dérivée de $e^u$
Formules $u$ dérivable sur $I$
$(e^u)'=u'e^u$ ; une primitive de $u'e^u$ est $e^u$
- Exemple : une primitive de $xe^{x^2}$ est $\dfrac{1}{2}e^{x^2}$.
Exponentielle de base $a$
Définition Définition ($a>0$)
$a^x=e^{x\ln a}$
- $(a^x)'=(\ln a)\,a^x$ ; croissante si $a>1$, décroissante si $0<a<1$.
- Mêmes propriétés algébriques que $e^x$ ; $a^x=y\iff x=\dfrac{\ln y}{\ln a}$ ($a\neq1$, $y>0$).
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Écrire $e^{a+b}=e^a+e^b$ : c'est faux.
- Dériver $e^u$ en $e^u$ en oubliant $u'$.
- Oublier la condition $X>0$ après le changement $X=e^x$.
À retenir À retenir
- $e^x>0$ pour tout $x$ ; $\exp$ strictement croissante.
- En $+\infty$, $e^x$ l'emporte sur $x^n$ ; en $-\infty$, $x^ne^x\to0$.
Astuce Conseil
- Pour le signe d'une expression avec $e^x$ : $e^x>0$, on étudie seulement l'autre facteur.