سلسلة تمارين مصححة Étude d'une fonction numérique — الثانية باك علوم فيزيائية

Correction 1

💡 En un point qui annule le dénominateur : on calcule la limite du numérateur, puis on étudie le signe du dénominateur.

1. Calcul direct (on remplace) : $\lim\limits_{x\to1}(2x^2-3x+2)=1$ et $\lim\limits_{x\to1}(x-1)=0$ : forme « $\dfrac{1}{0}$ » ⇒ pas de forme indéterminée.

Pour $x<1$ : $x-1\to0^-$ ; pour $x>1$ : $x-1\to0^+$. Donc $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty$.

La droite d’équation $x=1$ est asymptote verticale à $(C_f)$

2. On réduit au même dénominateur :

$2x-1+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{(2x-1)(x-1)+1}{x-1}$

$=\dfrac{2x^2-3x+1+1}{x-1}$

$=f(x)$

💡 $(\Delta):y=ax+b$ est asymptote oblique en $\pm\infty$ si $\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$.

$f(x)-(2x-1)=\dfrac{1}{x-1}$

Or $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x-1}=0$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x-1}=0$ :

$(\Delta):y=2x-1$ est asymptote oblique à $(C_f)$ en $+\infty$ et en $-\infty$

3. 💡 On étudie le signe de $f(x)-(2x-1)=\dfrac{1}{x-1}$.

Si $x>1$ : $\dfrac{1}{x-1}>0$, donc $(C_f)$ est au-dessus de $(\Delta)$.

Si $x<1$ : $\dfrac{1}{x-1}<0$, donc $(C_f)$ est au-dessous de $(\Delta)$.

Correction 2

💡 Si $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\pm\infty$, on calcule $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ :

• $\pm\infty$ : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées ;
• $0$ : branche parabolique de direction l’axe des abscisses ;
• $a\neq0$ : on calcule $\lim[f(x)-ax]$ : un réel $b$ ⇒ asymptote $y=ax+b$ ; $\pm\infty$ ⇒ branche parabolique de direction $y=ax$.

a) $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ (somme) et :

$\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac{\sqrt{x}}{x}$

$=1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to1$

$f(x)-x=\sqrt{x}\to+\infty$

branche parabolique de direction la droite $y=x$ au voisinage de $+\infty$

b) $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ et $\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x}\to0$ :

branche parabolique de direction l’axe des abscisses

c) $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty$ et $\dfrac{f(x)}{x}=x-3\to+\infty$ :

branche parabolique de direction l’axe des ordonnées

Correction 3

1. Dérivabilité : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car c’est une fonction polynôme. Pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

$f'(x)=3x^2-6x$

$f''(x)=6x-6$

2. 💡 Si $f''\geq0$ sur $I$ : $(C_f)$ est convexe ; si $f''\leq0$ : concave ; si $f''$ s’annule en changeant de signe en $x_0$ : $(x_0;f(x_0))$ est un point d’inflexion.

$f''(x)=0\iff6x-6=0$

$\iff x=1$

$(C_f)$ est concave sur $]-\infty;1]$ et convexe sur $[1;+\infty[$.

$f''$ s’annule en $1$ en changeant de signe et $f(1)=1-3+2=0$ :

$I(1;0)$ est un point d’inflexion de $(C_f)$

3. $f'(1)=3-6=-3$ et $f(1)=0$ :

$(T):y=f'(1)(x-1)+f(1)$

$(T):y=-3(x-1)+0$

$(T):y=-3x+3$

Correction 4

💡 $\Omega(a;b)$ est centre de symétrie si, pour tout $x\in D_f$ : $2a-x\in D_f$ et $f(2a-x)+f(x)=2b$.

1. $D_f=\mathbb{R}$, donc $2-x\in D_f$. On calcule :

$f(2-x)=(2-x)^3-3(2-x)^2+2$

$=8-12x+6x^2-x^3-12+12x-3x^2+2$

$=-x^3+3x^2-2$

$=-f(x)$

$f(2-x)+f(x)=0=2\times0$

$I(1;0)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$

2. Le discriminant de $x^2-4x+5$ est $\Delta=16-20=-4<0$ : $x^2-4x+5>0$ pour tout $x$, donc $D_g=\mathbb{R}$.

💡 La droite $x=a$ est axe de symétrie si, pour tout $x\in D_g$ : $2a-x\in D_g$ et $g(2a-x)=g(x)$.

$g(4-x)=\sqrt{(4-x)^2-4(4-x)+5}$

$=\sqrt{16-8x+x^2-16+4x+5}$

$=\sqrt{x^2-4x+5}$

$=g(x)$

la droite $x=2$ est un axe de symétrie de $(C_g)$

3. Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x+\pi\in\mathbb{R}$ et :

$h(x+\pi)=\sin(2x+2\pi)$

$=\sin(2x)$

$=h(x)$

$h$ est périodique de période $\pi$ : on l’étudie sur un intervalle de longueur $\pi$

Correction 5

1. Dérivabilité : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car c’est une fonction polynôme. Pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

$f'(x)=3x^2-3$

$=3(x-1)(x+1)$

$f'(x)=0\iff x=-1$ ou $x=1$ ; $f(-1)=-1+3+1=3$ et $f(1)=1-3+1=-1$.

Limites (terme de plus haut degré) : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

2. Courbe :

3. 💡 Les solutions de $f(x)=m$ sont les abscisses des points d’intersection de $(C_f)$ avec la droite horizontale $y=m$.

• $m<-1$ ou $m>3$ : une solution ;
• $m=-1$ ou $m=3$ : deux solutions ;
• $-1<m<3$ : trois solutions.

le nombre de solutions dépend de la position de $m$ par rapport aux extremums $-1$ et $3$

Correction 6

1. $f(x)$ existe si $x^2+2x\geq0$, soit $x(x+2)\geq0$ :

$D_f=]-\infty;-2]\cup[0;+\infty[$

2. 💡 $f$ est dérivable à droite en $0$ si $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$ est un réel. Pour $x>0$ :

$\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{\sqrt{x^2+2x}}{x}$

$=\dfrac{\sqrt{x^2+2x}}{\sqrt{x^2}}$

$=\sqrt{\dfrac{x+2}{x}}$

Quand $x\to0^+$ : $\dfrac{x+2}{x}\to+\infty$, donc le taux tend vers $+\infty$ :

$f$ n’est pas dérivable à droite en $0$ : $(C_f)$ admet en $O$ une demi-tangente verticale

3. En $+\infty$, $f(x)-(x+1)$ est de la forme « $+\infty-\infty$ » : on multiplie par le conjugué $\sqrt{x^2+2x}+x+1$.

$f(x)-(x+1)=\dfrac{(x^2+2x)-(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x}+x+1}$

$=\dfrac{-1}{\sqrt{x^2+2x}+x+1}$

Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(x+1)]=0$ :

$(\Delta):y=x+1$ est asymptote à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$

4. Même méthode avec le conjugué $\sqrt{x^2+2x}-(x+1)$ :

$f(x)-(-x-1)=\dfrac{(x^2+2x)-(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x}-(x+1)}$

$=\dfrac{-1}{\sqrt{x^2+2x}-x-1}$

En $-\infty$ : $\sqrt{x^2+2x}\to+\infty$ et $-x-1\to+\infty$, donc le dénominateur tend vers $+\infty$ et la limite est $0$ :

$(\Delta'):y=-x-1$ est asymptote à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$

Correction 7

1. Dérivabilité : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car c’est une fonction polynôme. Pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

$f'(x)=4x^3-12x$

$f''(x)=12x^2-12$

$f''(x)=12(x-1)(x+1)$

$(C_f)$ est convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[1;+\infty[$, concave sur $[-1;1]$.

$f''$ s’annule en changeant de signe en $-1$ et en $1$ ; $f(-1)=f(1)=1-6+1=-4$ :

$(C_f)$ admet deux points d’inflexion $A(-1;-4)$ et $B(1;-4)$

2. $f'(1)=4-12=-8$ et $f(1)=-4$ :

$y=f'(1)(x-1)+f(1)$

$=-8(x-1)-4$

$(T):y=-8x+4$

3. $D_f=\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ et $f(-x)=(-x)^4-6(-x)^2+1=f(x)$ :

$f$ est paire : l’axe des ordonnées est un axe de symétrie de $(C_f)$

Correction 8

1. $x+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x(x+1)+1}{x+1}$

$=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$

$=f(x)$

2. En $-1$ : le numérateur tend vers $1$ et $x+1\to0$ : $\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=+\infty$.

la droite $x=-1$ est asymptote verticale à $(C_f)$

En $\pm\infty$ : $f(x)-x=\dfrac{1}{x+1}\to0$ :

la droite $y=x$ est asymptote oblique en $+\infty$ et en $-\infty$

3. Pour $x\neq-1$ : $-2-x\neq-1$, donc $-2-x\in D_f$, et :

$f(-2-x)=-2-x+\dfrac{1}{-2-x+1}$

$=-2-x-\dfrac{1}{x+1}$

$f(-2-x)+f(x)=-2=2\times(-1)$

$\Omega(-1;-1)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$

Correction 9

1. En $\pm\infty$ (fraction rationnelle : quotient des termes de plus haut degré) :

$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{x}$

$=\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty$

De même $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty$.

En $1$ : $x^2+3\to4>0$ et $x-1\to0^{\pm}$ : $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty$.

2. $x+1+\dfrac{4}{x-1}=\dfrac{(x+1)(x-1)+4}{x-1}$

$=\dfrac{x^2+3}{x-1}$

$=f(x)$

La droite $x=1$ est asymptote verticale ; $f(x)-(x+1)=\dfrac{4}{x-1}\to0$ en $\pm\infty$ :

$(\Delta):y=x+1$ est asymptote oblique à $(C_f)$ en $\pm\infty$

Signe de $\dfrac{4}{x-1}$ : $(C_f)$ est au-dessus de $(\Delta)$ sur $]1;+\infty[$ et au-dessous sur $]-\infty;1[$.

3. Dérivabilité : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ car c’est une fonction rationnelle. Pour tout $x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$ :

$f'(x)=1-\dfrac{4}{(x-1)^2}$

$=\dfrac{(x-1)^2-4}{(x-1)^2}$

$=\dfrac{(x-1-2)(x-1+2)}{(x-1)^2}$

$=\dfrac{(x+1)(x-3)}{(x-1)^2}$

$(x-1)^2>0$ : $f'(x)$ a le signe de $(x+1)(x-3)$ ; $f(-1)=\dfrac{4}{-2}=-2$ et $f(3)=\dfrac{12}{2}=6$.

4. $f'(x)=1-4(x-1)^{-2}$, donc :

$f''(x)=8(x-1)^{-3}$

$=\dfrac{8}{(x-1)^3}$

$f''(x)<0$ sur $]-\infty;1[$ : $(C_f)$ est concave ; $f''(x)>0$ sur $]1;+\infty[$ : $(C_f)$ est convexe (pas de point d’inflexion, car $1\notin D$).

5. Pour $x\neq1$ : $2-x\neq1$ et :

$f(2-x)+f(x)=(3-x)+\dfrac{4}{1-x}+(x+1)+\dfrac{4}{x-1}$

$=4=2\times2$

$\Omega(1;2)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$

6. 💡 Les solutions sont les abscisses des points d’intersection de $(C_f)$ et de la droite $y=m$ :

• $m<-2$ ou $m>6$ : deux solutions ;
• $m=-2$ ou $m=6$ : une solution ;
• $-2<m<6$ : aucune solution.

$-2$ est un maximum sur $]-\infty;1[$ et $6$ un minimum sur $]1;+\infty[$